22 Hreyfing í einni vídd

2.3 Stöðu-tíma-gröf

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

Útskýrt merkingu hallatölu á stöðu-tíma-grafi
Leyst verkefni með stöðu-tíma-gröfum

Lykilhugtök

háð breyta

óháð breyta

snertill

Graf getur sagt meira en þúsund orð, líkt og mynd. Gröf geyma ekki aðeins tölulegar upplýsingar heldur sýna líka tengsl milli eðlisfræðilegra stærða. Í þessum kafla rannsökum við hreyfifræði með því að greina gröf af staðsetningu sem falli af tíma.

Gröf í þessari bók hafa tvo hornrétta ása, einn láréttan og annan lóðréttan. Þegar tvær eðlisfræðilegar stærðir eru settar á graf er lárétti ásinn yfirleitt óháða breytan og lóðrétti ásinn háða breytan. Í algebru kallast lárétti ásinn x-ás og lóðrétti ásinn y-ás. Bein lína hefur almenna formið y = mx + b.

Hér er m hallatalan, skilgreind sem ris deilt með hlaupi beinu línunnar. Bókstafurinn b er skurðpunktur við y-ás, punkturinn þar sem línan sker lóðrétta y-ásinn. Í eðlisfræðilegum aðstæðum fá þessar stærðir sérstaka merkingu.

A line graph is shown. The plotted line has a positive slope. The point of intersection with the y-axis is labeled intercept, b. The distance between the graphed line and the x-axis at the intercept is also labeled b. The line is labeled with the equation y equals m x plus b. The equation slope equals rise over run equals change in x over change in y equals m is also shown. — **Mynd 2.10.** Línurit með beinni línu. Jafnan fyrir beina línu er $y = m x + b$ .

Í eðlisfræði er tími venjulega óháða breytan. Aðrar stærðir, til dæmis færsla eða staðsetning, eru þá háðar tímanum. Stöðu-tíma-graf hefur því staðsetningu á lóðrétta ásnum og tíma á lárétta ásnum. Hvað tákna þá hallatalan og skurðpunkturinn við y-ás?

Aksturinn í skólann var 5 km frá heimilinu. Gerum ráð fyrir að aksturinn hafi tekið 10 mínútur og að foreldri þitt hafi ekið með jöfnum hraða allan tímann. Stöðu-tíma-graf fyrir þennan hluta ferðarinnar lítur út eins og á mynd 2.11.

A line graph of position versus time is shown. The scale on the x-axis is from zero to twelve in increments of one, and is labeled time in minutes. The scale on the y-axis is from zero to twelve in increments of one and is labeled position in kilometers. A line of the equation y equals point five x is graphed and ends at ten minutes. — **Mynd 2.11.** Línurit af stöðu sem falli af tíma fyrir aksturinn í skólann. Hvernig liti grafið út ef heimferðinni væri bætt við?

Eins og áður látum við d₀ = 0 vegna þess að við köllum heimilið upphafspunktinn O og byrjum að reikna þaðan. Á mynd 2.11 byrjar línan líka í d = 0. Þetta er b í jöfnunni fyrir beina línu. Upphafsstaða á stöðu-tíma-grafi er alltaf skurðpunkturinn við y-ás þegar t = 0.

Hver er hallatalan? Risið er breytingin á staðsetningu, það er færsla, og hlaupið er breytingin í tíma. Sambandið má rita þannig:

\frac{Δ d}{Δ t} .

Þetta er sama samband og notað var til að skilgreina meðalhraða. Hallatalan á grafi af d sem falli af t er því meðalhraðinn.

Stundum lítur grafið ólíkt út á mismunandi tímabilum, til dæmis ef bæði ferðin í skólann og heimferðin eru teiknaðar. Ef grafið er röð beinna lína má finna meðalhraða hvers tímabils með hallatölunni. Til að finna meðalhraða allrar ferðarinnar þarf síðan að taka vegið meðaltal.

Lítum á annað dæmi. Mynd 2.12 sýnir stöðu-tíma-graf fyrir þotuknúinn bíl á mjög flötum, þurrum stöðuvatnsbotni í Nevada.

A line graph is shown. The x-axis is labeled time in seconds and has a scale from zero to eight in increments of one. The y-axis is labeled position, d, in meters and has a scale from zero to two thousand four hundred in increments of four hundred. A line is plotted that intersects the following data points: zero, four hundred (labeled d 0 equals four hundred), point five, five hundred twenty-five; and six point four, two thousand (labeled y equals d o plus bar over v times t). The line is labeled Slope equals bar over v equals change in d over change in t. The distance between points point five, five hundred twenty-five and six point four, two thousand is labeled change in t. The distance between points six point four, five hundred twenty-five and six point four, two thousand is labeled change in d. — **Mynd 2.12.** Línurit af stöðu sem falli af tíma fyrir þotuknúinn bíl á Bonneville-saltsléttunum.

Með sambandinu milli háðrar og óháðrar breytu sjáum við að hallatalan á grafinu á mynd 2.12 er meðalhraði, v_avg, og skurðpunkturinn er færsla við tímann núll, d₀. Ef þessi tákn eru sett inn í y = mx + b fæst

d = v t + d_{0}

eða

d = d_{0} + v t .

Stöðu-tíma-graf gefur því almennt samband milli færslu, hraða og tíma, auk nákvæmra tölulegra upplýsinga um tilteknar aðstæður. Af myndinni má sjá að bíllinn er í stöðunni 400 m við t = 0 s og 650 m við t = 1,0 s, og þannig má einnig lesa upplýsingar um hraða hlutarins.

Verklegt verkefni: Að teikna hreyfingu

Í þessu verkefni sleppir þú bolta niður skábraut og teiknar graf af færslu boltans sem falli af tíma.

Veldu opið svæði með miklu plássi svo minni hætta sé á að hrasa eða detta um rúllandi bolta.

Efni

1 bolti
1 fjöl
2 eða 3 bækur
1 skeiðklukka
1 málband
6 bútar af málningarlímbandi
1 blað af rúðustrikuðum pappír
1 blýantur

Framkvæmd

Búðu til skábraut með því að setja annan enda fjalarinnar ofan á bókastafla. Hagræddu staðsetningunni þar til engin hindrun er á beinni leið frá neðri enda skábrautarinnar og að minnsta kosti næstu 3 m.
Merktu vegalengdirnar 0,5 m, 1,0 m, 1,5 m, 2,0 m, 2,5 m og 3,0 m frá neðri enda skábrautarinnar. Skrifaðu vegalengdirnar á límbandið.
Láttu einn aðila vera tilraunamann. Hann sleppir boltanum frá efri enda skábrautarinnar. Ef boltinn nær ekki 3,0 m merkinu skaltu auka halla skábrautarinnar með annarri bók og endurtaka skrefið eftir þörfum.
Láttu tilraunamanninn sleppa boltanum. Annar aðili, tímavörðurinn, byrjar tímamælingu þegar boltinn nær neðri enda skábrautarinnar og stöðvar hana þegar boltinn nær 0,5 m. Þriðji aðili, skrásetjarinn, skráir tímann í gagnatöflu.
Endurtaktu skref 4 og stöðvaðu tímamælingu við 1,0 m, 1,5 m, 2,0 m, 2,5 m og 3,0 m frá neðri enda skábrautarinnar.
Notaðu mælingarnar á tíma og færslu til að gera stöðu-tíma-graf fyrir hreyfingu boltans.
Endurtaktu skref 4 til 6 þannig að mismunandi aðilar taki að sér hlutverk tilraunamanns, tímavarðar og skrásetjara. Fást sömu mæligildi óháð því hver sleppir boltanum, mælir tímann eða skráir niðurstöðuna? Ræðið mögulegar orsakir misræmis.

Athugaðu skilning þinn lab

Satt eða ósatt: Meðalferð boltans verður minni en meðalhraði boltans.

Satt
Ósatt

Hvernig notum við þá gröf til að finna stærðir sem við viljum þekkja, til dæmis hraða?

Unnið dæmi: Notkun stöðu-tíma-grafs til að reikna meðalhraða

Finndu meðalhraða bílsins sem hefur stöðu sína sýnda á mynd 2.12.

Hallatala grafs af d sem falli af t er meðalhraði, því hallatala er ris deilt með hlaupi.

hallatala = \frac{Δ d}{Δ t} = v

Þar sem hallatalan er föst hér má nota hvaða tvo punkta á línunni sem er til að finna hana.

Lausn

Veldu tvo punkta á línunni. Hér veljum við punktana sem merktir eru á grafinu: (6,4 s, 2.000 m) og (0,50 s, 525 m). Hægt væri að velja hvaða tvo punkta sem er á sömu línu.
Settu d- og t-gildi punktanna inn í jöfnuna. Mundu að breyting Δ er alltaf lokagildi mínus upphafsgildi.

v = \frac{Δ d}{Δ t} = \frac{2.000 m - 525 m}{6,4 s - 0,50 s} = 250 m/s,

Þetta er mjög mikill landhraði, 900 km/klst. eða um 560 mi/h. Hann er miklu meiri en venjulegur hámarkshraði á þjóðvegum, 27 m/s eða 96 km/klst., en töluvert minni en metið 343 m/s eða 1.234 km/klst. sem sett var árið 1997.

En hvað ef stöðu-grafið er flóknara en bein lína? Hvað ef hlutur eykur ferðina eða snýr við og fer aftur á bak? Þá má samt lesa upplýsingar um hraðann úr grafinu. Lítum aftur á þotubílinn. Grafið á mynd 2.13 sýnir hreyfingu hans þegar hann nær upp hraða eftir að hafa byrjað úr kyrrstöðu. Tíminn byrjar í núlli og upphafsfærsla og upphafshraði eru 200 m og 15 m/s.

A line graph titled Jet Car Displacement is shown. The x-axis is labeled time, t, in seconds and has a scale from zero to forty on increments of ten. The y-axis is labeled displacement, x, in meters and has a scale from zero to three thousand five hundred in increments of five hundred. The following approximate data points are plotted, resulting in a line that curves upward: eight, two hundred fifty; ten, five hundred; fifteen, one thousand; twenty, one thousand five hundred; twenty-five, two thousand; thirty, three thousand. A right triangle is drawn at points eight, two hundred fifty; twelve, two hundred fifty, and twelve seven hundred fifty. The legs are labeled change in tp and change in dp. Point ten, five hundred is labeled P. Another right triangle is drawn at points twenty, one thousand five hundred; thirty, one thousand five hundred, and thirty, three thousand. The legs are labeled change in tq and change in dq. Point twenty-five, two thousand is labeled Q. — **Mynd 2.13.** Línurit af stöðu þotubíls á þeim tíma sem hann er að ná upp hraða. Hallatala stöðu-tíma-grafsins gefur hraðann. Þetta er sýnt í tveimur punktum. Augnablikshraði í hverjum punkti er hallatala snertilsins í þeim punkti.

A photograph of a United States Air Force jet car is shown speeding down a track. Smoke is billowing from the back end. — **Mynd 2.14.** Þotubíll bandaríska flughersins þýtur eftir braut. (Matt Trostle, Flickr)

Stöðu-tíma-grafið á mynd 2.13 er ferill, ekki bein lína. Halli ferilsins verður brattari eftir því sem tíminn líður, sem sýnir að hraðinn eykst með tímanum. Hallatalan í hverjum punkti á stöðu-tíma-grafi er augnablikshraðinn í þeim punkti. Hún finnst með því að teikna snertil við ferilinn í punktinum og finna hallatölu snertilsins. Meðalhraði er heildarfærsla deilt með þeim tíma sem ferðin tók.

Unnið dæmi: Notkun stöðu-tíma-grafs til að reikna augnablikshraða

Reiknaðu augnablikshraða þotubílsins við tímann 25 s með því að finna hallatölu snertilsins í punkti Q á mynd 2.13.

Hallatala ferils í punkti er jöfn hallatölu beinnar línu sem snertir ferilinn í þeim punkti.

Lausn

Finndu snertilinn við ferilinn þegar t = 25 s.
Ákvarðaðu endapunkta snertilsins. Þeir samsvara stöðunni 1.300 m við tímann 19 s og stöðunni 3.120 m við tímann 32 s.
Settu endapunktana inn í jöfnuna til að finna hallatöluna, v.

hallatala = v_{Q} = \frac{Δ d_{Q}}{Δ t_{Q}} = \frac{(3.120 - 1.300) m}{(32 - 19) s} = \frac{1.820 m}{13 s} = 140 m/s

Allt grafið af v sem falli af t má fá með þessari aðferð.

Æfing

Reiknaðu meðalhraða hlutarins sem sýndur er á grafinu hér að neðan yfir allt tímabilið.

0,25 m/s
0,31 m/s
3,2 m/s
4,00 m/s

Athugaðu skilning þinn 2

Satt eða ósatt: Með því að finna hallatölu ferilsins á grafinu má staðfesta að hraði þotubílsins sé $125 m/s$ þegar $t = 20 s$ .

Satt
Ósatt

Athugaðu skilning þinn 3

Hvaða upplýsingar um hreyfingu má ákvarða með því að skoða stöðu-tíma-graf sem er bein lína?

Viðmiðunarkerfi
Meðalhröðun
Hraði
Stefna beitts krafts

Athugaðu skilning þinn 4

Satt eða ósatt: Stöðu-tíma-graf hlutar sem er að auka hraðann er bein lína.

Satt
Ósatt

22 Hreyfing í einni vídd

2.3 Stöðu-tíma-gröf

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

Útskýrt merkingu hallatölu á stöðu-tíma-grafi
Leyst verkefni með stöðu-tíma-gröfum

Lykilhugtök

háð breyta

óháð breyta

snertill

Hver er hallatalan? Risið er breytingin á staðsetningu, það er færsla, og hlaupið er breytingin í tíma. Sambandið má rita þannig:

\frac{Δ d}{Δ t} .

Þetta er sama samband og notað var til að skilgreina meðalhraða. Hallatalan á grafi af d sem falli af t er því meðalhraðinn.

Lítum á annað dæmi. Mynd 2.12 sýnir stöðu-tíma-graf fyrir þotuknúinn bíl á mjög flötum, þurrum stöðuvatnsbotni í Nevada.

d = v t + d_{0}

eða

d = d_{0} + v t .

Verklegt verkefni: Að teikna hreyfingu

Í þessu verkefni sleppir þú bolta niður skábraut og teiknar graf af færslu boltans sem falli af tíma.

Veldu opið svæði með miklu plássi svo minni hætta sé á að hrasa eða detta um rúllandi bolta.

Efni

1 bolti
1 fjöl
2 eða 3 bækur
1 skeiðklukka
1 málband
6 bútar af málningarlímbandi
1 blað af rúðustrikuðum pappír
1 blýantur

Framkvæmd

Búðu til skábraut með því að setja annan enda fjalarinnar ofan á bókastafla. Hagræddu staðsetningunni þar til engin hindrun er á beinni leið frá neðri enda skábrautarinnar og að minnsta kosti næstu 3 m.
Merktu vegalengdirnar 0,5 m, 1,0 m, 1,5 m, 2,0 m, 2,5 m og 3,0 m frá neðri enda skábrautarinnar. Skrifaðu vegalengdirnar á límbandið.
Láttu einn aðila vera tilraunamann. Hann sleppir boltanum frá efri enda skábrautarinnar. Ef boltinn nær ekki 3,0 m merkinu skaltu auka halla skábrautarinnar með annarri bók og endurtaka skrefið eftir þörfum.
Láttu tilraunamanninn sleppa boltanum. Annar aðili, tímavörðurinn, byrjar tímamælingu þegar boltinn nær neðri enda skábrautarinnar og stöðvar hana þegar boltinn nær 0,5 m. Þriðji aðili, skrásetjarinn, skráir tímann í gagnatöflu.
Endurtaktu skref 4 og stöðvaðu tímamælingu við 1,0 m, 1,5 m, 2,0 m, 2,5 m og 3,0 m frá neðri enda skábrautarinnar.
Notaðu mælingarnar á tíma og færslu til að gera stöðu-tíma-graf fyrir hreyfingu boltans.
Endurtaktu skref 4 til 6 þannig að mismunandi aðilar taki að sér hlutverk tilraunamanns, tímavarðar og skrásetjara. Fást sömu mæligildi óháð því hver sleppir boltanum, mælir tímann eða skráir niðurstöðuna? Ræðið mögulegar orsakir misræmis.

Athugaðu skilning þinn lab

Satt eða ósatt: Meðalferð boltans verður minni en meðalhraði boltans.

Satt
Ósatt

Hvernig notum við þá gröf til að finna stærðir sem við viljum þekkja, til dæmis hraða?

Unnið dæmi: Notkun stöðu-tíma-grafs til að reikna meðalhraða

Finndu meðalhraða bílsins sem hefur stöðu sína sýnda á mynd 2.12.

Hallatala grafs af d sem falli af t er meðalhraði, því hallatala er ris deilt með hlaupi.

hallatala = \frac{Δ d}{Δ t} = v

Þar sem hallatalan er föst hér má nota hvaða tvo punkta á línunni sem er til að finna hana.

Lausn

Veldu tvo punkta á línunni. Hér veljum við punktana sem merktir eru á grafinu: (6,4 s, 2.000 m) og (0,50 s, 525 m). Hægt væri að velja hvaða tvo punkta sem er á sömu línu.
Settu d- og t-gildi punktanna inn í jöfnuna. Mundu að breyting Δ er alltaf lokagildi mínus upphafsgildi.

v = \frac{Δ d}{Δ t} = \frac{2.000 m - 525 m}{6,4 s - 0,50 s} = 250 m/s,

Unnið dæmi: Notkun stöðu-tíma-grafs til að reikna augnablikshraða

Reiknaðu augnablikshraða þotubílsins við tímann 25 s með því að finna hallatölu snertilsins í punkti Q á mynd 2.13.

Hallatala ferils í punkti er jöfn hallatölu beinnar línu sem snertir ferilinn í þeim punkti.

Lausn

Finndu snertilinn við ferilinn þegar t = 25 s.
Ákvarðaðu endapunkta snertilsins. Þeir samsvara stöðunni 1.300 m við tímann 19 s og stöðunni 3.120 m við tímann 32 s.
Settu endapunktana inn í jöfnuna til að finna hallatöluna, v.

hallatala = v_{Q} = \frac{Δ d_{Q}}{Δ t_{Q}} = \frac{(3.120 - 1.300) m}{(32 - 19) s} = \frac{1.820 m}{13 s} = 140 m/s

Allt grafið af v sem falli af t má fá með þessari aðferð.

Æfing

Reiknaðu meðalhraða hlutarins sem sýndur er á grafinu hér að neðan yfir allt tímabilið.

0,25 m/s
0,31 m/s
3,2 m/s
4,00 m/s

Athugaðu skilning þinn 2

Satt eða ósatt: Með því að finna hallatölu ferilsins á grafinu má staðfesta að hraði þotubílsins sé $125 m/s$ þegar $t = 20 s$ .

Satt
Ósatt

Athugaðu skilning þinn 3

Hvaða upplýsingar um hreyfingu má ákvarða með því að skoða stöðu-tíma-graf sem er bein lína?

Viðmiðunarkerfi
Meðalhröðun
Hraði
Stefna beitts krafts

Athugaðu skilning þinn 4

Satt eða ósatt: Stöðu-tíma-graf hlutar sem er að auka hraðann er bein lína.

Satt
Ósatt