99.4 Að fylla í ferninginn, hluti 3

9.4.2 Að umrita stæður í öðru veldi

9.4.2 • Að umrita stæður í öðru veldi

Verkefni

Skrifaðu hverja stæðu á staðalformi:

Lausn

a. ${(4 x + 1)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $16 x^{2} + 8 x + 1$

b. ${(5 x - 2)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $25 x^{2} - 20 x + 4$

c. (½x+7)²

Berðu saman svarið þitt: $\frac{1}{4} x^{2} + 7 x + 49$

d. ${(3 x + n)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $9 x^{2} + 2 (3) (n) x + n^{2}$ eða $9 x^{2} + 6 n x + n^{2}$

e. ${(k x + m)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}$

2. Ákvarðaðu hvort hver stæða sé ferningur tvíliðu. Ef svo er skaltu skrifa jafngilda stæðu á forminu ${(k x + m)}^{2}$ . Ef ekki skaltu leggja til eina breytingu sem gerir hana að ferningi tvíliðu.

f. $4 x^{2} + 12 x + 9$

Já, stæðan er ferningur tvíliðu: ${(2 x + 3)}^{2}$ .

g. $4 x^{2} + 8 x + 25$

Nei, stæðan er ekki ferningur tvíliðu. Mögulegar breytingar eru til dæmis:

Að breyta stuðli fyrsta stigs liðarins í 20 gefur $4 x^{2} + 20 x + 25$ , sem jafngildir ${(2 x + 5)}^{2}$ .

Að breyta stuðli fyrsta stigs liðarins í −20 gefur $4 x^{2} - 20 x + 25$ , sem jafngildir ${(2 x - 5)}^{2}$ .

Að breyta fastaliðnum í 4 gefur $4 x^{2} + 8 x + 4$ , sem jafngildir ${(2 x + 2)}^{2}$ .

Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliðu

Til að þátta þríliði sem eru ferningar tvíliðu skaltu nota formúlurnar:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

Skoðum dæmi um hvernig má þátta þríliði sem eru ferningar tvíliðu.

Dæmi: Þáttaðu $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

Skref 1 - Athugaðu hvort þríliðurinn passi við mynstur ferningsþríliðar. Skrifaðu fyrsta liðinn sem a² og síðasta fastaliðinn sem b².

Fyrsti liðurinn er ferningur: $9 x^{2} = {(3 x)}^{2}$ .

Síðasti liðurinn er ferningur: $4 = {(2)}^{2}$ .

Miðliðurinn passar því $2 (3 x) (2) = 12 x$ .

Skref 2 - Þáttaðu þríliðinn með ferningsreglunni.

$9 x^{2} + 12 x + 4 = {(3 x + 2)}^{2}$

Skref 3 - Athugaðu svarið.

${(3 x + 2)}^{2}$

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2}$

$9 x^{2} + 12 x + 4 ✔$

99.4 Að fylla í ferninginn, hluti 3

9.4.2 Að umrita stæður í öðru veldi

9.4.2 • Að umrita stæður í öðru veldi

Verkefni

Skrifaðu hverja stæðu á staðalformi:

Lausn

a. ${(4 x + 1)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $16 x^{2} + 8 x + 1$

b. ${(5 x - 2)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $25 x^{2} - 20 x + 4$

c. (½x+7)²

Berðu saman svarið þitt: $\frac{1}{4} x^{2} + 7 x + 49$

d. ${(3 x + n)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $9 x^{2} + 2 (3) (n) x + n^{2}$ eða $9 x^{2} + 6 n x + n^{2}$

e. ${(k x + m)}^{2}$

Berðu saman svarið þitt: $k^{2} x^{2} + 2 k m x + m^{2}$

f. $4 x^{2} + 12 x + 9$

Já, stæðan er ferningur tvíliðu: ${(2 x + 3)}^{2}$ .

g. $4 x^{2} + 8 x + 25$

Nei, stæðan er ekki ferningur tvíliðu. Mögulegar breytingar eru til dæmis:

Að breyta stuðli fyrsta stigs liðarins í 20 gefur $4 x^{2} + 20 x + 25$ , sem jafngildir ${(2 x + 5)}^{2}$ .

Að breyta stuðli fyrsta stigs liðarins í −20 gefur $4 x^{2} - 20 x + 25$ , sem jafngildir ${(2 x - 5)}^{2}$ .

Að breyta fastaliðnum í 4 gefur $4 x^{2} + 8 x + 4$ , sem jafngildir ${(2 x + 2)}^{2}$ .

Þáttun þríliða sem eru ferningar tvíliðu

Til að þátta þríliði sem eru ferningar tvíliðu skaltu nota formúlurnar:

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$

Skoðum dæmi um hvernig má þátta þríliði sem eru ferningar tvíliðu.

Dæmi: Þáttaðu $9 x^{2} + 12 x + 4$ .

Skref 1 - Athugaðu hvort þríliðurinn passi við mynstur ferningsþríliðar. Skrifaðu fyrsta liðinn sem a² og síðasta fastaliðinn sem b².

Fyrsti liðurinn er ferningur: $9 x^{2} = {(3 x)}^{2}$ .

Síðasti liðurinn er ferningur: $4 = {(2)}^{2}$ .

Miðliðurinn passar því $2 (3 x) (2) = 12 x$ .

Skref 2 - Þáttaðu þríliðinn með ferningsreglunni.

$9 x^{2} + 12 x + 4 = {(3 x + 2)}^{2}$

Skref 3 - Athugaðu svarið.

${(3 x + 2)}^{2}$

${(3 x)}^{2} + 2 \cdot 3 x \cdot 2 + 2^{2}$

$9 x^{2} + 12 x + 4 ✔$