2.1 Afstæð hreyfing, vegalengd og færsla

2.1 Afstæð hreyfing, vegalengd og færsla

Markmið kaflans

• Lýst hreyfingu í mismunandi viðmiðunarkerfum
• Skilgreint vegalengd og færslu og greint á milli þeirra
• Leyst verkefni sem fela í sér vegalengd og færslu

Lykilhugtök kaflans

Skilgreining á hreyfingu

Nám okkar í eðlisfræði hefst á hreyfifræði, það er rannsókn á hreyfingu án þess að taka tillit til orsaka hennar. Hlutir eru á hreyfingu hvert sem litið er. Allt frá tennisleik til geimfars sem flýgur fram hjá plánetunni Neptúnusi felur í sér hreyfingu. Þegar þú hvílist dælir hjartað blóði um æðarnar þínar. Jafnvel í lífvana hlutum eru atóm alltaf á hreyfingu.

Hvernig veistu að eitthvað er á hreyfingu? Staðsetning hlutar á tilteknum tíma er staða hans. Nánar tiltekið þarftu að tilgreina stöðu hans miðað við hentugt viðmiðunarkerfi. Jörðin er oft notuð sem viðmiðunarkerfi og við lýsum oft stöðu hlutar miðað við kyrrstæða hluti í því viðmiðunarkerfi. Til dæmis væri geimskoti lýst út frá stöðu eldflaugarinnar miðað við jörðina í heild, en stöðu kennara mætti lýsa út frá því hvar hún er miðað við nærliggjandi töflu. Í öðrum tilvikum notum við viðmiðunarkerfi sem eru ekki kyrrstæð heldur eru á hreyfingu miðað við jörðina. Til að lýsa stöðu manns í flugvél notum við til dæmis flugvélina, ekki jörðina, sem viðmiðunarkerfi (sjá Mynd 2.2). Þess vegna geturðu aðeins vitað hversu hratt og í hvaða stefnu staða hlutar breytist miðað við bakgrunn annars hlutar sem annaðhvort hreyfist ekki eða hreyfist með þekktri ferð og stefnu. Viðmiðunarkerfið er hnitakerfið sem stöðum hluta er lýst út frá.

Kennslustofan getur verið viðmiðunarkerfi. Í kennslustofunni eru veggirnir ekki á hreyfingu. Hreyfingu þína þegar þú gengur að dyrunum má mæla miðað við kyrrstæðan bakgrunn veggja kennslustofunnar. Þú getur líka séð hvort aðrir hlutir í kennslustofunni séu á hreyfingu, til dæmis bekkjarfélagar sem ganga inn í stofuna eða bók sem fellur af borði. Þú getur einnig sagt til um í hvaða stefnu eitthvað hreyfist í kennslustofunni. Þú gætir sagt: „Kennarinn hreyfist í átt að dyrunum.“ Viðmiðunarkerfið gerir þér kleift að ákvarða ekki aðeins að eitthvað sé á hreyfingu heldur einnig stefnu hreyfingarinnar.

Þú gætir líka verið viðmiðunarkerfi fyrir hreyfingu annarra. Ef þú sætir kyrr á meðan bekkjarfélagar þínir færu út úr stofunni, myndir þú mæla hreyfingu þeirra frá kyrrstæðri staðsetningu þinni. Ef þú og bekkjarfélagar þínir færuð út úr stofunni saman, myndi sjónarhorn þitt á hreyfingu þeirra breytast. Þú, sem viðmiðunarkerfi, værir á hreyfingu í sömu stefnu og hinir bekkjarfélagarnir sem eru á hreyfingu. Eins og þú munt læra í skynditilrauninni getur lýsing þín á hreyfingu verið mjög ólík eftir því úr hvaða viðmiðunarkerfi hún er skoðuð.

Skynditilraun: Hreyfing skoðuð frá tveimur viðmiðunarkerfum

Í þessu verkefni skoðar þú hreyfingu frá tveimur viðmiðunarkerfum. Hvaða viðmiðunarkerfi er rétt?

• Veljið opið svæði með nægu plássi til að dreifa úr ykkur svo minni hætta sé á að hrasa eða detta vegna áreksturs eða lausra körfubolta.
• 1 körfubolti

Framkvæmd

1. Vinnið með félaga. Standið í nokkurra metra fjarlægð frá félaga ykkar. Látið félaga ykkar snúa sér til hliðar þannig að þið sjáið hliðarsvip hans. Látið félaga ykkar byrja að drippla körfuboltanum á meðan hann stendur kyrr. Lýsið hreyfingu boltans.
2. Næst skal félagi ykkar aftur drippla boltanum, en í þetta sinn á hann að ganga áfram með boltann. Þú stendur kyrr. Lýstu hreyfingu boltans.
3. Látið félaga ykkar aftur ganga áfram með boltann. Í þetta sinn skaltu hreyfast við hlið hans á meðan þú heldur áfram að horfa á hliðarsvip hans. Lýstu hreyfingu boltans.
4. Skiptið um hlutverk við félaga ykkar og endurtakið skref 1-3.

Hvaða áhrif hafa mismunandi viðmiðunarkerfi á það hvernig þú lýsir hreyfingu boltans?

1. Hreyfing boltans er óháð viðmiðunarkerfinu og er sú sama fyrir mismunandi viðmiðunarkerfi.
2. Hreyfing boltans er óháð viðmiðunarkerfinu og er mismunandi fyrir mismunandi viðmiðunarkerfi.
3. Hreyfing boltans er háð viðmiðunarkerfinu og er sú sama fyrir mismunandi viðmiðunarkerfi.
4. Hreyfing boltans er háð viðmiðunarkerfum og er mismunandi fyrir mismunandi viðmiðunarkerfi.

Tengingar við eðlisfræði: Saga skips Galíleós

Hugmyndin um að lýsing á hreyfingu sé háð viðmiðunarkerfi athugandans hefur verið þekkt í hundruð ára. Stjörnufræðingurinn Galileo Galilei (Mynd 2.3), sem var uppi á 17. öld, var einn af fyrstu vísindamönnunum til að kanna þessa hugmynd. Galíleó lagði til eftirfarandi hugsunartilraun: Ímyndaðu þér gluggalaust skip sem siglir með jafnri ferð og í sömu stefnu eftir fullkomlega lygnum sjó. Er einhver leið fyrir mann inni í skipinu að ákvarða hvort skipið sé á hreyfingu? Þú getur útvíkkað þessa hugsunartilraun með því að ímynda þér einnig mann sem stendur á ströndinni. Hvernig getur maður á ströndinni ákvarðað hvort skipið sé á hreyfingu?

Galíleó komst að merkilegri niðurstöðu. Aðeins með því að horfa hvor á annan geta maðurinn í skipinu og maðurinn á ströndinni lýst hreyfingu hvors annars. Auk þess væru lýsingar þeirra á hreyfingunni samhverfar eða gagnstæðar. Maður inni í skipinu myndi lýsa manninum á landi þannig að hann færi fram hjá skipinu. Maðurinn á ströndinni myndi lýsa skipinu og manninum inni í því þannig að þau færu fram hjá. Galíleó áttaði sig á því að athugendur sem hreyfast með jafnri ferð og stefnu miðað við hver annan lýsa hreyfingu á sama hátt. Hann hafði uppgötvað að lýsing á hreyfingu er aðeins merkingarbær ef viðmiðunarkerfi er tilgreint.

Ímyndaðu þér að þú standir á brautarpalli og horfir á lest fara fram hjá. Samkvæmt niðurstöðum Galíleós, hvernig bæri lýsingu þinni á hreyfingunni saman við lýsingu manns sem fer með lestinni?

1. Ég myndi sjá lestina fara fram hjá mér og maður í lestinni myndi sjá mig sem kyrrstæðan.
2. Ég myndi sjá lestina fara fram hjá mér og maður í lestinni myndi sjá mig fara fram hjá lestinni.
3. Ég myndi sjá lestina sem kyrrstæða og maður í lestinni myndi sjá mig fara fram hjá lestinni.
4. Ég myndi sjá lestina sem kyrrstæða og maður í lestinni myndi einnig sjá mig sem kyrrstæðan.

Vegalengd og færsla

Þegar við rannsökum hreyfingu hluta verðum við fyrst að geta lýst stöðu hlutarins. Áður en foreldri þitt keyrir þig í skólann stendur bíllinn í innkeyrslunni. Innkeyrslan er upphafsstaða bílsins. Þegar þú kemur í skólann hefur bíllinn breytt um stöðu. Nýja staðan er skólinn þinn.

Eðlisfræðingar nota breytur til að tákna hugtök. Við notum d til að tákna stöðu bílsins. Við notum lágvísi til að greina á milli upphafsstöðunnar, d₀, og lokastöðunnar, d_f. Auk þess verða vigrar, sem við ræðum síðar, feitletraðir eða með ör yfir breytunni. Skalarstærðir verða skáletraðar.

Ráð til árangurs

Í sumum bókum er x eða s notað í stað d til að lýsa stöðu. Í d₀, sem lesið er „d núll“, stendur lágvísirinn 0 fyrir upphafsstöðu. Þegar við byrjum að fjalla um tvívíða hreyfingu eru stundum aðrir lágvísar notaðir til að lýsa láréttri stöðu, d_x, eða lóðréttri stöðu, d_y. Þess vegna gætirðu séð tákn eins og d_0x og d_fy.

Ímyndaðu þér nú að þú keyrir frá húsinu þínu til húss vinar sem er í nokkurra kílómetra fjarlægð. Hversu langt myndir þú keyra? Vegalengdin sem hlutur fer er lengd ferilsins milli upphafsstöðu hans og lokastöðu. Vegalengdin sem þú keyrir til húss vinar þíns fer eftir leiðinni. Eins og sýnt er á Mynd 2.5 er vegalengd ekki það sama og lengd beinnar línu milli tveggja punkta. Vegalengdin sem þú keyrir til húss vinar þíns er líklega lengri en beina línan milli húsanna tveggja.

Skyndiæfing: Vegalengd og færsla

Í þessu verkefni berðu saman vegalengd og færslu. Hvort hugtakið er gagnlegra þegar mælingar eru gerðar?

• 1 upptekið lag í færanlegu tæki
• 1 málband
• 3 bútar af límbandi
• Herbergi, til dæmis íþróttasalur, með stórum og auðum vegg þar sem öll nemendapör geta gengið fram og til baka án þess að rekast hvert á annað.

Framkvæmd

1. Annar nemandi úr hverju pari stendur með bakið að lengsta veggnum í stofunni. Nemendur skulu standa að minnsta kosti 0,5 metra frá hver öðrum. Merkið þennan upphafspunkt með límbandi.
2. Hinn nemandinn úr hverju pari stendur andspænis félaga sínum, um 2-3 metra frá honum. Merkið þennan punkt með öðrum límbandsbút.
3. Nemendapörin raða sér upp við upphafspunktinn meðfram veggnum.
4. Kennarinn setur tónlistina af stað. Hvert par gengur fram og til baka frá veggnum að öðrum merkta punktinum þar til tónlistin hættir. Teljið hversu oft þið gangið yfir gólfið.
5. Þegar tónlistin hættir skaltu merkja lokastöðu þína með þriðja límbandsbútnum.
6. Mældu frá upphafsstöðu þinni til lokastöðu þinnar.
7. Mældu lengd leiðarinnar frá upphafsstöðunni til annars merkta punktsins. Margfaldaðu mælinguna með heildarfjölda skipta sem þú gekkst yfir gólfið. Bættu síðan þessari tölu við mælinguna úr skrefi 6.
8. Berðu saman mælingarnar tvær úr skrefum 6 og 7.

Hvor mælingin er heildarvegalengdin sem þú ferðaðist? Hvor mælingin er færslan þín? Hvenær gætirðu viljað nota aðra fram yfir hina?

1. Mæling á heildarlengd leiðarinnar frá upphafsstöðu til lokastöðu gefur vegalengdina, og mælingin frá upphafsstöðu til lokastöðu er færslan. Notaðu vegalengd til að lýsa heildarleiðinni milli upphafs- og lokapunkta og færslu til að lýsa stystu leiðinni milli upphafs- og lokapunkta.
2. Mæling á heildarlengd leiðarinnar frá upphafsstöðu til lokastöðu er vegalengd, og mælingin frá upphafsstöðu til lokastöðu er færsla. Notaðu vegalengd til að lýsa stystu leiðinni milli upphafs- og lokapunkta og færslu til að lýsa heildarleiðinni milli upphafs- og lokapunkta.
3. Mæling frá upphafsstöðu til lokastöðu er vegalengd, og mæling á heildarlengd leiðarinnar frá upphafsstöðu til lokastöðu er færsla. Notaðu vegalengd til að lýsa heildarleiðinni milli upphafs- og lokapunkta og færslu til að lýsa stystu leiðinni milli upphafs- og lokapunkta.
4. Mæling frá upphafsstöðu til lokastöðu er vegalengd, og mæling á heildarlengd leiðarinnar frá upphafsstöðu til lokastöðu er færsla. Notaðu vegalengd til að lýsa stystu leiðinni milli upphafs- og lokapunkta og færslu til að lýsa heildarleiðinni milli upphafs- og lokapunkta.

Ef þú ert aðeins að lýsa akstri þínum í skólann og leiðin er bein lína, þá eru vegalengdin og færslan sú sama: 5 km. Þegar þú lýsir allri ferðinni fram og til baka eru vegalengd og færsla ólíkar. Þegar þú lýsir vegalengd tekurðu aðeins með stærðina, það er hversu löng eða mikil vegalengdin sem farin er er. Þegar þú lýsir færslu tekurðu hins vegar bæði tillit til stærðar breytingarinnar á stöðu og stefnu hreyfingarinnar.

Í fyrra dæminu okkar fer bíllinn samtals 10 km, en hann ekur fimm af þessum kílómetrum áfram í átt að skólanum og fimm til baka í gagnstæða átt. Ef við gefum áframstefnunni jákvætt formerki (+) og gagnstæðu stefnunni neikvætt formerki (−), þá jafna stærðirnar tvær hvor aðra út þegar þær eru lagðar saman.

Stærð, til dæmis vegalengd, sem hefur stærð (það er hversu stór eða mikil hún er) og stundum formerki (til dæmis rafhleðsla, hitastig í Celsíus eða þáttur vigurs) en tekur ekki tillit til stefnu kallast skalarstærð. Stærð, til dæmis færsla, sem hefur bæði stærð og stefnu kallast vigur. Vigur með stærðina núll er sérstakt tilfelli vigurs sem hefur enga stefnu.

Horfðu á eðlisfræði: Vigrar og skalarstærðir

Þetta myndband kynnir vigra og skalarstærðir og sýnir muninn á þeim. Það kynnir einnig stærðir sem við vinnum með í hreyfifræði.

Hvernig hjálpar þetta myndband þér að skilja muninn á vegalengd og færslu? Lýstu muninum á vigrum og skalarstærðum með eðlisfræðilegar stærðir sem dæmi.

1. Það útskýrir að vegalengd er vigur og stefna er mikilvæg, en færsla er skalarstærð og engin stefna fylgir henni.
2. Það útskýrir að vegalengd er skalarstærð og stefna er mikilvæg, en færsla er vigur og engin stefna fylgir henni.
3. Það útskýrir að vegalengd er skalarstærð og engin stefna fylgir henni, en færsla er vigur og stefna er mikilvæg.
4. Það útskýrir að bæði vegalengd og færsla eru skalarstærðir og engar stefnur fylgja þeim.

Dæmi um færslu

Vonandi skilur þú nú hugtakalegan mun á vegalengd og færslu. Að skilja hugtökin er hálfur sigur í eðlisfræði. Hinn helmingurinn er stærðfræðin. Hindrun fyrir marga nýja nemendur í eðlisfræði er að komast í gegnum stærðfræðina í eðlisfræði á sama tíma og þeir reyna að skilja tengdu hugtökin. Sú glíma getur leitt til ranghugmynda og svara sem hafa enga merkingu. Þegar hugtakið er komið á hreint verður stærðfræðin miklu skýrari.

Rifjum nú upp og athugum hvort við getum skilið færslu út frá tölum og jöfnum. Þú getur reiknað færslu hlutar með því að draga upphafsstöðu hans, d₀, frá lokastöðunni, d_f. Í stærðfræðilegu máli merkir það

Ráð til árangurs

Þú getur sett upphafspunktinn hvar sem hentar. Þú þarft að gæta þess að reikna allar vegalengdir stöðugt frá núllpunktinum þínum og skilgreina aðra stefnuna sem jákvæða og hina sem neikvæða. Þess vegna er skynsamlegt að velja einfaldasta ásinn, stefnuna og núllpunktinn. Í dæminu hér að ofan völdum við heimilið sem núllpunkt vegna þess að það kom í veg fyrir að við þyrftum að túlka lausn með neikvæðu formerki.

Unnið dæmi: Útreikningur á vegalengd og færslu

Hjólreiðakona hjólar 3 km til vesturs og snýr síðan við og hjólar 2 km til austurs. (a) Hver er færsla hennar? (b) Hvaða vegalengd hjólar hún? (c) Hver er stærð færslunnar?

Lausnarleið

Til að leysa þetta dæmi þurfum við að finna muninn á lokastöðu og upphafsstöðu og gæta þess að taka eftir stefnu á ásnum. Lokastaðan er summa færslanna tveggja, Δd₁ og Δd₂.

Lausn

Umræða

Færslan er neikvæð vegna þess að við völdum austur sem jákvæða stefnu og vestur sem neikvæða. Við hefðum einnig getað lýst færslunni sem 1 km til vesturs. Þegar færsla er reiknuð skiptir stefnan máli, en þegar vegalengd er reiknuð skiptir stefnan ekki máli. Dæmið myndi virka á sama hátt ef það væri í norður-suðurstefnu eða y-stefnu.

Ráð til árangurs

Eðlisfræðingar kjósa að nota staðlaðar einingar svo auðveldara sé að bera saman niðurstöður. Staðlaðar einingar fyrir útreikninga kallast SI-einingar (Alþjóðlega einingakerfið). SI-einingar byggja á metrakerfinu. SI-einingin fyrir færslu er metri (m), en stundum sérðu dæmi með kílómetrum, mílum, fetum eða öðrum lengdareiningum. Ef ein eining í dæmi er SI-eining en önnur ekki, þarftu að breyta öllum stærðunum yfir í sama einingakerfi áður en þú getur framkvæmt útreikninginn.

Æfingadæmi

Á ás þar sem hreyfing frá hægri til vinstri er jákvæð, hver eru færsla og vegalengd nemanda sem gengur 32 m til hægri og síðan 17 m til vinstri?

1. Færsla er −15 m og vegalengd er −49 m.
2. Færsla er −15 m og vegalengd er 49 m.
3. Færsla er 15 m og vegalengd er −49 m.
4. Færsla er 15 m og vegalengd er 49 m.

Tiana skokkar 1,5 km eftir beinni leið, snýr síðan við og skokkar 2,4 km í gagnstæða átt. Hún snýr svo aftur við og skokkar 0,7 km í upphaflegu stefnuna. Látum upphaflega stefnu Tiönu vera jákvæðu stefnuna. Hver eru færsla hennar og vegalengdin sem hún skokkaði?

1. Færsla er 4,6 km og vegalengd er −0,2 km.
2. Færsla er −0,2 km og vegalengd er 4,6 km.
3. Færsla er 4,6 km og vegalengd er +0,2 km.
4. Færsla er +0,2 km og vegalengd er 4,6 km.

Vinna í eðlisfræði: Mars-könnunarfarið

Eðlisfræðingar reikna stöðugt, en þeir fá ekki alltaf rétt svör. Árið 1998 skaut NASA, Geimvísindastofnun Bandaríkjanna, Mars Climate Orbiter á loft. Farið er sýnt á Mynd 2.7 og var 125 milljóna dollara gervihnöttur sem átti að fylgjast með lofthjúpi Mars. Hann átti að fara á braut um plánetuna og gera mælingar úr öruggri fjarlægð. Bandarísku vísindamennirnir reiknuðu í enskum einingum (fetum, tommum, pundum o.s.frv.) og gleymdu að breyta svörunum í staðlaðar metrakerfisbundnar SI-einingar. Þetta voru mjög dýr mistök. Í stað þess að fara á braut um plánetuna eins og áætlað var flaug Mars Climate Orbiter inn í lofthjúp Mars. Könnunarfarið sundraðist. Þetta var eitt mesta áfallið í sögu NASA.

Árið 1999 hrapaði Mars Climate Orbiter vegna þess að útreikningar voru gerðir í enskum einingum í stað SI-eininga. Á einum tímapunkti var farið aðeins 187.000 fetum yfir yfirborðinu, sem var of lágt til að halda braut. Hver var hæð farsins á þessum tíma í kílómetrum? (Gerðu ráð fyrir að 1 m jafngildi 3,281 fetum.)

1. 16 km
2. 18 km
3. 57 km
4. 614 km

Athugaðu skilning þinn

Hvað merkir það þegar hreyfingu er lýst sem afstæðri?

1. Það merkir að hreyfingu hvers hlutar er lýst miðað við hreyfingu jarðar.
2. Það merkir að hreyfingu hvers hlutar er lýst miðað við hreyfingu einhvers annars hlutar.
3. Það merkir að hreyfing er óháð viðmiðunarkerfinu.
4. Það merkir að hreyfing fer eftir því viðmiðunarkerfi sem er valið.

Ef þú og vinur þinn standið hlið við hlið og horfið á fótboltaleik, mynduð þið bæði sjá hreyfinguna út frá sama viðmiðunarkerfi?

1. Já, við myndum bæði sjá hreyfinguna út frá sama viðmiðunarpunkti vegna þess að við erum bæði kyrr í viðmiðunarkerfi jarðar.
2. Já, við myndum bæði sjá hreyfinguna út frá sama viðmiðunarpunkti vegna þess að við fylgjumst bæði með hreyfingunni frá tveimur punktum á sömu beinu línunni.
3. Nei, við myndum sjá hreyfinguna út frá mismunandi viðmiðunarpunktum vegna þess að hreyfingin sést frá tveimur mismunandi punktum; viðmiðunarkerfin eru svipuð en ekki þau sömu.
4. Nei, við myndum sjá hreyfinguna út frá mismunandi viðmiðunarpunktum vegna þess að viðbragðstími gæti verið mismunandi; því væri hreyfingin sem við sæjum mismunandi.

Hver er munurinn á vegalengd og færslu?

1. Vegalengd hefur bæði stærð og stefnu, en færsla hefur stærð en enga stefnu.
2. Vegalengd hefur stærð en enga stefnu, en færsla hefur bæði stærð og stefnu.
3. Vegalengd hefur stærð en enga stefnu, en færsla hefur aðeins stefnu.
4. Það er enginn munur. Bæði vegalengd og færsla hafa stærð og stefnu.

Hvaða staðhæfing lýsir rétt vegalengdinni sem kappakstursbíll fer og stærð færslunnar í einum hring í kappakstri á sporöskjulaga braut?

1. Ummál kappakstursbrautarinnar er vegalengdin; stysta vegalengd milli ráslínu og marklínu er stærð færslunnar.
2. Ummál kappakstursbrautarinnar er stærð færslunnar; stysta vegalengd milli ráslínu og marklínu er vegalengdin.
3. Ummál kappakstursbrautarinnar er bæði vegalengdin og stærð færslunnar.
4. Stysta vegalengd milli ráslínu og marklínu er stærð færsluvigursins.

Hvers vegna er mikilvægt að tilgreina viðmiðunarkerfi þegar hreyfingu er lýst?

1. Vegna þess að jörðin er stöðugt á hreyfingu; hlutur sem er kyrr á jörðinni verður á hreyfingu séður utan úr geimnum.
2. Vegna þess að stöðu hlutar á hreyfingu er aðeins hægt að skilgreina þegar til staðar er fast viðmiðunarkerfi.
3. Vegna þess að hreyfing er afstætt hugtak; hún lítur öðruvísi út þegar hún er skoðuð út frá mismunandi viðmiðunarkerfum.
4. Vegna þess að hreyfingu er alltaf lýst í viðmiðunarkerfi jarðar; ef annað kerfi er notað þarf að tilgreina það í hverju tilviki.