88.6 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 1

8.6.3 Endurrita annars stigs stæður á staðalform

8.6.3 Umritun annars stigs stæðna á staðalform

8.6.3 • Umritun annars stigs stæðna á staðalform

Verkefni

Hver röð í töflunni inniheldur par jafngildra stæðna.

Fylltu töfluna út með stæðunum sem vantar. Ef þú festist skaltu prófa að teikna skýringarmynd.

Þáttað form	Staðalform
x(x + 7)
	x² + 9x
	x² − 8x
(x + 6)(x + 2)
	x² + 13x + 12
(x − 6)(x − 2)
	x² − 7x + 12
	x² + 6x + 9
	x² + 10x + 9
	x² − 10x + 9
	x² − 6x + 9
	x² + (m + n)x + mn

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttað form	Staðalform
x(x + 7)	x² + 7x
x(x + 9)	x² + 9x
x(x − 8)	x² − 8x
(x + 6)(x + 2)	x² + 8x + 12
(x + 12)(x + 1)	x² + 13x + 12
(x − 6)(x − 2)	x² − 8x + 12
(x − 4)(x − 3)	x² − 7x + 12
(x + 3)(x + 3)	x² + 6x + 9
(x + 9)(x + 1)	x² + 10x + 9
(x − 9)(x − 1)	x² − 10x + 9
(x − 3)(x − 3)	x² − 6x + 9
(x + m)(x + n)	x² + (m + n)x + mn

Meira til umhugsunar

Stærðfræðingur hélt veislu. Hún sagði við gestina: „Ég er með gátu handa ykkur. Ég á þrjár dætur. Margfeldi aldurs þeirra er 72. Summa aldurs þeirra er sama tala og húsnúmerið mitt. Hvað eru dætur mínar gamlar?“

Gestirnir fóru út til að skoða húsnúmerið. Þeir hugsuðu sig um í nokkrar mínútur og sögðu síðan: „Þessa gátu er ekki hægt að leysa!“

Stærðfræðingurinn sagði: „Ó já, ég gleymdi að segja ykkur síðustu vísbendinguna. Yngsta dóttir mín vill helst jarðarberjaís.“

Með þessari síðustu vísbendingu gátu gestirnir leyst gátuna. Hvað eru dætur stærðfræðingsins gamlar? Búðu þig undir að sýna röksemdafærslu þína.

Lausn

2, 6 og 6.

Ef margfeldi aldurs þeirra er 72 eru tólf möguleikar:

• 1, 1, 72
• 1, 2, 36
• 1, 3, 24
• 1, 4, 18

• 1, 6, 12
• 1, 8, 9
• 2, 2, 18
• 2, 3, 12

• 2, 4, 9
• 2, 6, 6
• 3, 3, 8
• 3, 4, 6

Þar sem ekki er hægt að leysa gátuna með því einu að vita húsnúmerið, það er summu talnanna þriggja, hlýtur að vera til fleiri en einn aldursmöguleiki með sömu summu.

Vísbendingin um yngstu dótturina útilokar 3, 3 og 8, því þar eru tvær yngstar. Því eru dætur stærðfræðingsins 2, 6 og 6 ára.

Athugaðu skilning þinn

Finndu þáttaða formið á $x^{2} - 18 x + 80$ .
A. $(x + 8) (x + 10)$
B. $(x - 4) (x - 20)$
C. $(x - 12) (x - 6)$
D. $(x - 8) (x - 10)$

Ítarefni

Umritun annars stigs stæðna á staðalform

Við höfum æft okkur mikið í að umrita þáttað form yfir á staðalform. Til að snúa þessu ferli við þarf marga af sömu hæfnunum.
Lítum á dæmi.
Dæmi 1
Skrifaðu $x^{2} + 16 x + 63$ á þáttuðu formi.
Til að gera þetta þurfum við að hugsa um hvernig þú breyttir þáttuðu formi yfir á staðalform. Athugaðu fyrst hvort forystustuðullinn, stuðullinn við annars stigs liðinn, sé 1. Ef svo er:

Til að finna stuðul miðliðsins, 16, lögðum við saman tvær tölur úr skýringarmyndinni.
Til að finna síðasta liðinn, fastaliðinn 63, margfölduðum við saman tvær tölur úr skýringarmyndinni.

Hvaða tölur,

a

b

, hafa summuna 16 og margfeldið 63?

Diagram that shows a plus b and a times b with arrows going to 16 and 63 in the quadratic expression, x-squared plus 16 times x plus 63.

Jákvæðir þættir 63 eru meðal annars:

1, 63
3, 21
7, 9

Með röksemdafærslu finnum við að 7 og 9 eru tölurnar sem við leitum að.

Því er þáttaða formið á $x^{2} + 16 x + 63$ jafnt $(x + 7) (x + 9)$ .

Lítum á annað dæmi.

Dæmi 2

Skrifaðu $x^{2} - 10 x + 16$ á þáttuðu formi.

Fortákn miðliðsins er neikvætt, en við fylgjum sama ferli þar sem stuðullinn við $x^{2}$ er 1.

Við skulum umrita stæðuna sem $x^{2} + (- 10) x + 16$ .

Hvaða tölur hafa summuna −10 og margfeldið 16?

Þættir 16 eru meðal annars:

1, 16
−1, −16
2, 8
−2, −8
4, 4
−4, −4

Tölurnar sem við þurfum eru −2 og −8, því margfeldi þeirra er 16 og summa þeirra er −10.

Því er þáttaða formið $(x + (- 2)) (x + (- 8))$ . Þetta má umrita sem $(x - 2) (x - 8)$ .

Svar

Svona má umrita annars stigs stæður á staðalformi yfir á þáttað form:
1. $(x + 6) (x + 3)$ ; þar sem forystustuðullinn er 1 skaltu hugsa um tvær tölur sem hafa summuna 9 og margfeldið 18.
2. $(x - 5) (x - 7)$ ; þar sem forystustuðullinn er 1 skaltu hugsa um tvær tölur sem hafa summuna −12 og margfeldið 35.

88.6 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 1

8.6.3 Endurrita annars stigs stæður á staðalform

8.6.3 Umritun annars stigs stæðna á staðalform

8.6.3 • Umritun annars stigs stæðna á staðalform

Verkefni

Hver röð í töflunni inniheldur par jafngildra stæðna.

Fylltu töfluna út með stæðunum sem vantar. Ef þú festist skaltu prófa að teikna skýringarmynd.

Þáttað form	Staðalform
x(x + 7)
	x² + 9x
	x² − 8x
(x + 6)(x + 2)
	x² + 13x + 12
(x − 6)(x − 2)
	x² − 7x + 12
	x² + 6x + 9
	x² + 10x + 9
	x² − 10x + 9
	x² − 6x + 9
	x² + (m + n)x + mn

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Þáttað form	Staðalform
x(x + 7)	x² + 7x
x(x + 9)	x² + 9x
x(x − 8)	x² − 8x
(x + 6)(x + 2)	x² + 8x + 12
(x + 12)(x + 1)	x² + 13x + 12
(x − 6)(x − 2)	x² − 8x + 12
(x − 4)(x − 3)	x² − 7x + 12
(x + 3)(x + 3)	x² + 6x + 9
(x + 9)(x + 1)	x² + 10x + 9
(x − 9)(x − 1)	x² − 10x + 9
(x − 3)(x − 3)	x² − 6x + 9
(x + m)(x + n)	x² + (m + n)x + mn

Meira til umhugsunar

Gestirnir fóru út til að skoða húsnúmerið. Þeir hugsuðu sig um í nokkrar mínútur og sögðu síðan: „Þessa gátu er ekki hægt að leysa!“

Stærðfræðingurinn sagði: „Ó já, ég gleymdi að segja ykkur síðustu vísbendinguna. Yngsta dóttir mín vill helst jarðarberjaís.“

Með þessari síðustu vísbendingu gátu gestirnir leyst gátuna. Hvað eru dætur stærðfræðingsins gamlar? Búðu þig undir að sýna röksemdafærslu þína.

Lausn

2, 6 og 6.

Ef margfeldi aldurs þeirra er 72 eru tólf möguleikar:

• 1, 1, 72
• 1, 2, 36
• 1, 3, 24
• 1, 4, 18

• 1, 6, 12
• 1, 8, 9
• 2, 2, 18
• 2, 3, 12

• 2, 4, 9
• 2, 6, 6
• 3, 3, 8
• 3, 4, 6

Þar sem ekki er hægt að leysa gátuna með því einu að vita húsnúmerið, það er summu talnanna þriggja, hlýtur að vera til fleiri en einn aldursmöguleiki með sömu summu.

Vísbendingin um yngstu dótturina útilokar 3, 3 og 8, því þar eru tvær yngstar. Því eru dætur stærðfræðingsins 2, 6 og 6 ára.

Athugaðu skilning þinn

Finndu þáttaða formið á $x^{2} - 18 x + 80$ .
A. $(x + 8) (x + 10)$
B. $(x - 4) (x - 20)$
C. $(x - 12) (x - 6)$
D. $(x - 8) (x - 10)$

Ítarefni

Umritun annars stigs stæðna á staðalform

Við höfum æft okkur mikið í að umrita þáttað form yfir á staðalform. Til að snúa þessu ferli við þarf marga af sömu hæfnunum.
Lítum á dæmi.
Dæmi 1
Skrifaðu $x^{2} + 16 x + 63$ á þáttuðu formi.
Til að gera þetta þurfum við að hugsa um hvernig þú breyttir þáttuðu formi yfir á staðalform. Athugaðu fyrst hvort forystustuðullinn, stuðullinn við annars stigs liðinn, sé 1. Ef svo er:

Til að finna stuðul miðliðsins, 16, lögðum við saman tvær tölur úr skýringarmyndinni.
Til að finna síðasta liðinn, fastaliðinn 63, margfölduðum við saman tvær tölur úr skýringarmyndinni.

Hvaða tölur,

a

b

, hafa summuna 16 og margfeldið 63?

Jákvæðir þættir 63 eru meðal annars:

1, 63
3, 21
7, 9

Með röksemdafærslu finnum við að 7 og 9 eru tölurnar sem við leitum að.

Því er þáttaða formið á $x^{2} + 16 x + 63$ jafnt $(x + 7) (x + 9)$ .

Lítum á annað dæmi.

Dæmi 2

Skrifaðu $x^{2} - 10 x + 16$ á þáttuðu formi.

Fortákn miðliðsins er neikvætt, en við fylgjum sama ferli þar sem stuðullinn við $x^{2}$ er 1.

Við skulum umrita stæðuna sem $x^{2} + (- 10) x + 16$ .

Hvaða tölur hafa summuna −10 og margfeldið 16?

Þættir 16 eru meðal annars:

1, 16
−1, −16
2, 8
−2, −8
4, 4
−4, −4

Tölurnar sem við þurfum eru −2 og −8, því margfeldi þeirra er 16 og summa þeirra er −10.

Því er þáttaða formið $(x + (- 2)) (x + (- 8))$ . Þetta má umrita sem $(x - 2) (x - 8)$ .

Svar

Svona má umrita annars stigs stæður á staðalformi yfir á þáttað form:
1. $(x + 6) (x + 3)$ ; þar sem forystustuðullinn er 1 skaltu hugsa um tvær tölur sem hafa summuna 9 og margfeldið 18.
2. $(x - 5) (x - 7)$ ; þar sem forystustuðullinn er 1 skaltu hugsa um tvær tölur sem hafa summuna −12 og margfeldið 35.