88.11 Rita annars stigs jöfnur út frá rauntölulausnum

8.11.2 Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess

8.11.2 • Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess

Verkefni

Í fyrri kennslustundum lærðir þú um sambandið milli núllstöðva annars stigs falls og tvíliðaþátta í þáttuðu formi jöfnunnar. Notaðu þessar upplýsingar til að svara eftirfarandi spurningum. Rifjaðu upp verkefni 8.9.3 og 8.10.3 ef þörf er á.

Spurningar 1-3 vísa til annars stigs jöfnu sem hefur núllstöðvarnar -3 og 4.

Ritaðu þáttað form þessarar jöfnu og settu það jafnt og núll.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$(x + 3) (x - 4) = 0$

Ritaðu nú sömu annars stigs jöfnu á staðalformi.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$x^{2} - x - 12 = 0$

Ritaðu annars stigs jöfnuna sem fall.

Lausn

$f (x)$

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - x - 12$

Því má setja annars stigs jöfnu sem hefur núllstöðvarnar -3 og 4 fram sem fallið:

$f (x) = x^{2} - x - 12$

Fyrir spurningar 4-8 skaltu finna annars stigs fall á staðalformi með gefnum núllstöðvum.

$f (x)$

Núllstöðvar: 8 og 4

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - 12 x + 32$

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðvunum er:

$f (x) = (x - 8) (x - 4)$

Núllstöðvar: -6 og 3

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} + 3 x - 18$

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðvunum er:

$f (x) = (x + 6) (x - 3)$

Núllstöðvar:

Lausn

sqrt( $\sqrt{3}$ )

$- \sqrt{3}$

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - 3$

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðvunum er:

$f (x) = (x + \sqrt{3}) (x - \sqrt{3})$

Núllstöð: 5

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - 10 x + 25$

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðinni er:

$f (x) = (x - 5) (x - 5)$

Núllstöð: -4

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} + 8 x + 16$

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðinni er:

$f (x) = (x + 4) (x + 4)$

Skoðaðu grafið hér fyrir neðan. Finndu síðan annars stigs fall á staðalformi með gefnum núllstöðvum.

Lausn

$f (x)$

A parabola that opens up with x-intercepts of negative 4 and 6.

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - 2 x - 24$

Núllstöðvarnar eru -4 og 6.

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðvunum er:

$f (x) = (x + 4) (x - 6)$

10.

Skoðaðu grafið hér fyrir neðan. Finndu síðan annars stigs fall á staðalformi með gefnum núllstöðvum.

Lausn

$f (x)$

A parabola that opens up with an x-intercepts of 3.

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - 6 x + 9$

Núllstöðin er 3.

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðinni er:

$f (x) = (x - 3) (x - 3)$

11.

Skoðaðu grafið hér fyrir neðan. Finndu síðan annars stigs fall á staðalformi með gefnum núllstöðvum.

Lausn

$f (x)$

A parabola that opens up with x-intercepts of negative 2 and 5.

Berðu saman svarið þitt:

$f (x) = x^{2} - 3 x - 10$

Núllstöðvarnar eru -2 og 5.

Þáttaða formið sem fæst út frá núllstöðvunum er:

$f (x) = (x + 2) (x - 5)$

Ítarefni

Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess

Ef núllstöðvar annars stigs falls eru gefnar getum við ritað fallið á staðalformi.

Lítum á dæmi.

Dæmi 1

Ritaðu fall sem hefur núllstöðvarnar 5 og -3.

$h (x)$

Ef núllstöðvarnar eru 5 og -3 vitum við að jöfnur þáttanna voru:

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Þegar þessar jöfnur eru leystar gefa þær núllstöðvarnar 5 og -3.

Við getum notað þessar jöfnur til að rita fallið á þáttuðu formi.

$h (x) = (x - 5) (x + 3)$

Með því að nota dreifiregluna, eða FOIL-aðferðina, getum við fundið staðalform fallsins.

$h (x) = x^{2} - 2 x - 15$

Rifjaðu upp að fall getur stundum haft aðeins eina núllstöð.

Dæmi 2

Ritaðu fall sem hefur eina núllstöð í 8.

$d (x)$

Úr fyrri kennslustundum vitum við að þegar jöfnur þáttanna eru eins er aðeins ein núllstöð.

$x - 8 = 0$

Þáttað form þessarar jöfnu er:

$d (x) = (x - 8) (x - 8)$

Eftir að dreifireglunni, eða FOIL-aðferðinni, hefur verið beitt er staðalform fallsins:

$d (x) = x^{2} - 16 x + 64$

Að finna núllstöðvar út frá grafi fylgir sama ferli.

Dæmi 3

Ritaðu fall sem samsvarar grafinu sem sýnt er.

$z (x)$

A parabola that opens up with x-intercepts of negative 4 and negative 1.

Núllstöðvar grafsins eru -4 og -1. Jöfnur þáttanna sem fást eru:

$x + 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Þáttað form þessarar jöfnu er:

$z (x) = (x + 4) (x + 1)$

Eftir að FOIL-aðferðinni hefur verið beitt er staðalform fallsins:

$z (x) = x^{2} + 5 x + 4$

Spreyttu þig

Að finna annars stigs fall út frá núllstöðvum þess

Finndu annars stigs fall á staðalformi með núllstöðvarnar -6 og 1.

$f (x)$

A parabola that opens up with x-intercepts of 3 and 7.

Svona má finna staðalform annars stigs fallsins:

$x = - 6$

$x = 1$

$f (x) = (x + 6) (x - 1)$

$f (x) = x^{2} + 5 x - 6$

Finndu annars stigs fall á staðalformi með núllstöðina -9.

$f (x)$

Svona má finna staðalform annars stigs fallsins:

$x = - 9$

$f (x) = (x + 9) (x + 9)$

$f (x) = x^{2} + 18 x + 81$

Finndu annars stigs fall á staðalformi með gefnum núllstöðvum.

$f (x)$

Svona má finna staðalform annars stigs fallsins:

Núllstöðvar grafsins eru:

$x = 3$

$x = 7$

$f (x) = (x - 3) (x - 7)$

$f (x) = x^{2} - 10 x + 21$

Dæmi 1

Ritaðu fall sem hefur núllstöðvarnar 5 og -3.

$h (x)$

Ef núllstöðvarnar eru 5 og -3 vitum við að jöfnur þáttanna voru:

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Þegar þessar jöfnur eru leystar gefa þær núllstöðvarnar 5 og -3.

Við getum notað þessar jöfnur til að rita fallið á þáttuðu formi.

$h (x) = (x - 5) (x + 3)$

Með því að nota dreifiregluna, eða FOIL-aðferðina, getum við fundið staðalform fallsins.

$h (x) = x^{2} - 2 x - 15$

Rifjaðu upp að fall getur stundum haft aðeins eina núllstöð.

Dæmi 2

Ritaðu fall sem hefur eina núllstöð í 8.

$d (x)$

Úr fyrri kennslustundum vitum við að þegar jöfnur þáttanna eru eins er aðeins ein núllstöð.

$x - 8 = 0$

Þáttað form þessarar jöfnu er:

$d (x) = (x - 8) (x - 8)$

Eftir að dreifireglunni, eða FOIL-aðferðinni, hefur verið beitt er staðalform fallsins:

$d (x) = x^{2} - 16 x + 64$

Að finna núllstöðvar út frá grafi fylgir sama ferli.