88.6 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 1

8.6.2 Nota skýringarmyndir til að skilja jafngildar stæður

8.6.2 Notkun skýringarmynda til að skilja jafngildar stæður

8.6.2 • Notkun skýringarmynda til að skilja jafngildar stæður

Verkefni

Skoðaðu þessar tvær stæður.

(x + 7)(x + 9)

x² + 16x + 63

Við getum sýnt að þær eru jafngildar með því að nota skýringarmynd til að skipta margfeldinu í hluta.

	x	7
x	x²	7x
9	9x	63

Tvíliðaþættirnir eru settir meðfram láréttri og lóðréttri brún skýringarmyndarinnar. Inni í reitunum eru liðirnir í þáttunum margfaldaðir saman.

Síðan eru eins liðir lagðir saman. Liðirnir 7x og 9x mynda fyrsta stigs liðinn 16x í stæðunni á staðalformi.

Notaðu skýringarmynd til að sýna að hvert par stæðna sé jafngilt. Þegar frádráttur kemur fyrir er gagnlegt að skrifa hann sem samlagningu gagntölu, eins og sýnt er í spurningum 2 og 5.

1. $x(x + 3) og x² + 3x$
Lausn
$x(x + 3) og x² + 3x$
x 0
x x² 0
3 3x 0
2. $x(x + (−6)) og x² − 6x$
Lausn
$x(x + (−6)) og x² − 6x$
x 0
x x² 0
−6 −6x 0
3. $(x + 2)(x + 4) og x² + 6x + 8$
Lausn
$(x + 2)(x + 4) og x² + 6x + 8$
x 2
x x² 2x
4 4x 8
4. $(x + 4)(x + 10) og x² + 14x + 40$
Lausn
$(x + 4)(x + 10) og x² + 14x + 40$
x 4
x x² 4x
10 10x 40
5. $(x + (−5))(x + (−1)) og x² − 6x + 5$
Lausn
$(x + (−5))(x + (−1)) og x² − 6x + 5$
x −5
x x² −5x
−1 −x 5
6. $(x − 1)(x − 7) og x² − 8x + 7$
Lausn
$(x − 1)(x − 7) og x² − 8x + 7$
Skrifa má þáttaða formið sem samlagningu gagntalna:
$(x − 1)(x − 7) = (x + (−1))(x + (−7))$
x −1
x x² −x
−7 −7x 7
7. Skoðaðu pörin af stæðum sem fela í sér margfeldi tveggja summa eða tveggja mismuna. Hvernig tengist stæðan á þáttuðu formi jafngildri stæðu á staðalformi?
Lausn
Þegar stuðull x-liðarins í hvorum þætti er 1, þá verður summa talnanna tveggja í þáttaða forminu stuðull x-liðarins á staðalformi. Margfeldi sömu tveggja talna verður fastaliðurinn í staðalformi.

Athugaðu skilning þinn

Stæða á staðalformi er sýnd. Hvaða þáttaða form samsvarar skýringarmyndinni?

x² − 13x + 42

	x	−6
x	x²	−6x
−7	−7x	42

A: $(x − 6)(x − 7)$
B: $(x − 6)(x + 7)$
C: $(x + 6)(x + 7)$
D: $(x − 13)(x + 42)$

Ítarefni

Dæmi 1

Skoðaðu þessar tvær stæður.

(x + 3)(x + 5)

x² + 8x + 15

Við getum sýnt að þær eru jafngildar með skýringarmynd.

Fyllum fyrst út skýringarmyndina.
Margföldum samsvarandi raðir og dálka.
$x$ 3
$x$ x · x = x² 3 · x = 3x
5 5 · x = 5x 3 · 5 = 15

Þetta gefur skýringarmyndina hér fyrir neðan.

	$x$	3
$x$	$x^{2}$	3x
5	5x	15

Skref 3: Notum skýringarmyndina til að skrifa stæðuna á staðalformi.

Diagram that represents multiplication of x plus 5 times x plus 3 times x and 5 are on the left and x and 3 are on the top the 4 sections are filled in as x-squared, 3 times x, 5 times x, and 15 the product of x-squared plus 8 times x plus 15 is shown, with a green arrow from x-squared in the diagram to x-squared in the expression, two blue arrows from 3 times x and 5 times x in the diagram to 8 times x in the expression, and a red arrow from 15 in the diagram to 15 in the expression.

Stæðurnar eru því jafngildar.

Dæmi 2

Sama aðferð virkar þegar frádráttur kemur fyrir í þáttunum.

(x − 6)(x − 9)

x² − 15x + 54

Það hjálpar að skrifa þáttaða formið sem samlagningu neikvæðra talna:

(x − 6)(x − 9) = (x + (−6))(x + (−9))

Fyllum út töfluna.
$x$ −6
$x$
−9
Margföldum dálka og raðir.
$x$ −6
$x$ $x^{2}$ −6x
−9 −9x 54
Notum skýringarmyndina til að skrifa stæðuna á staðalformi.
$x² − 15x + 54$

Stæðurnar eru jafngildar.

Þegar stuðlar x-liðanna eru báðir 1 í þáttuðu formi, þá er fyrsti stigs liðurinn í staðalforminu summa talnanna í þáttuðu formi.

Í dæminu hér að ofan er liðurinn −15x summa talnanna −9 og −6.

Fastaliðurinn er jafnframt margfeldi talnanna í þáttuðu formi.

Í dæminu hér að ofan er liðurinn 54 margfeldi talnanna −9 og −6.

Þetta mynstur hjálpar þegar skipt er á milli staðalforms og þáttaðs forms. Mynstrið á aðeins við hér vegna þess að stuðlar x-liðanna í þáttunum eru 1, þannig að annars stigs liðurinn hefur líka stuðulinn 1.

Staðalformið er:

x² + 9x + 14

2. Skýringarmyndin sýnir sundurliðun stæðunnar hér fyrir neðan. Hvert er jafngilt þáttað form?

x² − 11x + 24

	$x$	−3
$x$	$x^{2}$	−3x
−8	−8x	24

(x − 3)(x − 8)

8.6.2 Notkun skýringarmynda til að skilja jafngildar stæður

8.6.2 • Notkun skýringarmynda til að skilja jafngildar stæður

Verkefni

Skoðaðu þessar tvær stæður.

(x + 7)(x + 9)

x² + 16x + 63

Við getum sýnt að þær eru jafngildar með því að nota skýringarmynd til að skipta margfeldinu í hluta.

	x	7
x	x²	7x
9	9x	63

Tvíliðaþættirnir eru settir meðfram láréttri og lóðréttri brún skýringarmyndarinnar. Inni í reitunum eru liðirnir í þáttunum margfaldaðir saman.

Síðan eru eins liðir lagðir saman. Liðirnir 7x og 9x mynda fyrsta stigs liðinn 16x í stæðunni á staðalformi.

Notaðu skýringarmynd til að sýna að hvert par stæðna sé jafngilt. Þegar frádráttur kemur fyrir er gagnlegt að skrifa hann sem samlagningu gagntölu, eins og sýnt er í spurningum 2 og 5.

1. $x(x + 3) og x² + 3x$
Lausn
$x(x + 3) og x² + 3x$
x 0
x x² 0
3 3x 0
2. $x(x + (−6)) og x² − 6x$
Lausn
$x(x + (−6)) og x² − 6x$
x 0
x x² 0
−6 −6x 0
3. $(x + 2)(x + 4) og x² + 6x + 8$
Lausn
$(x + 2)(x + 4) og x² + 6x + 8$
x 2
x x² 2x
4 4x 8
4. $(x + 4)(x + 10) og x² + 14x + 40$
Lausn
$(x + 4)(x + 10) og x² + 14x + 40$
x 4
x x² 4x
10 10x 40
5. $(x + (−5))(x + (−1)) og x² − 6x + 5$
Lausn
$(x + (−5))(x + (−1)) og x² − 6x + 5$
x −5
x x² −5x
−1 −x 5
6. $(x − 1)(x − 7) og x² − 8x + 7$
Lausn
$(x − 1)(x − 7) og x² − 8x + 7$
Skrifa má þáttaða formið sem samlagningu gagntalna:
$(x − 1)(x − 7) = (x + (−1))(x + (−7))$
x −1
x x² −x
−7 −7x 7
7. Skoðaðu pörin af stæðum sem fela í sér margfeldi tveggja summa eða tveggja mismuna. Hvernig tengist stæðan á þáttuðu formi jafngildri stæðu á staðalformi?
Lausn
Þegar stuðull x-liðarins í hvorum þætti er 1, þá verður summa talnanna tveggja í þáttaða forminu stuðull x-liðarins á staðalformi. Margfeldi sömu tveggja talna verður fastaliðurinn í staðalformi.

Athugaðu skilning þinn

Stæða á staðalformi er sýnd. Hvaða þáttaða form samsvarar skýringarmyndinni?

x² − 13x + 42

	x	−6
x	x²	−6x
−7	−7x	42

A: $(x − 6)(x − 7)$
B: $(x − 6)(x + 7)$
C: $(x + 6)(x + 7)$
D: $(x − 13)(x + 42)$

Ítarefni

Dæmi 1

Skoðaðu þessar tvær stæður.

(x + 3)(x + 5)

x² + 8x + 15

Við getum sýnt að þær eru jafngildar með skýringarmynd.

Fyllum fyrst út skýringarmyndina.
Margföldum samsvarandi raðir og dálka.
$x$ 3
$x$ x · x = x² 3 · x = 3x
5 5 · x = 5x 3 · 5 = 15

Þetta gefur skýringarmyndina hér fyrir neðan.

	$x$	3
$x$	$x^{2}$	3x
5	5x	15

Skref 3: Notum skýringarmyndina til að skrifa stæðuna á staðalformi.

Stæðurnar eru því jafngildar.

Dæmi 2

Sama aðferð virkar þegar frádráttur kemur fyrir í þáttunum.

(x − 6)(x − 9)

x² − 15x + 54

Það hjálpar að skrifa þáttaða formið sem samlagningu neikvæðra talna:

(x − 6)(x − 9) = (x + (−6))(x + (−9))

Fyllum út töfluna.
$x$ −6
$x$
−9
Margföldum dálka og raðir.
$x$ −6
$x$ $x^{2}$ −6x
−9 −9x 54
Notum skýringarmyndina til að skrifa stæðuna á staðalformi.
$x² − 15x + 54$

Stæðurnar eru jafngildar.

Þegar stuðlar x-liðanna eru báðir 1 í þáttuðu formi, þá er fyrsti stigs liðurinn í staðalforminu summa talnanna í þáttuðu formi.

Í dæminu hér að ofan er liðurinn −15x summa talnanna −9 og −6.

Fastaliðurinn er jafnframt margfeldi talnanna í þáttuðu formi.

Í dæminu hér að ofan er liðurinn 54 margfeldi talnanna −9 og −6.

Staðalformið er:

x² + 9x + 14

2. Skýringarmyndin sýnir sundurliðun stæðunnar hér fyrir neðan. Hvert er jafngilt þáttað form?

x² − 11x + 24

	$x$	−3
$x$	$x^{2}$	−3x
−8	−8x	24

(x − 3)(x − 8)

	x	4
x	x²	4x
10	10x	40

	x	−5
x	x²	−5x
−1	−x	5

	x	4
x	x²	4x
10	10x	40

	x	−5
x	x²	−5x
−1	−x	5