99.9 Ritun annars stigs jafna á mismunandi formum

9.9.2 Mismunandi form annars stigs stæðna

9.9.2 • Mismunandi form annars stigs stæðna

Verkefni

Fyrir spurningar 1-5 skaltu rita hvert fall á topppunktsformi.

y = x^{2} - 4 x + 7

Berðu saman svarið þitt:

y = {(x - 2)}^{2} + 3

y = (x - 1) (x + 3)

Berðu saman svarið þitt:

y = {(x + 1)}^{2} - 4

y = (x - 2) (x + 2)

Berðu saman svarið þitt:

y = {(x - 0)}^{2} - 4

y = - x^{2} - 2 x - 6

Berðu saman svarið þitt:

y = - {(x + 1)}^{2} - 5

y = 2 x^{2} - 12 x + 22

Berðu saman svarið þitt:

y = 2 {(x - 3)}^{2} + 4

Fyrir spurningar 6 og 7 skaltu rita hvert fall á staðalformi.

y = {(x - 2)}^{2} + 7

Berðu saman svarið þitt:

y = x^{2} - 4 x + 11

y = {(x + 3)}^{2} - 2

Berðu saman svarið þitt:

y = x^{2} + 6 x + 7

Viltu prófa meira?

Að hugsa lengra

Bolta er kastað upp frá þaki 40 feta hárrar byggingar með upphafshraðanum 80 fet á sekúndu. Hæð boltans yfir jörðu má setja fram með jöfnunni hér að neðan. Hver er hámarkshæðin?

Lausn

H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40

Berðu saman svarið þitt:

Til að finna hámarkshæðina skaltu finna topppunktinn. Ritaðu fallið á topppunktsformi.

H (t) = - 16 t^{2} + 80 t + 40

Skref 1 - Taktu −16 út fyrir sviga í fyrstu tveimur liðunum.

H (t) = - 16 (t^{2} - 5 t) + 40

Skref 2 - Fylltu í ferninginn.

{(\frac{- 5}{2})}^{2} = \frac{25}{4}

Skref 3 - Bættu fastanum við til að fylla í ferninginn og leiðréttu fastaliðinn til að jafna stæðuna. Þar sem −16 er utan svigans verður fastinn sem bætist í raun við jöfnuna þessi:

- 16 \cdot \frac{25}{4} = - 100

Þar sem −100 bættist við þarf að bæta 100 við til að jafna stæðuna.

H (t) = - 16 (t^{2} - 5 t + \frac{25}{4}) + 40 - (- 100)

H (t) = - 16 (t^{2} - 5 t + \frac{25}{4}) + 40 + 100

Skref 4 - Þáttaðu og einfaldaðu.

H (t) = - 16 {(t - \frac{5}{2})}^{2} + 140

Skref 5 - Finndu topppunktinn.

(\frac{5}{2}, 140)

Þess vegna er hámarkshæðin 140 fet. Boltinn nær þessum hæsta punkti eftir 2,5 sekúndur.

Viðbótarefni

Að rita annars stigs föll á mismunandi formum

Þrjú algeng form annars stigs falla:

Staðalform annars stigs falls er

f (x) = a x^{2} + b x + c

þar sem a, b og c eru rauntölur og a ≠ 0.

a \neq 0

Topppunktsform annars stigs falls er

f (x) = a {(x - h)}^{2} + k

þar sem (h, k) er topppunkturinn.

(h, k)

Þáttað form annars stigs falls er

f (x) = (x - a) (x - b)

þar sem a og b eru rætur fallsins.

Dæmi 1

Ritaðu fallið á staðalformi.

f (x) = (x - 2) (x + 8)

Skref 1 - Margfaldaðu tvíliðurnar með dreifireglunni (FOIL).

f (x) = (x - 2) (x + 8)

f (x) = x^{2} - 2 x + 8 x - 16

Skref 2 - Einfaldaðu.

f (x) = x^{2} + 6 x - 16

Dæmi 2

Ritaðu fallið á topppunktsformi.

f (x) = (x - 2) (x + 8)

Vísbending: Byrjaðu á því að nota svarið úr dæmi 1.

Skref 1 - Fylltu í ferninginn.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{6}{2})}^{2} = 9

Skref 2 - Jafnaðu stæðuna. Bættu fastanum við annars stigs stæðuna til að fylla í ferninginn og dragðu hann frá upprunalega fastaliðnum.

f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 16 - 9

Að lokum skaltu þátta þríliðuna og einfalda.

f (x) = {(x + 3)}^{2} - 25

Dæmi 3

Endurritaðu fallið á staðalformi.

f (x) = 6 {(x - 2)}^{2} + 4

Skref 1 - Leystu veldið upp.

6 {(x - 2)}^{2} + 4

6 (x^{2} - 4 x + 4) + 4

Skref 2 - Dreifðu stuðlinum.

6 x^{2} - 24 x + 24 + 4

Skref 3 - Einfaldaðu líka liði.

f (x) = 6 x^{2} - 24 x + 28

Dæmi 4

Endurritaðu fallið á staðalformi.

f (x) = 5 {(x - 3)}^{2} + 2

Skref 1 - Leystu veldið upp.

5 {(x - 3)}^{2} + 2

5 (x^{2} - 6 x + 9) + 2

Skref 2 - Dreifðu stuðlinum.

5 x^{2} - 30 x + 45 + 2

Skref 3 - Einfaldaðu líka liði.

f (x) = 5 x^{2} - 30 x + 47

Dæmi 2

Ritaðu fallið á topppunktsformi.

f (x) = (x - 2) (x + 8)

Vísbending: Byrjaðu á því að nota svarið úr dæmi 1.

Skref 1 - Fylltu í ferninginn.

{(\frac{b}{2})}^{2} = {(\frac{6}{2})}^{2} = 9

Skref 2 - Jafnaðu stæðuna. Bættu fastanum við annars stigs stæðuna til að fylla í ferninginn og dragðu hann frá upprunalega fastaliðnum.

f (x) = x^{2} + 6 x + 9 - 16 - 9

Að lokum skaltu þátta þríliðuna og einfalda.

f (x) = {(x + 3)}^{2} - 25