77.14 Gröf sem tákna aðstæður

7.14.3 Að greina föll með mismunandi framsetningum

Verkefni

Hér er graf sem sýnir hæð hafnabolta, $h$ , í fetum sem fall af tíma, $t$ , í sekúndum eftir að leikmaður A slær hann.

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir hæð í fetum. Kvarði x-ássins er 1 og nær frá 0 til 7. Kvarði y-ássins er 20 og nær frá 0 til 120.

Fallið $g$ , sem skilgreint er með $g (t) = (- 16 t - 1) (t - 4)$ , lýsir einnig hæð hafnabolta í fetum $t$ sekúndum eftir að leikmaður B slær hann. Svaraðu eftirfarandi spurningum án þess að teikna graf fallsins $g$ , og útskýrðu eða sýndu hvernig þú veist svarið.

Hvor hafnaboltinn var lengur á lofti?

Lausn

Hafnabolti leikmanns A var lengur á lofti. Núllstöðvar fallsins $g$ eru 4 og $- 1 / 16$ . Neikvæða núllstöðin hefur enga merkingu í þessum aðstæðum. Núllstöð í þessu samhengi segir til um tímann þegar hæð hafnaboltans er 0, það er þegar hann lendir á jörðinni. Hjá leikmanni B gerðist það þegar $t = 4$ , eða 4 sekúndum eftir að boltinn var sleginn. Hafnabolti leikmanns A lenti aðeins meira en 5 sekúndum eftir að hann var sleginn.

Hvor hafnaboltinn náði meiri hámarkshæð?

Lausn

Hafnabolti leikmanns A náði meiri hámarkshæð. Af grafinu fyrir leikmann A má sjá að y-hnit topppunktsins er um 105 fet. Fyrir leikmann B er t-hnit topppunktsins um það bil 2, mitt á milli $- 1 / 16$ og 4. Við getum reiknað $g (2)$ til að áætla hæðina á þeim punkti.

$g (2) = (- 16 (2) - 1) (2 - 4) = (- 33) (- 2) = 66$

Hæsti punktur hafnabolta leikmanns B var því um 66 fet.

Samkvæmt grafinu, hver var áætluð hæð hafnabolta leikmanns A, í fetum, þegar hann var sleginn? Hvernig veistu það?

Lausn

Við getum skoðað skurðpunkt grafsins við y-ásinn. Hann virðist hafa y-hnit um það bil 5.

Hver var hæð hafnabolta leikmanns B, í fetum, þegar hann var sleginn?

Lausn

Hæðin var 4 fet. Finndu hæðina þegar $t = 0$ .

$g (0) = (- 16 (0) - 1) (0 - 4) = (- 1) (- 4) = 4$

Hafnaboltinn var því sleginn úr 4 feta hæð.

Myndband: Samanburður á annars stigs föllum

Horfðu á myndbandið til að læra meira um samanburð á annars stigs föllum á mismunandi formum.

Sjálfspróf

Föllin hér fyrir neðan lýsa hæð hafnabolta í fetum $t$ sekúndum eftir að fjórir leikmenn slá bolta.

$f (t) = (- 16 t - 1) (t - 5)$
$g (t) = (- 16 t - 1) (t - 10)$
$h (t) = (t - 7) (- 16 t - 1)$
$p (t) = (- 8 t - 1) (2 t - 5)$

Hvaða fall táknar boltann sem var lengst á lofti?

$p (t) = (- 8 t - 1) (2 t - 5)$
$h (t) = (t - 7) (- 16 t - 1)$
$g (t) = (- 16 t - 1) (t - 10)$
$f (t) = (- 16 t - 1) (t - 5)$

Viðbótarefni

Samanburður á gröfum og jöfnum annars stigs falla

Jai spyrnir fótbolta. Grafið hér fyrir neðan sýnir hæð fótboltans, $h$ , sem fall af tíma í sekúndum.

Fleygbogi í hnitakerfi. Kvarði x-ássins er 1 og nær frá −4 til 10. Kvarði y-ássins er 10 og nær frá um það bil −45 til 80.

Kellan spyrnir fótbolta og hæð boltans í fetum, $h$ , er lýst með fallinu $h (t) = (- 16 t - 1) (t - 6)$ .

Hvor boltinn var lengur á lofti?

Boltinn hjá Jai lenti eftir 4 sekúndur, því núllstöðin er við $t = 4$ . Hin núllstöðin, þar sem tíminn er neikvæður, hefur enga merkingu í þessu samhengi.

Til að skoða fallið fyrir boltann hjá Kellan skaltu finna núllstöðvarnar með því að setja hvorn þátt jafnan núlli.

$- 16 t - 1 = 0$ gefur $t = - 1 / 16$ . Neikvæður tími hefur enga merkingu í þessu samhengi.
$t - 6 = 0$ gefur $t = 6$ .

Boltinn hjá Kellan var á lofti í 6 sekúndur og var því 2 sekúndum lengur á lofti en boltinn hjá Jai.

Reyndu þetta

Samanburður á gröfum og jöfnum annars stigs falla

Notaðu sömu upplýsingar og hér að ofan. Hvor boltinn náði meiri hæð?

Lausn

Svona finnur þú hvor boltinn fór hærra:

Af grafinu fyrir boltann hjá Jai má sjá að hann fór um 70 fet upp í loftið.

Skref 1: Finndu topppunktinn fyrir boltann hjá Kellan. Topppunkturinn er mitt á milli núllstöðvanna. Þar sem $- 1 / 16$ er nálægt 0 og hinn skurðpunkturinn við x-ásinn er við $t = 6$ , getum við notað 3 sem nálgun fyrir t-hnit topppunktsins.

Skref 2: Settu þetta gildi inn í fallið.

$h (3) = (- 16 (3) - 1) (3 - 6) = (- 49) (- 3) = 147$

Boltinn hjá Kellan fór 147 fet upp í loftið, þannig að hann fór hærra.

7.14.3 Að greina föll með mismunandi framsetningum

Verkefni

Hér er graf sem sýnir hæð hafnabolta, $h$ , í fetum sem fall af tíma, $t$ , í sekúndum eftir að leikmaður A slær hann.

Hvor hafnaboltinn var lengur á lofti?

Lausn

Hvor hafnaboltinn náði meiri hámarkshæð?

Lausn

$g (2) = (- 16 (2) - 1) (2 - 4) = (- 33) (- 2) = 66$

Hæsti punktur hafnabolta leikmanns B var því um 66 fet.

Samkvæmt grafinu, hver var áætluð hæð hafnabolta leikmanns A, í fetum, þegar hann var sleginn? Hvernig veistu það?

Lausn

Við getum skoðað skurðpunkt grafsins við y-ásinn. Hann virðist hafa y-hnit um það bil 5.

Hver var hæð hafnabolta leikmanns B, í fetum, þegar hann var sleginn?

Lausn

Hæðin var 4 fet. Finndu hæðina þegar $t = 0$ .

$g (0) = (- 16 (0) - 1) (0 - 4) = (- 1) (- 4) = 4$

Hafnaboltinn var því sleginn úr 4 feta hæð.

Myndband: Samanburður á annars stigs föllum

Horfðu á myndbandið til að læra meira um samanburð á annars stigs föllum á mismunandi formum.

Sjálfspróf

Föllin hér fyrir neðan lýsa hæð hafnabolta í fetum $t$ sekúndum eftir að fjórir leikmenn slá bolta.

$f (t) = (- 16 t - 1) (t - 5)$
$g (t) = (- 16 t - 1) (t - 10)$
$h (t) = (t - 7) (- 16 t - 1)$
$p (t) = (- 8 t - 1) (2 t - 5)$

Hvaða fall táknar boltann sem var lengst á lofti?

$p (t) = (- 8 t - 1) (2 t - 5)$
$h (t) = (t - 7) (- 16 t - 1)$
$g (t) = (- 16 t - 1) (t - 10)$
$f (t) = (- 16 t - 1) (t - 5)$

Viðbótarefni

Samanburður á gröfum og jöfnum annars stigs falla

Jai spyrnir fótbolta. Grafið hér fyrir neðan sýnir hæð fótboltans, $h$ , sem fall af tíma í sekúndum.

Kellan spyrnir fótbolta og hæð boltans í fetum, $h$ , er lýst með fallinu $h (t) = (- 16 t - 1) (t - 6)$ .

Hvor boltinn var lengur á lofti?

Boltinn hjá Jai lenti eftir 4 sekúndur, því núllstöðin er við $t = 4$ . Hin núllstöðin, þar sem tíminn er neikvæður, hefur enga merkingu í þessu samhengi.

Til að skoða fallið fyrir boltann hjá Kellan skaltu finna núllstöðvarnar með því að setja hvorn þátt jafnan núlli.

$- 16 t - 1 = 0$ gefur $t = - 1 / 16$ . Neikvæður tími hefur enga merkingu í þessu samhengi.
$t - 6 = 0$ gefur $t = 6$ .

Boltinn hjá Kellan var á lofti í 6 sekúndur og var því 2 sekúndum lengur á lofti en boltinn hjá Jai.

Reyndu þetta

Samanburður á gröfum og jöfnum annars stigs falla

Notaðu sömu upplýsingar og hér að ofan. Hvor boltinn náði meiri hæð?

Lausn

Svona finnur þú hvor boltinn fór hærra:

Af grafinu fyrir boltann hjá Jai má sjá að hann fór um 70 fet upp í loftið.

Skref 2: Settu þetta gildi inn í fallið.

$h (3) = (- 16 (3) - 1) (3 - 6) = (- 49) (- 3) = 147$

Boltinn hjá Kellan fór 147 fet upp í loftið, þannig að hann fór hærra.