7.14.2 Að túlka fallssamband milli tveggja stærða
7.14.2 • Að túlka fallssamband milli tveggja stærða
Verkefni
Jafnan lýsir hæð graskers sem er skotið upp í loftið sem fall af tíma, , í sekúndum. Hæðin er mæld í metrum yfir jörðu. Graskerinu er skotið upp með lóðréttum upphafshraða 23,7 metra á sekúndu.
1. Hvað heldur þú að talan 2 í jöfnunni segi okkur um þessar aðstæður?
Berðu saman svarið þitt:
Talan 2 segir okkur að graskerið sé 2 metra yfir jörðu áður en því er skotið á loft.
2. Hvað heldur þú að liðurinn í jöfnunni segi okkur um þessar aðstæður?
Berðu saman svarið þitt:
Liðurinn sýnir hæðartapið vegna þyngdaraflsins, líkt og í fallbyssukúluverkefninu.
Ef við teiknum graf jöfnunnar, opnast grafið upp eða niður? Hvers vegna?
Lausn
Grafið opnast niður. Hæðin byrjar í 2 metrum og eykst síðan þegar graskerinu er skotið upp, en að lokum minnkar hún þegar graskerið fellur aftur til jarðar.
Hugsaðu um hvar skurðpunkturinn við y-ásinn er. Hvert er y-gildi þess skurðpunkts?
Lausn
Skurðpunkturinn við y-ásinn er í, því þegar er hæðin 2 metrar.
Hvað með skurðpunktana við x-ásinn?
Lausn
Berðu saman svarið þitt:
Það er erfitt að segja til um skurðpunktana við x-ásinn án þess að teikna grafið eða hafa jöfnuna á þáttuðu formi. Annar þeirra er nálægt, því ef er sett inn fæst hæðin metrar, sem er nokkuð nálægt 0.
6. Notaðu grafteikniverkfæri eða annað tæki til að teikna graf jöfnunnar .
Berðu saman svarið þitt:
Skoðaðu grafið sem þú bjóst til og svaraðu eftirfarandi spurningum.
Lausn
a. Hvar er skurðpunkturinn við y-ásinn? Hvað segir hann okkur um graskerið?
Skurðpunkturinn við y-ásinn er. Hann segir okkur að graskerið sé í upphafi 2 metra yfir jörðu.
b. Hvar eru skurðpunktarnir við x-ásinn? Hvað segja þeir okkur um graskerið?
Grafið sker x-ásinn nálægt og . Jákvæði skurðpunkturinn segir okkur að graskerið lendi á jörðinni eftir um það bil 4,9 sekúndur. Neikvæði skurðpunkturinn hefur ekki raunhæfa merkingu hér, því tími getur ekki verið neikvæður í þessu samhengi.
c. Hvar er topppunkturinn? Hvað segir hann okkur um graskerið?
Topppunkturinn er um það bil í. Hann segir okkur að graskerið nái mestri hæð, um 30,7 metrum, um 2,4 sekúndum eftir að því er skotið á loft.
Viltu prófa meira?
Hver þyrfti lóðrétti upphafshraðinn að vera, nokkurn veginn, til að graskerið væri á lofti í um 10 sekúndur? Gerðu ráð fyrir að það sé enn skotið frá 2 metra hæð yfir jörðu og að áhrif þyngdaraflsins séu þau sömu.
Berðu saman svarið þitt:
Ef tekur gildið 0 þegar er nálægt 10, þá þýðir það að . Því viljum við að . Graskerinu þarf að skjóta upp með hraðanum um 48,8 metra á sekúndu.
Viðbótarefni
Merking gilda á grafi
Segjum að tennisbolta sé slegið beint upp í loftið og hæð hans í fetum yfir jörðu sé lýst með jöfnunni , þar sem áknar tímann í sekúndum eftir að boltinn er sleginn. Hér er graf sem sýnir fallið frá því að tennisboltinn er sleginn þar til hann lendir á jörðinni.
Á grafinu má sjá bæði upplýsingar sem við þekkjum nú þegar og nýjar upplýsingar:
- Fastaliðurinn 4 í jöfnunni þýðir að graf fallsins sker y-ásinn í 4. Það sýnir að tennisboltinn var 4 fetum yfir jörðu þegar t=0, það er þegar hann var sleginn.
- Skurðpunkturinn við x-ásinn er (1,0). Hann segir okkur að tennisboltinn lenti á jörðinni 1 sekúndu eftir að hann var sleginn.
- Topppunktur grafsins er nálægt (0,4; 6,3). Það þýðir að um 0,4 sekúndum eftir að boltinn var sleginn náði hann mestri hæð, um 6,3 fetum.
Jöfnuna má rita á þáttuðu formi sem . Út frá þessu formi sjáum við að núllstöðvar fallsins eru og t=−1/4. Neikvæða núllstöðin, t=−1/4, hefur enga merkingu í þessum aðstæðum, því tíminn áður en boltinn var sleginn skiptir ekki máli.