88.11 Rita annars stigs jöfnur út frá rauntölulausnum

8.11.3 Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess og punkti

8.11.3 • Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess og punkti

Verkefni

Þegar finna á tiltekið fall sem hefur ákveðnar núllstöðvar og fer í gegnum tiltekinn punkt notum við skurðpunktaform annars stigs falls:

$f (x) = a (x - p) (x - q)$

Breyturnar p og q tákna núllstöðvar, eða rætur, fallsins. Breytan a stendur fyrir fastann sem gæti hafa verið tekinn út fyrir sviga þegar jafnan var leyst.

$p$

$q$

$a$

Finndu fall á skurðpunktaformi sem hefur núllstöðvarnar -5 og 8.

Lausn

$m (x)$

Berðu saman svarið þitt:

Skurðpunktaformið er:

$m (x) = a (x - (- 5)) (x - 8)$

$= a (x + 5) (x - 8)$

Notum skurðpunktaform fallsins hér að ofan til að finna tiltekna fallið sem fer í gegnum punktinn:

$(5, - 60)$

Finndu fyrst gildi a. Settu hnit punktsins inn í skurðpunktaform fallsins.

Lausn

$a$

Berðu saman svarið þitt:

$m (x) = a (x + 5) (x - 8)$

$- 60 = a ((5) + 5) ((5) - 8)$

$- 60 = a (10) (- 3)$

$- 60 = - 30 a$

$2 = a$

Settu gildi a inn í skurðpunktaform fallsins og margfaldaðu upp úr svigunum til að finna staðalformið.

Lausn

$a$

Berðu saman svarið þitt:

$m (x) = a (x + 5) (x - 8)$

$m (x) = 2 (x + 5) (x - 8)$

$m (x) = 2 (x^{2} + 5 x - 8 x - 40)$

$m (x) = 2 (x^{2} - 3 x - 40)$

$m (x) = 2 x^{2} - 6 x - 80$

Þetta er fallið með núllstöðvarnar -5 og 8 sem fer í gegnum punktinn:

$(5, - 60)$

Ritaðu annars stigs fall á staðalformi sem hefur núllstöðvarnar 9 og -2 og fer í gegnum punktinn:

Lausn

$n (x)$

$(0, - 36)$

Berðu saman svarið þitt:

$n (x) = 2 x^{2} - 14 x - 36$

Ritaðu annars stigs fall á staðalformi sem hefur núllstöðvarnar -6 og -4 og fer í gegnum punktinn:

Lausn

$p (x)$

$(- 5, 3)$

Berðu saman svarið þitt:

$p (x) = - 3 x^{2} - 30 x - 72$

Ritaðu annars stigs fall á staðalformi sem hefur núllstöðvarnar 1 og 7 og fer í gegnum punktinn:

Lausn

$c (x)$

$(9, 16)$

Berðu saman svarið þitt:

$c (x) = x^{2} - 8 x + 7$

Ítarefni

Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess og punkti

Hugsaðu um hvernig þú myndir leysa annars stigs jöfnuna:

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Þáttaða formið er:

$(x - 1) (x - 2) = 0$

Lausnirnar eru:

$x = 1$

$x = 2$

Hugsaðu nú um hvernig þú myndir leysa:

$2 x^{2} - 6 x + 4 = 0$

Taktu stærsta samdeilinn, 2, út fyrir sviga.

$2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Jafnan líkist fyrri annars stigs jöfnunni.

Þáttaða formið er:

$2 (x - 1) (x - 2) = 0$

Aftur eru lausnirnar:

$x = 1$

$x = 2$

Þar sem jöfnurnar hafa sömu lausnir eru þær tengdar. Þær hafa sömu núllstöðvar og sama samhverfuás.

Þegar við snúum ferlinu við og förum frá núllstöðvum annars stigs falls að staðalformi þess getur verið margfaldari, eins og 2 í dæminu hér að ofan, sem við þekkjum ekki enn.

Til að taka tillit til þess notum við breytuna a sem margfaldara þar til við finnum nákvæmt gildi hennar.

$a$

Við getum sett a inn í fallið með skurðpunktaforminu. Breyturnar p og q tákna núllstöðvar, eða rætur, fallsins.

$f (x) = a (x - p) (x - q)$

Lítum á dæmi til að skýra þetta.

Dæmi 1

Ritaðu annars stigs fall sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4 og fer í gegnum punktinn:

$f (x)$

$(- 4, - 16)$

Við vitum að núllstöðvarnar eru -5 og 4, þannig að þáttað form annars stigs fallsins er:

$f (x) = (x + 5) (x - 4)$

Skurðpunktaformið er:

$f (x) = a (x + 5) (x - 4)$

Við höfum eina upplýsinguna í viðbót sem gerir okkur kleift að finna gildi a. Við vitum að fallið fer í gegnum punktinn:

$a$

$(- 4, - 16)$

Við getum sett -4 inn fyrir x og -16 inn fyrir gildi fallsins og leyst fyrir a.

$x$

$a$

$f (x) = a (x + 5) (x - 4)$

$- 16 = a ((- 4) + 5) ((- 4) - 4)$

$- 16 = a (1) (- 8)$

$- 16 = - 8 a$

$2 = a$

Þar sem við vitum að a = 2 getum við sett 2 inn fyrir a í skurðpunktaformi annars stigs fallsins.

$a = 2$

$f (x) = a (x + 5) (x - 4)$

$f (x) = 2 (x + 5) (x - 4)$

Notum FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliðurnar.

$f (x) = 2 (x^{2} + 5 x - 4 x - 20)$

$f (x) = 2 (x^{2} + x - 20)$

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

Tiltekna fallið sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4 og fer í gegnum punktinn (-4, -16) er:

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

Teiknum gröf fallanna til að athuga niðurstöðuna.

Two graphed parabolas, one red and one green, both opening up and both having x-intercepts of negative 5 and 4the green parabola has a y-intercepts of negative 20 the red parabola has a y-intercepts of negative 40 and passes through the point (negative 4, negative 16).

Taktu eftir að eftirfarandi tvö föll hafa sömu núllstöðvar. Þessi annars stigs föll eru tengd.

$f (x) = x^{2} + x - 20$

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

Aðeins eftirfarandi fall fer í gegnum punktinn (-4, -16) og er því tiltekna fallið sem við leituðum að í upphafi.

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

$(- 4, - 16)$

Þess vegna var í fyrri kennslustund talað um „fall sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4“ en ekki „fallið sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4“.

Þessi orðamunur skiptir miklu máli, því óendanlega mörg föll geta tengst með sömu lausnum.

Við getum aðeins ákvarðað eitt tiltekið fall ef við höfum viðbótarupplýsingar um punkt sem fallið fer í gegnum.

Prófum eitt dæmi í viðbót.

Dæmi 2

Ritaðu annars stigs fall á staðalformi sem hefur núllstöðvarnar -7 og -3 og fer í gegnum punktinn:

$g (x)$

$(- 2, - 5)$

Þar sem núllstöðvarnar eru -7 og -3 er þáttað form fallsins:

$g (x) = (x + 7) (x + 3)$

Skurðpunktaform fallsins er:

$g (x) = a (x + 7) (x + 3)$

Við setjum inn gildin úr punktinum (-2, -5) til að finna gildi a.

$(- 2, - 5)$

$a$

$g (x) = a (x + 7) (x + 3)$

$- 5 = a ((- 2) + 7) ((- 2) + 3)$

$- 5 = a (5) (1)$

$- 5 = 5 a$

$- 1 = a$

Settu gildi a inn í skurðpunktaform fallsins.

$a$

$g (x) = a (x + 7) (x + 3)$

$g (x) = - 1 (x + 7) (x + 3)$

Notum FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliðurnar.

$g (x) = - 1 (x^{2} + 7 x + 3 x + 21)$

$g (x) = - 1 (x^{2} + 10 x + 21)$

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Tiltekna fallið sem hefur núllstöðvarnar -7 og -3 og fer í gegnum punktinn (-2, -5) er:

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Teiknum gröf fallanna til að athuga niðurstöðuna.

Graph of two parabolas, one red and one green, both with x-intercepts of negative 7 and negative 3 the green parabola opens up the red parabola opens down and passes through the point (negative 2, negative 5).

Taktu aftur eftir að eftirfarandi tvö föll hafa sömu núllstöðvar. Þau eru tengd annars stigs föll.

$g (x) = x^{2} + 10 x + 21$

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Þótt forystustuðullinn sé neikvæður og fallinu hafi verið speglað um x-ásinn fer aðeins eftirfarandi fall í gegnum punktinn (-2, -5):

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

$(- 2, - 5)$

Ritaðu annars stigs fall sem hefur núllstöðvarnar 2 og 6 og fer í gegnum punktinn:

$h (x)$

$(7, 15)$

Svona má finna fall þegar núllstöðvar þess og einn punktur eru gefin:

Núllstöðvarnar eru 2 og 6.

Skurðpunktaformið er:

$h (x) = a (x - 2) (x - 6)$

Notaðu punktinn (7, 15) til að finna a.

$(7, 15)$

$a$

$h (x) = a (x - 2) (x - 6)$

$15 = a ((7) - 2) ((7) - 6)$

$15 = a (5) (1)$

$3 = a$

Settu 3 inn fyrir gildi a í skurðpunktaforminu.

$a$

$h (x) = a (x - 2) (x - 6)$

Notum FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliðurnar.

$h (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 6 x + 12)$

$h (x) = 3 (x^{2} - 8 x + 12)$

$h (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

Tiltekna annars stigs fallið með núllstöðvarnar 2 og 6 sem fer í gegnum punktinn (7, 15) er:

$h (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

Dæmi 1

Ritaðu annars stigs fall sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4 og fer í gegnum punktinn:

$f (x)$

$(- 4, - 16)$

Við vitum að núllstöðvarnar eru -5 og 4, þannig að þáttað form annars stigs fallsins er:

$f (x) = (x + 5) (x - 4)$

Skurðpunktaformið er:

$f (x) = a (x + 5) (x - 4)$

Við höfum eina upplýsinguna í viðbót sem gerir okkur kleift að finna gildi a. Við vitum að fallið fer í gegnum punktinn:

$a$

$(- 4, - 16)$

Við getum sett -4 inn fyrir x og -16 inn fyrir gildi fallsins og leyst fyrir a.

$x$

$a$

$f (x) = a (x + 5) (x - 4)$

$- 16 = a ((- 4) + 5) ((- 4) - 4)$

$- 16 = a (1) (- 8)$

$- 16 = - 8 a$

$2 = a$

Þar sem við vitum að a = 2 getum við sett 2 inn fyrir a í skurðpunktaformi annars stigs fallsins.

$a = 2$

$f (x) = a (x + 5) (x - 4)$

$f (x) = 2 (x + 5) (x - 4)$

Notum FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliðurnar.

$f (x) = 2 (x^{2} + 5 x - 4 x - 20)$

$f (x) = 2 (x^{2} + x - 20)$

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

Tiltekna fallið sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4 og fer í gegnum punktinn (-4, -16) er:

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

Teiknum gröf fallanna til að athuga niðurstöðuna.

Taktu eftir að eftirfarandi tvö föll hafa sömu núllstöðvar. Þessi annars stigs föll eru tengd.

$f (x) = x^{2} + x - 20$

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

Aðeins eftirfarandi fall fer í gegnum punktinn (-4, -16) og er því tiltekna fallið sem við leituðum að í upphafi.

$f (x) = 2 x^{2} + 2 x - 40$

$(- 4, - 16)$

Þess vegna var í fyrri kennslustund talað um „fall sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4“ en ekki „fallið sem hefur núllstöðvarnar -5 og 4“.

Þessi orðamunur skiptir miklu máli, því óendanlega mörg föll geta tengst með sömu lausnum.

Við getum aðeins ákvarðað eitt tiltekið fall ef við höfum viðbótarupplýsingar um punkt sem fallið fer í gegnum.

Prófum eitt dæmi í viðbót.

Dæmi 2

Ritaðu annars stigs fall á staðalformi sem hefur núllstöðvarnar -7 og -3 og fer í gegnum punktinn:

$g (x)$

$(- 2, - 5)$

Þar sem núllstöðvarnar eru -7 og -3 er þáttað form fallsins:

$g (x) = (x + 7) (x + 3)$

Skurðpunktaform fallsins er:

$g (x) = a (x + 7) (x + 3)$

Við setjum inn gildin úr punktinum (-2, -5) til að finna gildi a.

$(- 2, - 5)$

$a$

$g (x) = a (x + 7) (x + 3)$

$- 5 = a ((- 2) + 7) ((- 2) + 3)$

$- 5 = a (5) (1)$

$- 5 = 5 a$

$- 1 = a$

Settu gildi a inn í skurðpunktaform fallsins.

$a$

$g (x) = a (x + 7) (x + 3)$

$g (x) = - 1 (x + 7) (x + 3)$

Notum FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliðurnar.

$g (x) = - 1 (x^{2} + 7 x + 3 x + 21)$

$g (x) = - 1 (x^{2} + 10 x + 21)$

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Tiltekna fallið sem hefur núllstöðvarnar -7 og -3 og fer í gegnum punktinn (-2, -5) er:

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Teiknum gröf fallanna til að athuga niðurstöðuna.

Taktu aftur eftir að eftirfarandi tvö föll hafa sömu núllstöðvar. Þau eru tengd annars stigs föll.

$g (x) = x^{2} + 10 x + 21$

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

Þótt forystustuðullinn sé neikvæður og fallinu hafi verið speglað um x-ásinn fer aðeins eftirfarandi fall í gegnum punktinn (-2, -5):

$g (x) = - x^{2} - 10 x - 21$

$(- 2, - 5)$

Ritaðu annars stigs fall sem hefur núllstöðvarnar 2 og 6 og fer í gegnum punktinn:

$h (x)$

$(7, 15)$

Svona má finna fall þegar núllstöðvar þess og einn punktur eru gefin:

Núllstöðvarnar eru 2 og 6.

Skurðpunktaformið er:

$h (x) = a (x - 2) (x - 6)$

Notaðu punktinn (7, 15) til að finna a.

$(7, 15)$

$a$

$h (x) = a (x - 2) (x - 6)$

$15 = a ((7) - 2) ((7) - 6)$

$15 = a (5) (1)$

$3 = a$

Settu 3 inn fyrir gildi a í skurðpunktaforminu.

$a$

$h (x) = a (x - 2) (x - 6)$

Notum FOIL-aðferðina til að margfalda tvíliðurnar.

$h (x) = 3 (x^{2} - 2 x - 6 x + 12)$

$h (x) = 3 (x^{2} - 8 x + 12)$

$h (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$

Tiltekna annars stigs fallið með núllstöðvarnar 2 og 6 sem fer í gegnum punktinn (7, 15) er:

$h (x) = 3 x^{2} - 24 x + 36$