22 Hreyfing í einni vídd

2.2 Ferð og hraði

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

Reiknað meðalferð hlutar
Tengt saman færslu og meðalhraða

Lykilhugtök

meðalferð	meðalhraði	augnabliksferð
augnablikshraði	ferð	hraði

Ferð

Lýsing á því hversu hratt eða hægt hlutur hreyfist er ferð hans. Ferð er sá hraði sem hlutur breytir staðsetningu sinni með. Eins og vegalengd er ferð skalarstærð, því hún hefur stærð en enga stefnu.

Þar sem ferð er hlutfall fer hún eftir tímabilinu sem hreyfingin tekur. Liðinn tíma, eða breytingu í tíma, má reikna sem mismun lokatíma og upphafstíma. Δt

Δ t = t_{f} - t_{0} .

SI-eining tíma er sekúnda, s. Algengar einingar fyrir ferð eru metrar á sekúndu, m/s, kílómetrar á klukkustund, km/klst., og mílur á klukkustund, mi/h.

Meðalferð er heildarvegalengd deilt með heildartíma. Hún segir til um hversu langt hlutur færist að meðaltali á hverri tímaeiningu.

v_{\mathrm{avg}} = \frac{\mathrm{vegalengd}}{\mathrm{tími}}

Út frá sömu jöfnu má einnig finna tímann eða vegalengdina ef hinar stærðirnar eru þekktar.

\mathrm{tími}=\frac{\mathrm{vegalengd}}{v_{\mathrm{avg}}}

\mathrm{vegalengd}=v_{\mathrm{avg}}\times\mathrm{tími}

Ef bíll fer 150 km á 3,2 klst. er meðalferð hans. Ferð bílsins gæti þó hafa aukist og minnkað margoft á ferðalaginu.

v_{avg} = \frac{vegalengd}{tími} = \frac{150 km}{3,2 klst.} = 47 km/klst. .

Ferð hlutar á ákveðnu augnabliki kallast augnabliksferð. Hraðamælir í bíl sýnir augnabliksferð bílsins.

A drawing is shown of a house on the left and a store on the right. The distance between the two is labeled three kilometers. A double-arrow vector between the house and the store is labeled with the equation change in d total equals zero. — **Mynd 2.8.** Í 30 mínútna ferð fram og til baka í búðina er heildarvegalengdin 6 km. Meðalferðin er 12 km/klst. Færslan fyrir ferðina fram og til baka er núll, vegna þess að engin nettóbreyting varð á stöðu.

Unnið dæmi: Útreikningur á meðalferð

Marmarakúla rúllar 5,2 m á 1,8 s. Hver var meðalferð marmarakúlunnar?

Við þekkjum vegalengdina, 5,2 m, og tímabilið, 1,8 s. Setjum gildin inn í jöfnuna fyrir meðalferð.

v_{\mathrm{avg}}=\frac{5,2\ \mathrm{m}}{1,8\ \mathrm{s}}=2,9\ \mathrm{m/s}

Meðalferð marmarakúlunnar var 2,9 m/s. Þetta er nokkru hraðar en röskur gönguhraði, um 2,5 m/s.

Æfing

Kastari kastar hafnabolta frá kastarhólnum að heimahöfn á 0,46 s. Vegalengdin er 18,4 m. Hver var meðalferð hafnaboltans?

40 m/s
−40 m/s
0,03 m/s
8,5 m/s

Æfing

Cassie gekk heim til vinar síns með meðalferðina 1,40 m/s. Vegalengdin á milli húsanna er 205 m. Hversu langan tíma tók ferðin?

146 s
0,01 s
2,50 mín
287 s

Hraði

Vigurútgáfan af ferð er hraði. Hraði lýsir bæði ferð og stefnu hlutar. Eins og með ferð er gagnlegt að lýsa meðalhraða yfir tímabil eða hraða á tilteknu augnabliki.

Meðalhraði er færsla deilt með þeim tíma sem færslan tekur. Þar sem færsla hefur stefnu er meðalhraði vigurstærð.

\vec v_{\mathrm{avg}}=\frac{\mathrm{færsla}}{\mathrm{tími}}=\frac{\Delta \vec d}{\Delta t}=\frac{\vec d_f-\vec d_0}{t_f-t_0}

Í þessum kafla er feitletrað eða örmerkt v notað fyrir vigurstærðina hraða, en skáletrað v getur táknað skalarstærðina ferð.

Mikilvægt er að meðalferð er ekki sama stærð og meðalhraði án stefnunnar. Rétt eins og vegalengd og færsla geta verið ólíkar hafa stefnubreytingar áhrif á samband ferðar og hraða.

Gerum ráð fyrir að farþegi hreyfist aftur eftir flugvél með meðalhraðanum −4 m/s. Meðalhraðinn einn segir ekki hvort farþeginn stoppaði um stund eða gekk tímabundið til baka áður en hann komst aftur í vélina. Til að fá meiri nákvæmni skoðum við smærri hluta ferðarinnar yfir styttri tímabil, eins og á mynd 2.9. Ef tímabilin verða óendanlega stutt fæst augnablikshraði, hraðinn á ákveðnu augnabliki. Augnablikshraði og meðalhraði eru eins ef hraðinn er jafn.

A drawing of an airplane facing to the right is shown, and is set in quadrant one of a coordinate plane. The x-axis is labeled df and then do. The distance between df and do is labeled with a left-pointing vector, change in d total. Four other vectors are shown below the airplane. Vector change in d a points to the left and is short. Vector change in d b points to the left and is also short. Vector change in d c points to the right and is short. Vector change in d d points to the left and is longer. — **Mynd 2.9.** Skýringarmyndin sýnir nákvæmari skráningu af farþega sem gengur aftur eftir flugvél og skiptir ferðinni í smærri hluta.

Áður sást að vegalengd getur verið önnur en stærð færslu. Á sama hátt getur ferð verið önnur en stærð hraða. Ef þú ekur í búð og aftur heim á hálftíma og kílómetramælirinn sýnir 6 km heildarvegalengd, þá er meðalferðin 12 km/klst. Meðalhraðinn er hins vegar núll, því færslan fyrir ferðina fram og til baka er núll.

Myndband: Meðalhraði og meðalferð

Myndbandið rifjar upp vigra og skalarstærðir og sýnir hvernig má reikna meðalhraða og meðalferð þegar færsla og tímabil eru þekkt. Það rifjar einnig upp hvernig breyta má km/klst. í m/s.

Athugaðu skilning þinn video

Ef þú skiptir heildarfærslu hlutar með þeim tíma sem færslan tók, hvað reiknarðu?

Meðalferð
Stærð meðalhraða
Meðalhraða
Augnabliksferð

Unnið dæmi: Útreikningur á meðalhraða

Nemandi hefur færsluna 304 m í norður á 180 s. Hver var meðalhraði nemandans?

Við þekkjum færsluna, 304 m í norður, og tímann, 180 s. Notum jöfnuna fyrir meðalhraða.

\vec v_{\mathrm{avg}}=\frac{304\ \mathrm{m}}{180\ \mathrm{s}}=1,7\ \mathrm{m/s}\ \mathrm{í\ norður}

Þar sem meðalhraði er vigurstærð þarf svarið að innihalda bæði stærð og stefnu. Stefnu má þó oft geyma til loka útreikningsins til að halda dæminu skýru. Taktu einnig eftir markverðum tölustöfum: 304 m hefur þrjá markverða tölustafi en 180 s hefur tvo, svo svarið er gefið með tveimur markverðum tölustöfum.

Unnið dæmi: Færsla þegar meðalhraði og tími eru þekkt

Layla hleypur með meðalhraðanum 2,4 m/s í austur. Hver er færsla hennar eftir 46 s?

Við þekkjum meðalhraðann og tímabilið og getum endurraðað jöfnunni fyrir meðalhraða til að finna færsluna.

{\vec{v}}_{avg} = \frac{Δ \vec{d}}{Δ t} Δ \vec{d} = {\vec{v}}_{avg} Δ t = (2,4 m/s) (46 s) = 1,1 \times 10^{2} m í austur

Færsla Laylu er 1,1 x 10² m í austur, eða um 110 m í austur. Ónámundað gildi væri 110,4 m, en svarið er gefið með tveimur markverðum tölustöfum.

Víddargreining hjálpar til við að athuga lausnina: m = (m/s)(s). Sekúndurnar styttast út og eftir stendur metri.

Unnið dæmi: Tími þegar færsla og meðalhraði eru þekkt

Phillip gengur beina leið frá heimili sínu í skólann. Hversu lengi er hann að komast í skólann ef hann gengur 428 m í vestur með meðalhraðanum 1,7 m/s í vestur?

Við þekkjum færslu Phillips og meðalhraða hans. Reiknum tímann með því að endurraða jöfnunni fyrir meðalhraða.

{\vec{v}}_{avg} = \frac{Δ \vec{d}}{Δ t} Δ t = \frac{Δ \vec{d}}{{\vec{v}}_{avg}} = \frac{428 m}{1,7 m/s} = 2,5 \times 10^{2} s

Phillip er því um 2,5 x 10² s að ganga í skólann. Tími er skalarstærð og hefur ekki stefnu.

Æfing

Vörubílstjóri ekur eftir beinum þjóðvegi í 0,25 klst. með færsluna 16 km í suður. Hver er meðalhraði ökumannsins?

4 km/klst. í norður
4 km/klst. í suður
64 km/klst. í norður
64 km/klst. í suður

Æfing

Fugl flýgur með meðalhraðanum 7,5 m/s í austur frá einni grein til annarrar á 2,4 s. Hann stoppar síðan áður en hann flýgur með meðalhraðanum 6,8 m/s í austur í 3,5 s að annarri grein. Hver er heildarfærsla fuglsins frá upphafsstað?

42 m í vestur
6 m í vestur
6 m í austur
42 m í austur

Sýndartilraun: Gangandi maðurinn

Í herminum Gangandi maðurinn má færa manninn fram og til baka eftir línu og fylgjast með staðsetningu, ferð og hraða. Notaðu herminn til að sjá hvernig stefna breytir hraða þótt ferðin sé jákvæð.

Athugaðu skilning þinn virtual

Hvað gerist við hraðann þegar maðurinn gengur til vinstri ef hægri stefna er skilgreind sem jákvæð?

Hraðinn verður neikvæður.
Ferðin verður neikvæð.
Hraðinn verður 0.
Ferðin og hraðinn verða alltaf eins.

Athugaðu skilning þinn

Athugaðu skilning þinn 13

Tveir hlauparar hreyfast eftir sömu beinu braut. Geta þeir haft sömu augnabliksferð en ólíkan augnablikshraða?

Já, ef þeir hlaupa jafn hratt í gagnstæðar áttir.
Já, því meðalhraði fer aðeins eftir heildarvegalengd.
Nei, augnabliksferð og augnablikshraði eru alltaf sama stærð.
Nei, því augnablikshraði lýsir aðeins stærð en ekki stefnu.

Athugaðu skilning þinn 14

Ef þú deilir heildarvegalengd bílaferðar, eins og kílómetramælir sýnir hana, með ferðatímanum, ertu þá að reikna meðalferð eða tölugildi meðalhraða? Hvenær eru þessar stærðir jafnar?

Meðalferð; þær eru jafnar þegar bíllinn skiptir ekki um stefnu.
Tölugildi meðalhraða; þær eru jafnar þegar bíllinn heldur jafnri ferð.
Meðalferð; þær eru jafnar þegar bíllinn fer fram og til baka.
Tölugildi meðalhraða; þær eru alltaf jafnar.

Athugaðu skilning þinn 15

Getur meðalhraði verið neikvæður?

Já, ef færsla hlutarins er í neikvæða stefnu.
Já, því meðalhraði fer eftir heildarvegalengd.
Nei, því meðalhraði lýsir aðeins stærð hreyfingar.
Nei, því meðalhraði getur aðeins verið í jákvæða stefnu.

22 Hreyfing í einni vídd

2.2 Ferð og hraði

Markmið kaflans

Í lok þessa kafla munt þú geta gert eftirfarandi:

Reiknað meðalferð hlutar
Tengt saman færslu og meðalhraða

Lykilhugtök

meðalferð	meðalhraði	augnabliksferð
augnablikshraði	ferð	hraði

Ferð

Þar sem ferð er hlutfall fer hún eftir tímabilinu sem hreyfingin tekur. Liðinn tíma, eða breytingu í tíma, má reikna sem mismun lokatíma og upphafstíma. Δt

Δ t = t_{f} - t_{0} .

SI-eining tíma er sekúnda, s. Algengar einingar fyrir ferð eru metrar á sekúndu, m/s, kílómetrar á klukkustund, km/klst., og mílur á klukkustund, mi/h.

Meðalferð er heildarvegalengd deilt með heildartíma. Hún segir til um hversu langt hlutur færist að meðaltali á hverri tímaeiningu.

v_{\mathrm{avg}} = \frac{\mathrm{vegalengd}}{\mathrm{tími}}

Út frá sömu jöfnu má einnig finna tímann eða vegalengdina ef hinar stærðirnar eru þekktar.

\mathrm{tími}=\frac{\mathrm{vegalengd}}{v_{\mathrm{avg}}}

\mathrm{vegalengd}=v_{\mathrm{avg}}\times\mathrm{tími}

Ef bíll fer 150 km á 3,2 klst. er meðalferð hans. Ferð bílsins gæti þó hafa aukist og minnkað margoft á ferðalaginu.

v_{avg} = \frac{vegalengd}{tími} = \frac{150 km}{3,2 klst.} = 47 km/klst. .

Ferð hlutar á ákveðnu augnabliki kallast augnabliksferð. Hraðamælir í bíl sýnir augnabliksferð bílsins.

Unnið dæmi: Útreikningur á meðalferð

Marmarakúla rúllar 5,2 m á 1,8 s. Hver var meðalferð marmarakúlunnar?

Við þekkjum vegalengdina, 5,2 m, og tímabilið, 1,8 s. Setjum gildin inn í jöfnuna fyrir meðalferð.

v_{\mathrm{avg}}=\frac{5,2\ \mathrm{m}}{1,8\ \mathrm{s}}=2,9\ \mathrm{m/s}

Meðalferð marmarakúlunnar var 2,9 m/s. Þetta er nokkru hraðar en röskur gönguhraði, um 2,5 m/s.

Æfing

Kastari kastar hafnabolta frá kastarhólnum að heimahöfn á 0,46 s. Vegalengdin er 18,4 m. Hver var meðalferð hafnaboltans?

40 m/s
−40 m/s
0,03 m/s
8,5 m/s

Æfing

Cassie gekk heim til vinar síns með meðalferðina 1,40 m/s. Vegalengdin á milli húsanna er 205 m. Hversu langan tíma tók ferðin?

146 s
0,01 s
2,50 mín
287 s

Hraði

Vigurútgáfan af ferð er hraði. Hraði lýsir bæði ferð og stefnu hlutar. Eins og með ferð er gagnlegt að lýsa meðalhraða yfir tímabil eða hraða á tilteknu augnabliki.

Meðalhraði er færsla deilt með þeim tíma sem færslan tekur. Þar sem færsla hefur stefnu er meðalhraði vigurstærð.

\vec v_{\mathrm{avg}}=\frac{\mathrm{færsla}}{\mathrm{tími}}=\frac{\Delta \vec d}{\Delta t}=\frac{\vec d_f-\vec d_0}{t_f-t_0}

Í þessum kafla er feitletrað eða örmerkt v notað fyrir vigurstærðina hraða, en skáletrað v getur táknað skalarstærðina ferð.

Mikilvægt er að meðalferð er ekki sama stærð og meðalhraði án stefnunnar. Rétt eins og vegalengd og færsla geta verið ólíkar hafa stefnubreytingar áhrif á samband ferðar og hraða.

Myndband: Meðalhraði og meðalferð

Athugaðu skilning þinn video

Ef þú skiptir heildarfærslu hlutar með þeim tíma sem færslan tók, hvað reiknarðu?

Meðalferð
Stærð meðalhraða
Meðalhraða
Augnabliksferð

Unnið dæmi: Útreikningur á meðalhraða

Nemandi hefur færsluna 304 m í norður á 180 s. Hver var meðalhraði nemandans?

Við þekkjum færsluna, 304 m í norður, og tímann, 180 s. Notum jöfnuna fyrir meðalhraða.

\vec v_{\mathrm{avg}}=\frac{304\ \mathrm{m}}{180\ \mathrm{s}}=1,7\ \mathrm{m/s}\ \mathrm{í\ norður}

Unnið dæmi: Færsla þegar meðalhraði og tími eru þekkt

Layla hleypur með meðalhraðanum 2,4 m/s í austur. Hver er færsla hennar eftir 46 s?

Við þekkjum meðalhraðann og tímabilið og getum endurraðað jöfnunni fyrir meðalhraða til að finna færsluna.

{\vec{v}}_{avg} = \frac{Δ \vec{d}}{Δ t} Δ \vec{d} = {\vec{v}}_{avg} Δ t = (2,4 m/s) (46 s) = 1,1 \times 10^{2} m í austur

Færsla Laylu er 1,1 x 10² m í austur, eða um 110 m í austur. Ónámundað gildi væri 110,4 m, en svarið er gefið með tveimur markverðum tölustöfum.

Víddargreining hjálpar til við að athuga lausnina: m = (m/s)(s). Sekúndurnar styttast út og eftir stendur metri.

Unnið dæmi: Tími þegar færsla og meðalhraði eru þekkt

Phillip gengur beina leið frá heimili sínu í skólann. Hversu lengi er hann að komast í skólann ef hann gengur 428 m í vestur með meðalhraðanum 1,7 m/s í vestur?

Við þekkjum færslu Phillips og meðalhraða hans. Reiknum tímann með því að endurraða jöfnunni fyrir meðalhraða.

{\vec{v}}_{avg} = \frac{Δ \vec{d}}{Δ t} Δ t = \frac{Δ \vec{d}}{{\vec{v}}_{avg}} = \frac{428 m}{1,7 m/s} = 2,5 \times 10^{2} s

Phillip er því um 2,5 x 10² s að ganga í skólann. Tími er skalarstærð og hefur ekki stefnu.

Æfing

Vörubílstjóri ekur eftir beinum þjóðvegi í 0,25 klst. með færsluna 16 km í suður. Hver er meðalhraði ökumannsins?

4 km/klst. í norður
4 km/klst. í suður
64 km/klst. í norður
64 km/klst. í suður

Æfing

42 m í vestur
6 m í vestur
6 m í austur
42 m í austur

Sýndartilraun: Gangandi maðurinn

Athugaðu skilning þinn virtual

Hvað gerist við hraðann þegar maðurinn gengur til vinstri ef hægri stefna er skilgreind sem jákvæð?

Hraðinn verður neikvæður.
Ferðin verður neikvæð.
Hraðinn verður 0.
Ferðin og hraðinn verða alltaf eins.

Athugaðu skilning þinn

Athugaðu skilning þinn 13

Tveir hlauparar hreyfast eftir sömu beinu braut. Geta þeir haft sömu augnabliksferð en ólíkan augnablikshraða?

Já, ef þeir hlaupa jafn hratt í gagnstæðar áttir.
Já, því meðalhraði fer aðeins eftir heildarvegalengd.
Nei, augnabliksferð og augnablikshraði eru alltaf sama stærð.
Nei, því augnablikshraði lýsir aðeins stærð en ekki stefnu.

Athugaðu skilning þinn 14

Meðalferð; þær eru jafnar þegar bíllinn skiptir ekki um stefnu.
Tölugildi meðalhraða; þær eru jafnar þegar bíllinn heldur jafnri ferð.
Meðalferð; þær eru jafnar þegar bíllinn fer fram og til baka.
Tölugildi meðalhraða; þær eru alltaf jafnar.

Athugaðu skilning þinn 15

Getur meðalhraði verið neikvæður?

Já, ef færsla hlutarins er í neikvæða stefnu.
Já, því meðalhraði fer eftir heildarvegalengd.
Nei, því meðalhraði lýsir aðeins stærð hreyfingar.
Nei, því meðalhraði getur aðeins verið í jákvæða stefnu.