99.4 Að fylla í ferninginn, hluti 3

9.4.3 Staðalform og þættir í öðru veldi

9.4.3 • Staðalform og þættir í öðru veldi

Verkefni

1. Finndu gildið á $c$ fyrir hverja stæðu þannig að hún verði ferningur tvíliðu á staðalformi.

a. $100 x^{2} + 80 x + c$

16. Staðalform: $100 x^{2} + 80 x + 16$ .

b. $36 x^{2} - 60 x + c$

25. Staðalform: $36 x^{2} - 60 x + 25$ .

c. $25 x^{2} + 40 x + c$

16. Staðalform: $25 x^{2} + 40 x + 16$ .

d. $0,25 x^{2} - 14 x + c$

196. Staðalform: $0,25 x^{2} - 14 x + 196$ .

Notaðu svörin úr spurningu 1 til að skrifa hverja stæðu sem jafngilda stæðu á formi þátta í öðru veldi.

Lausn

a. $100 x^{2} + 80 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(10 x + 4)}^{2}$

b. $36 x^{2} - 60 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(6 x - 5)}^{2}$

c. $25 x^{2} + 40 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(5 x + 4)}^{2}$

d. $0,25 x^{2} - 14 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(0,5 x - 14)}^{2}$

Skrifaðu eigið par af jafngildum stæðum.

Lausn

a. Búðu til þrílið sem er ferningur tvíliðu á staðalformi $(a x^{2} + b x + c)$ .

Svör geta verið mismunandi. Ein stæða á staðalformi er $49 x^{2} + 14 x + 1$ .

b. Skrifaðu nú sömu jafngildu stæðuna á formi þátta í öðru veldi ${(k x + m)}^{2}$ .

Svör geta verið mismunandi. Fyrir stæðuna hér að ofan er þátturinn í öðru veldi ${(7 x + 1)}^{2}$ .

Leystu hverja jöfnu með því að fylla í ferninginn.

Lausn

a. $25 x^{2} + 40 x = - 12$

Berðu saman svarið þitt:

$25 x^{2} + 40 x = - 12$

$25 x^{2} + 40 x + 12 = 0$

$25 x^{2} + 40 x + 12 + 4 = 4$

$25 x^{2} + 40 x + 16 = 4$

${(5 x + 4)}^{2} = 4$

$5 x + 4 = 2$

$5 x + 4 = - 2$

$5 x = - 2$

$5 x = - 6$

$x = - \frac{2}{5}$ og $x = - \frac{6}{5}$

b. $36 x^{2} - 60 x + 10 = - 6$

Berðu saman svarið þitt:

$36 x^{2} - 60 x + 10 = - 6$

$36 x^{2} - 60 x + 10 + 15 = - 6 + 15$

$36 x^{2} - 60 x + 25 = 9$

${(6 x - 5)}^{2} = 9$

$6 x - 5 = 3$

$6 x - 5 = - 3$

$6 x = 8$

$6 x = 2$

$x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ og $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Finndu gildið sem myndar ferning tvíliðu og leystu

Í fyrri kennslustundum unnum við með stæður sem eru ferningar tvíliðu. Við lærðum að jafngildar stæður þeirra á staðalformi fylgja fyrirsjáanlegu mynstri.

Almennt má skrifa ${(x + m)}^{2}$ sem $x^{2} + 2 m x + m^{2}$ .

Ef annars stigs stæða á forminu $a x^{2} + b x + c$ er ferningur tvíliðu og $a = 1$ , þá er $b = 2 m$ og $c = m^{2}$ fyrir eitthvert gildi á $m$ .

Í þessari kennslustund hefur breytan í þáttunum sem eru settir í annað veldi stuðul annan en 1. Jafngilda staðalformið fylgir sama mynstri.

${(3 x + 1)}^{2}$ = ${(3 x)}^{2} + 2 (3 x) (1) + 1^{2}$ eða $9 x^{2} + 6 x + 1$

${(2 x - 5)}^{2}$ = ${(2 x)}^{2} + 2 (2 x) (- 5) + {(- 5)}^{2}$ eða $4 x^{2} - 20 x + 25$

Almennt má skrifa ${(k x + m)}^{2}$ sem:

${(k x)}^{2} + 2 (k x) (m) + m^{2}$ eða $k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}$

Ef annars stigs stæða er á forminu $a x^{2} + b x + c$ , þá er $a = k^{2}$ , $b = 2 k m$ og $c = m^{2}$ .

Við getum notað þetta mynstur til að fylla í ferninginn og leysa jöfnur þegar stuðull $x^{2}$ -liðarins er annar en 1, til dæmis $16 x^{2} + 40 x = 11$ .

Hvaða fastalið getum við lagt við til að stæðan vinstra megin við jafnaðarmerkið verði ferningur tvíliðu? Og hvernig skrifum við stæðuna sem þætti í öðru veldi?

16 er 4², svo þættirnir í öðru veldi gætu verið ${(4 x + m)}^{2}$ .

$40 = 2 (4 m)$ , svo $8 m = 40$ og $m = 5$ .

Ef $c = m^{2}$ , þá er $c = m^{2} = 5^{2} = 25$ .

Stæðan $16 x^{2} + 40 x + 25$ er því ferningur tvíliðu og jafngildir ${(4 x + 5)}^{2}$ .

Leysum jöfnuna $16 x^{2} + 40 x = 11$ með því að fylla í ferninginn.

Skref 1 - Finndu þáttinn sem myndar fyrsta liðinn.

$16 x^{2} + 40 x = 11$

Til að fá ferning tvíliðu þurfum við ${(4 x + m)}^{2}$ , því $4 x$ er ferningsrót fyrsta liðarins $16 x^{2}$ .

Skref 2 - Finndu gildið á m.

Þar sem $b = 2 k m$ , $k = 4$ og $b = 40$ setjum við gildin inn og leysum.

$40 = 2 (4 m)$

$40 = 8 m$

$m = 5$

Skref 3 - Finndu c=m².

$c = m^{2} = 5^{2} = 25$

Skref 4 - Leggðu c við báðar hliðar jöfnunnar.

$16 x^{2} + 40 x + 25 = 11 + 25$

$16 x^{2} + 40 x + 25 = 36$

Skref 5 - Þáttaðu og einfaldaðu.

${(4 x + 5)}^{2} = 6^{2}$

Skref 6 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum. Mundu eftir plús eða mínus.

$4 x + 5 = \pm 6$

Skref 7 - Skrifaðu tvær jöfnur og leystu.

$4 x + 5 = 6$ eða $4 x + 5 = - 6$

$4 x = 1$ eða $4 x = - 11$

$x = \frac{1}{4}$ eða $x = - \frac{11}{4}$

99.4 Að fylla í ferninginn, hluti 3

9.4.3 Staðalform og þættir í öðru veldi

9.4.3 • Staðalform og þættir í öðru veldi

Verkefni

1. Finndu gildið á $c$ fyrir hverja stæðu þannig að hún verði ferningur tvíliðu á staðalformi.

a. $100 x^{2} + 80 x + c$

16. Staðalform: $100 x^{2} + 80 x + 16$ .

b. $36 x^{2} - 60 x + c$

25. Staðalform: $36 x^{2} - 60 x + 25$ .

c. $25 x^{2} + 40 x + c$

16. Staðalform: $25 x^{2} + 40 x + 16$ .

d. $0,25 x^{2} - 14 x + c$

196. Staðalform: $0,25 x^{2} - 14 x + 196$ .

Notaðu svörin úr spurningu 1 til að skrifa hverja stæðu sem jafngilda stæðu á formi þátta í öðru veldi.

Lausn

a. $100 x^{2} + 80 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(10 x + 4)}^{2}$

b. $36 x^{2} - 60 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(6 x - 5)}^{2}$

c. $25 x^{2} + 40 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(5 x + 4)}^{2}$

d. $0,25 x^{2} - 14 x + c$

Berðu saman svarið þitt: ${(0,5 x - 14)}^{2}$

Skrifaðu eigið par af jafngildum stæðum.

Lausn

a. Búðu til þrílið sem er ferningur tvíliðu á staðalformi $(a x^{2} + b x + c)$ .

Svör geta verið mismunandi. Ein stæða á staðalformi er $49 x^{2} + 14 x + 1$ .

b. Skrifaðu nú sömu jafngildu stæðuna á formi þátta í öðru veldi ${(k x + m)}^{2}$ .

Svör geta verið mismunandi. Fyrir stæðuna hér að ofan er þátturinn í öðru veldi ${(7 x + 1)}^{2}$ .

Leystu hverja jöfnu með því að fylla í ferninginn.

Lausn

a. $25 x^{2} + 40 x = - 12$

Berðu saman svarið þitt:

$25 x^{2} + 40 x = - 12$

$25 x^{2} + 40 x + 12 = 0$

$25 x^{2} + 40 x + 12 + 4 = 4$

$25 x^{2} + 40 x + 16 = 4$

${(5 x + 4)}^{2} = 4$

$5 x + 4 = 2$

$5 x + 4 = - 2$

$5 x = - 2$

$5 x = - 6$

$x = - \frac{2}{5}$ og $x = - \frac{6}{5}$

b. $36 x^{2} - 60 x + 10 = - 6$

Berðu saman svarið þitt:

$36 x^{2} - 60 x + 10 = - 6$

$36 x^{2} - 60 x + 10 + 15 = - 6 + 15$

$36 x^{2} - 60 x + 25 = 9$

${(6 x - 5)}^{2} = 9$

$6 x - 5 = 3$

$6 x - 5 = - 3$

$6 x = 8$

$6 x = 2$

$x = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ og $x = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Finndu gildið sem myndar ferning tvíliðu og leystu

Í fyrri kennslustundum unnum við með stæður sem eru ferningar tvíliðu. Við lærðum að jafngildar stæður þeirra á staðalformi fylgja fyrirsjáanlegu mynstri.

Almennt má skrifa ${(x + m)}^{2}$ sem $x^{2} + 2 m x + m^{2}$ .

Ef annars stigs stæða á forminu $a x^{2} + b x + c$ er ferningur tvíliðu og $a = 1$ , þá er $b = 2 m$ og $c = m^{2}$ fyrir eitthvert gildi á $m$ .

Í þessari kennslustund hefur breytan í þáttunum sem eru settir í annað veldi stuðul annan en 1. Jafngilda staðalformið fylgir sama mynstri.

${(3 x + 1)}^{2}$ = ${(3 x)}^{2} + 2 (3 x) (1) + 1^{2}$ eða $9 x^{2} + 6 x + 1$

${(2 x - 5)}^{2}$ = ${(2 x)}^{2} + 2 (2 x) (- 5) + {(- 5)}^{2}$ eða $4 x^{2} - 20 x + 25$

Almennt má skrifa ${(k x + m)}^{2}$ sem:

${(k x)}^{2} + 2 (k x) (m) + m^{2}$ eða $k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}$

Ef annars stigs stæða er á forminu $a x^{2} + b x + c$ , þá er $a = k^{2}$ , $b = 2 k m$ og $c = m^{2}$ .

Við getum notað þetta mynstur til að fylla í ferninginn og leysa jöfnur þegar stuðull $x^{2}$ -liðarins er annar en 1, til dæmis $16 x^{2} + 40 x = 11$ .

Hvaða fastalið getum við lagt við til að stæðan vinstra megin við jafnaðarmerkið verði ferningur tvíliðu? Og hvernig skrifum við stæðuna sem þætti í öðru veldi?

16 er 4², svo þættirnir í öðru veldi gætu verið ${(4 x + m)}^{2}$ .

$40 = 2 (4 m)$ , svo $8 m = 40$ og $m = 5$ .

Ef $c = m^{2}$ , þá er $c = m^{2} = 5^{2} = 25$ .

Stæðan $16 x^{2} + 40 x + 25$ er því ferningur tvíliðu og jafngildir ${(4 x + 5)}^{2}$ .

Leysum jöfnuna $16 x^{2} + 40 x = 11$ með því að fylla í ferninginn.

Skref 1 - Finndu þáttinn sem myndar fyrsta liðinn.

$16 x^{2} + 40 x = 11$

Til að fá ferning tvíliðu þurfum við ${(4 x + m)}^{2}$ , því $4 x$ er ferningsrót fyrsta liðarins $16 x^{2}$ .

Skref 2 - Finndu gildið á m.

Þar sem $b = 2 k m$ , $k = 4$ og $b = 40$ setjum við gildin inn og leysum.

$40 = 2 (4 m)$

$40 = 8 m$

$m = 5$

Skref 3 - Finndu c=m².

$c = m^{2} = 5^{2} = 25$

Skref 4 - Leggðu c við báðar hliðar jöfnunnar.

$16 x^{2} + 40 x + 25 = 11 + 25$

$16 x^{2} + 40 x + 25 = 36$

Skref 5 - Þáttaðu og einfaldaðu.

${(4 x + 5)}^{2} = 6^{2}$

Skref 6 - Taktu ferningsrót af báðum hliðum. Mundu eftir plús eða mínus.

$4 x + 5 = \pm 6$

Skref 7 - Skrifaðu tvær jöfnur og leystu.

$4 x + 5 = 6$ eða $4 x + 5 = - 6$

$4 x = 1$ eða $4 x = - 11$

$x = \frac{1}{4}$ eða $x = - \frac{11}{4}$