77.14 Gröf sem tákna aðstæður

7.14.3 Að greina föll með mismunandi framsetningum

7.14.3 • Að greina föll með mismunandi framsetningum

Verkefni

Hér er graf sem sýnir hæð hafnabolta, $h$ , í fetum sem fall af tíma, $t$ , í sekúndum eftir að leikmaður A slær hann.

Fleygbogi í hnitakerfi. x-ásinn sýnir tíma í sekúndum og y-ásinn sýnir hæð í fetum. Kvarði x-ássins er 1 og nær frá 0 til 7. Kvarði y-ássins er 20 og nær frá 0 til 120.

Fallið $g$ , sem skilgreint er með $g(t)=(−16t−1)(t−4)$ , lýsir einnig hæð hafnabolta í fetum $t$ sekúndum eftir að leikmaður B slær hann. Svaraðu eftirfarandi spurningum án þess að teikna graf fallsins $g$ , og útskýrðu eða sýndu hvernig þú veist svarið.

g(t)=(−16t−1)(t−4)

Hvor hafnaboltinn var lengur á lofti?

Lausn

Hafnabolti leikmanns A var lengur á lofti. Núllstöðvar fallsins $g$ eru 4 og −1/16. Neikvæða núllstöðin hefur enga merkingu í þessum aðstæðum. Núllstöð í þessu samhengi segir til um tímann þegar hæð hafnaboltans er 0, það er þegar hann lendir á jörðinni. Hjá leikmanni B gerðist það þegar $t=4$ , eða 4 sekúndum eftir að boltinn var sleginn. Hafnabolti leikmanns A lenti aðeins meira en 5 sekúndum eftir að hann var sleginn.

Hvor hafnaboltinn náði meiri hámarkshæð?

Hafnabolti leikmanns A náði meiri hámarkshæð. Af grafinu fyrir leikmann A má sjá að y-hnit topppunktsins er um 105 fet. Fyrir leikmann B er t-hnit topppunktsins um það bil 2, mitt á milli −1/16 og 4. Við getum reiknað $g(2)$ til að áætla hæðina á þeim punkti.

g(2)=(−16(2)−1)(2−4)=(−33)(−2)=66

Hæsti punktur hafnabolta leikmanns B var því um 66 fet.

Samkvæmt grafinu, hver var áætluð hæð hafnabolta leikmanns A, í fetum, þegar hann var sleginn? Hvernig veistu það?

Berðu saman svarið þitt:

Við getum skoðað skurðpunkt grafsins við y-ásinn. Hann virðist hafa y-hnit um það bil 5.

Hver var hæð hafnabolta leikmanns B, í fetum, þegar hann var sleginn?

Hæðin var 4 fet. Finndu hæðina þegar $t=0$ .

g(0)=(−16(0)−1)(0−4)=(−1)(−4)=4

Hafnaboltinn var því sleginn úr 4 feta hæð.

Viðbótarefni

Samanburður á gröfum og jöfnum annars stigs falla

Jai spyrnir fótbolta. Grafið hér fyrir neðan sýnir hæð fótboltans, $h$ , sem fall af tíma í sekúndum.

Fleygbogi í hnitakerfi. Kvarði x-ássins er 1 og nær frá −4 til 10. Kvarði y-ássins er 10 og nær frá um það bil −45 til 80.

Kellan spyrnir fótbolta og hæð boltans í fetum, $h$ , er lýst með fallinu $h(t)=(−16t−1)(t−6)$ .

h(t)=(−16t−1)(t−6)

Hvor boltinn var lengur á lofti?

Boltinn hjá Jai lenti eftir 4 sekúndur, því núllstöðin er við $t=4$ . Hin núllstöðin, þar sem tíminn er neikvæður, hefur enga merkingu í þessu samhengi.

Til að skoða fallið fyrir boltann hjá Kellan skaltu finna núllstöðvarnar með því að setja hvorn þátt jafnan núlli.

−16t−1=0

$−16t−1=0$ gefur t=−1/16. Neikvæður tími hefur enga merkingu í þessu samhengi.

t−6=0

$t−6=0$ gefur $t=6$ .

Boltinn hjá Kellan var á lofti í 6 sekúndur og var því 2 sekúndum lengur á lofti en boltinn hjá Jai.