88.5 Hversu margar lausnir?

8.5.2 Túlkun grafa til að leysa annars stigs jöfnur

8.5.2 • 8.5.2 Túlkun grafa til að leysa annars stigs jöfnur

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar til að fá ráð um lausn verkefna með Desmos-grafreiknivélinni.

Julio leysir þrjár jöfnur með grafteikningu.

(x − 5)(x − 3) = 0

(x − 5)(x − 3) = −1

(x − 5)(x − 3) = −4

Til að leysa fyrstu jöfnuna teiknaði hann graf fallsins

y = (x − 5)(x − 3)

og leitaði síðan að skurðpunktum grafsins við x-ás.

Útskýrðu hvers vegna hægt er að nota skurðpunkta við x-ás til að leysa jöfnuna.

Lausn

(x − 5)(x − 3) = 0

Lausnir jöfnunnar eru þau x-gildi sem gera stæðuna jafna 0. Í skurðpunktum grafsins við x-ás er y-gildi stæðunnar 0, svo skurðpunktarnir við x-ás gefa lausnirnar.

Teiknaðu grafið og ákvarðaðu lausnirnar.

Lausn

y = (x − 5)(x − 3)

The parabola opens up and has a vertex at the point (4, negative 1) the x-intercepts are (3, 0) and (5, 0).

Lausnirnar eru:

x = 5 og x = 3

Til að leysa aðra jöfnuna umritaði Julio hana fyrst þannig að önnur hliðin væri 0:

(x − 5)(x − 3) + 1 = 0

Síðan teiknaði hann graf fallsins

y = (x − 5)(x − 3) + 1

Teiknaðu grafið og notaðu það til að leysa jöfnuna. Búðu þig undir að útskýra hvernig þú notaðir grafið.

Lausn

y = (x − 5)(x − 3) + 1

The parabola opens up and has a vertex at the point (4, 0) the x-intercepts is (4, 0).

Lausnin á jöfnunni er 4. Hún er x-hnit skurðpunkts grafsins við x-ás.

x = 4

Leystu þriðju jöfnuna með grafteikniaðferð Julios.

Hverjar eru lausnirnar á jöfnunni?

Lausn

y = (x − 5)(x − 3) + 4

The parabola opens up and has a vertex at the point (4, 3)the x-intercepts is (4, 3).

Jafnan hefur enga lausn, því grafið hefur engan skurðpunkt við x-ás.

Hugsaðu um grafteikniaðferðina sem var notuð til að leysa jöfnurnar og lausnirnar sem þú fannst. Skoðaðu Desmos-gröfin fyrir allar þrjár jöfnurnar.

A graph with three upward-opening parabolas in red, blue, and green on a grid. All have similar shapes and are centered around x equals 4, but each reaches its minimum at different y-values.

Hvers vegna getur verið gagnlegt að umrita hverja jöfnu þannig að önnur hliðin sé 0 og teikna síðan graf stæðunnar hinum megin?

Lausn

Þegar annars stigs stæða er jöfn 0 og við viljum finna óþekktu gildin, má líta á verkefnið sem að finna núllstöðvar annars stigs falls eða skurðpunkta grafs þess við x-ás.

Hversu margar lausnir hefur hver af jöfnunum þremur?

Lausn

Fyrsta jafnan hefur tvær lausnir, önnur jafnan hefur eina lausn og síðasta jafnan hefur enga lausn.

Útvíkkun

Teiknaðu gröfin í sama hnitakerfi:

Lausn

y = (x − 3)(x − 5)

y = −1

Graph of a parabola that opens up with a vertex at (4, negative 1) and x-intercepts of 3 and 5a horizontal dotted line is graphed aty equals negative 1.

Hvernig hjálpa þessi gröf við að leysa jöfnuna?

Lausn

(x − 3)(x − 5) = −1

Lausnin er x-gildi skurðpunkts grafanna tveggja. Lausnin er 4.

x = 4

Teiknaðu gröfin í sama hnitakerfi:

Lausn

y = (x − 3)(x − 5)

y = 0

Graph of a parabola that opens up with a vertex at (4, negative 1) and x-intercepts of 3 and 5a horizontal dotted line is graphed at y equals 0.

Hvernig hjálpa þessi gröf við að leysa jöfnuna?

Lausn

(x − 3)(x − 5) = 0

Lausnirnar eru x-gildi skurðpunkta grafanna tveggja. Lausnirnar eru 3 og 5.

x = 3 og x = 5

Teiknaðu gröfin í sama hnitakerfi:

Lausn

y = (x − 3)(x − 5)

y = 3

Graph of a parabola that opens up with a vertex at (4, negative 1) and x-intercepts of 3 and 5 a horizontal dotted line is graphed at y equals 3.

Hvernig hjálpa þessi gröf við að leysa jöfnuna?

(x − 3)(x − 5) = 3

Lausnirnar eru x-gildi skurðpunkta grafanna tveggja. Lausnirnar eru 2 og 6.

x = 2 og x = 6

Notaðu gröfin sem þú bjóst til í spurningum 1-3 til að finna nokkrar aðrar jöfnur á þessu formi sem hafa heiltölulausnir:

Lausn

(x − 3)(x − 5) = z

Mörg svör koma til greina, til dæmis:

(x − 3)(x − 5) = 8

(x − 3)(x − 5) = 15

(x − 3)(x − 5) = 24

Sum gildin á z sem þú gætir hafa fundið eru −1, 0, 3, 8, 15, 24 og svo framvegis. Finndu mynstur í þeim z-gildum sem gefa heiltölulausnir.

Lausn

Byrjað er á z = −1 og síðan bætast við 1, 3, 5 og svo framvegis til að fá næsta z-gildi sem gefur heiltölulausnir.

−1, 0, 3, 8, 15, 24, ...

Þar sem stæðurnar x − 3 og x − 5 tákna tölur sem muna 2, hafa z-gildin formið

−1·1, 0·2, 1·3, 2·4, ...

Án þess að leysa skaltu ákvarða hvort jöfnurnar hafi heiltölulausnir. Búðu þig undir að sýna röksemdafærslu þína.

Lausn

(x − 5)(x − 3) = 120

(x − 5)(x − 3) = 399

Báðar hafa heiltölulausnir. z-gildin sem gefa heiltölulausnir eru einu minni en ferningstölur; hér eru 120 + 1 = 121 og 399 + 1 = 400 ferningstölur.

Athugaðu skilning þinn

Notaðu grafteiknitækni til að ákvarða fjölda lausna jöfnunnar og finndu síðan allar lausnir.

(x + 3)(x − 6) = −22

$A. Jafnan hefur enga lausn.$
$Tvær lausnir: x = −3 eða x = 6$
$Tvær lausnir: x = −6 eða x = 3$
$Ein lausn: x = 5,5$

Ítarefni

Túlkun grafa til að leysa annars stigs jöfnur

Greinum og túlkum gröf nokkurra annars stigs jafna.

Dæmi 1

Skoðum fyrst jöfnuna:

(x − 4)(x − 7) = 0

Við teiknum graf fallsins

y = (x − 4)(x − 7)

Graph of a parabola that opens up and passes through the points (4, 0) and (7, 0).

Grafið hefur tvo skurðpunkta við x-ás. Lausnir jöfnunnar eru þau x-gildi sem gera stæðuna jafna 0.

Skurðpunktarnir við x-ás, lausnir jöfnunnar, rætur jöfnunnar og núllstöðvar fallsins eru 4 og 7.

x = 4 og x = 7

Dæmi 2

Skoðum annað dæmi:

(x − 4)(x − 7) = −2,25

Fyrst umritum við jöfnuna þannig að önnur hliðin sé 0.

(x − 4)(x − 7) + 2,25 = 0

Við teiknum graf fallsins

y = (x − 4)(x − 7) + 2,25

Graph of a parabola that opens up with a vertex at (5.5, 0).

Grafið hefur einn skurðpunkt við x-ás. Þetta er dæmi um tvöfalda rót við x = 5,5.

Tvöföld rót er rót sem kemur tvisvar fyrir í lausn algebrulegrar jöfnu.

x = 5,5

Dæmi 3

Skoðum eitt dæmi í viðbót:

(x − 4)(x − 7) = −5

Fyrst umritum við jöfnuna þannig að önnur hliðin sé 0.

(x − 4)(x − 7) + 5 = 0

Við teiknum graf fallsins

y = (x − 4)(x − 7) + 5

Graph of a parabola that opens up the graph does not touch or cross the x-axis the graph passes through the points (4, 5) and (7, 5).

Grafið hefur engan skurðpunkt við x-ás. Því hefur jafnan enga rauntölulausn.

Mundu: þegar annars stigs stæða er jöfn 0 og við viljum finna óþekktu gildin, má líta á verkefnið sem að finna núllstöðvar annars stigs falls eða skurðpunkta grafsins við x-ás.

Dæmi 1

Skoðum fyrst jöfnuna:

(x − 4)(x − 7) = 0

Við teiknum graf fallsins

y = (x − 4)(x − 7)

Grafið hefur tvo skurðpunkta við x-ás. Lausnir jöfnunnar eru þau x-gildi sem gera stæðuna jafna 0.

Skurðpunktarnir við x-ás, lausnir jöfnunnar, rætur jöfnunnar og núllstöðvar fallsins eru 4 og 7.

x = 4 og x = 7

Dæmi 2

Skoðum annað dæmi:

(x − 4)(x − 7) = −2,25

Fyrst umritum við jöfnuna þannig að önnur hliðin sé 0.

(x − 4)(x − 7) + 2,25 = 0

Við teiknum graf fallsins

y = (x − 4)(x − 7) + 2,25

Grafið hefur einn skurðpunkt við x-ás. Þetta er dæmi um tvöfalda rót við x = 5,5.

Tvöföld rót er rót sem kemur tvisvar fyrir í lausn algebrulegrar jöfnu.

x = 5,5

Dæmi 3

Skoðum eitt dæmi í viðbót:

(x − 4)(x − 7) = −5

Fyrst umritum við jöfnuna þannig að önnur hliðin sé 0.

(x − 4)(x − 7) + 5 = 0

Við teiknum graf fallsins

y = (x − 4)(x − 7) + 5

Grafið hefur engan skurðpunkt við x-ás. Því hefur jafnan enga rauntölulausn.

Mundu: þegar annars stigs stæða er jöfn 0 og við viljum finna óþekktu gildin, má líta á verkefnið sem að finna núllstöðvar annars stigs falls eða skurðpunkta grafsins við x-ás.