77.6 Smíði annars stigs falla til að lýsa aðstæðum, 2. hluti

7.6.2 Áhrif þyngdarafls á annars stigs föll

7.6.2 • Áhrif þyngdarafls á annars stigs föll

Verkefni

Áður, í verkefni 7.6.1, fylltir þú út töflu sem sýnir hæð fallbyssukúlu yfir jörðu í fetum sem fall af tíma í sekúndum, ef ekkert þyngdarafl væri til staðar.

Taflan sýnir raunverulega hæð kúlunnar á mismunandi tímum.

Tími (sekúndur)	0	1	2	3	4	5
Hæð yfir jörðu (fet)	10	400	758	1084	1378	1640

Berðu gildin í þessari töflu saman við gildin í töflunni sem þú fylltir út áður. Nefndu tvö líkindi eða tvo ólíka eiginleika sem þú tekur eftir.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Raunverulegu hæðargildin eru öll lægri en ímynduðu gildin, nema fyrsta gildið áður en fallbyssukúlunni er skotið.

Mismunurinn á hæðunum eftir tiltekinn fjölda sekúndna er ekki fastur. Til dæmis er hæðin eftir 1 sekúndu 416 fet í fyrri töflunni en 400 fet hér, svo munurinn er 16 fet. Eftir 2 sekúndur er munurinn á gildunum tveimur 64 fet.

Notaðu grafteikniforritið eða annað tækniverkfæri.

Lausn

a. Settu bæði gagnasöfnin inn í sama hnitakerfi.

Berðu saman svarið þitt:

Punktarit í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir hæð yfir jörðu í fetum. x-ásinn nær frá 0 til 10 með kvarðanum 1. y-ásinn nær frá 0 til 2.500 með kvarðanum 500. Tvö gagnasöfn eru sýnd: svartir hringir sýna raunverulega hæð og bláir þríhyrningar sýna hæð þegar þyngdarafl er ekki tekið með.

b. Hvernig eru gröfin tvö lík? Hvernig eru þau ólík?

Berðu saman svarið þitt:

Punktarnir, eða þríhyrningarnir, sem mynda beina línu tákna ímynduðu gögnin þar sem þyngdarafl er ekki tekið með. Punktarnir sem mynda feril tákna raunverulegu hæðirnar. Bæði gagnasöfnin byrja á sama punkti, (0, 10). Í ímynduðu gögnunum hækkar hæðin með föstum breytingarhraða og myndar línulegt mynstur, en í raunverulegu gögnunum hækkar hæðin minna með hverri sekúndu.

Hver er upphafshæðin í báðum gröfum?

Lausn

Upphafshæðin í báðum gröfum er 10 fet.

Hver var fasti breytingarhraðinn fyrir fallbyssukúluna án þyngdarafls?

Lausn

Fasti breytingarhraðinn fyrir fallbyssukúluna án þyngdarafls var 406 fet á sekúndu.

Fasti breytingarhraðinn er líka upphafshraðinn. Mundu að áhrif þyngdarafls eru táknuð með

16 t^{2}

Þyngdaraflið veldur sveigjunni í ferlinum fyrir seinni töfluna og grafið vegna þess að það togar fallbyssukúluna niður að jörðu.

Skrifaðu með félaga jöfnu sem lýsir raunverulegri hæð kúlunnar yfir jörðu í fetum, d, t sekúndum eftir að henni var skotið úr fallbyssunni. Taktu tillit til þyngdaraflsins og þess hvernig punktarnir breyttust á grafinu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Þyngdaraflið lækkar hæðina, svo áhrif þyngdaraflsins eru að draga frá

16 t^{2}

Jafna fyrir raunverulega hæð fallbyssukúlunnar er

d = 10 + 406 t - 16 t^{2}

Viðbótarefni

Áhrif þyngdarafls á hreyfingu

Flugeldur er skotinn upp í loftið úr 6 feta hæð með upphafshraðanum 130 fet á sekúndu. Skrifaðu jöfnu sem lýsir hæðinni h(t) á hvaða tíma t sem er. Mundu að taka tillit til áhrifa þyngdarafls.

Skref 1: Finndu upphafshraðann.

v_{0}

Upphafshraðinn er 130 fet á sekúndu.

Skref 2: Finndu upphafshæðina.

h_{0}

Upphafshæðin er 6 fet.

Skref 3: Skrifaðu jöfnu á þessu formi:

h (t) = h_{0} + v_{0} t - 16 t^{2}

h (t) = 6 + 130 t - 16 t^{2}

77.6 Smíði annars stigs falla til að lýsa aðstæðum, 2. hluti

7.6.2 Áhrif þyngdarafls á annars stigs föll

7.6.2 • Áhrif þyngdarafls á annars stigs föll

Verkefni

Áður, í verkefni 7.6.1, fylltir þú út töflu sem sýnir hæð fallbyssukúlu yfir jörðu í fetum sem fall af tíma í sekúndum, ef ekkert þyngdarafl væri til staðar.

Taflan sýnir raunverulega hæð kúlunnar á mismunandi tímum.

Tími (sekúndur)	0	1	2	3	4	5
Hæð yfir jörðu (fet)	10	400	758	1084	1378	1640

Berðu gildin í þessari töflu saman við gildin í töflunni sem þú fylltir út áður. Nefndu tvö líkindi eða tvo ólíka eiginleika sem þú tekur eftir.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Raunverulegu hæðargildin eru öll lægri en ímynduðu gildin, nema fyrsta gildið áður en fallbyssukúlunni er skotið.

Notaðu grafteikniforritið eða annað tækniverkfæri.

Lausn

a. Settu bæði gagnasöfnin inn í sama hnitakerfi.

Berðu saman svarið þitt:

b. Hvernig eru gröfin tvö lík? Hvernig eru þau ólík?

Berðu saman svarið þitt:

Hver er upphafshæðin í báðum gröfum?

Lausn

Upphafshæðin í báðum gröfum er 10 fet.

Hver var fasti breytingarhraðinn fyrir fallbyssukúluna án þyngdarafls?

Lausn

Fasti breytingarhraðinn fyrir fallbyssukúluna án þyngdarafls var 406 fet á sekúndu.

Fasti breytingarhraðinn er líka upphafshraðinn. Mundu að áhrif þyngdarafls eru táknuð með

16 t^{2}

Þyngdaraflið veldur sveigjunni í ferlinum fyrir seinni töfluna og grafið vegna þess að það togar fallbyssukúluna niður að jörðu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Þyngdaraflið lækkar hæðina, svo áhrif þyngdaraflsins eru að draga frá

16 t^{2}

Jafna fyrir raunverulega hæð fallbyssukúlunnar er

d = 10 + 406 t - 16 t^{2}

Viðbótarefni

Áhrif þyngdarafls á hreyfingu

Skref 1: Finndu upphafshraðann.

v_{0}

Upphafshraðinn er 130 fet á sekúndu.

Skref 2: Finndu upphafshæðina.

h_{0}

Upphafshæðin er 6 fet.

Skref 3: Skrifaðu jöfnu á þessu formi:

h (t) = h_{0} + v_{0} t - 16 t^{2}

h (t) = 6 + 130 t - 16 t^{2}