66.4 Stærsti samdeilir og þáttun með hópun

6.4.2 Að finna stærsta samdeili tveggja eða fleiri stæðna

6.4.2 • Að finna stærsta samdeili tveggja eða fleiri stæðna

Verkefni

Í fyrri hluta verkefnisins vinnur þú með félaga. Kennarinn afhendir ykkur tvö blöð, eitt handa hvoru ykkar. Til að verkefnið virki máttu ekki sýna félaganum blaðið þitt.

Þegar þú færð blaðið þitt skaltu skoða stæðuna og skrifa niður alla þætti hennar.

Lausn

Til dæmis, ef stæðan væri

100 x^{3} y^{2}

þá skrifar þú þættina svona:

2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 \cdot x \cdot x \cdot x \cdot y \cdot y

Ekki deila þessum þáttum með félaganum strax.

2. Þegar þið hafið lokið við að finna þætti stæðnanna reynið þið að finna stærsta samdeili þessara tveggja liða án þess að vita hver stæða hins er. Skiptist á að nefna einn þátt og hversu oft hann kemur fyrir. Til dæmis geturðu sagt: „Stæðan mín hefur tvo þætti sem eru 5“ eða „Stæðan mín hefur þrjá þætti sem eru x.“ Skrifaðu niður þættina sem félagi þinn segir þér.

Þegar þið hafið skipst á upplýsingum ættir þú að vita alla þættina í stæðu félaga þíns. Notaðu upplýsingarnar til að finna stæðu félagans og stærsta samdeili stæðnanna tveggja. Þegar þú hefur fundið stærsta samdeilinn skaltu bera svarið saman við svar félagans. Fenguð þið sama svar?

Skrifaðu stærsta samdeilinn sem þú fannst.

Berðu saman svarið þitt:

Stæða A:

120 m^{3} n^{2} p^{4}

Þættir stæðu A:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot m \cdot m \cdot m \cdot n \cdot n \cdot p \cdot p \cdot p \cdot p

Stæða B:

80 m^{2} n s^{4}

Þættir stæðu B:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot m \cdot m \cdot n \cdot s \cdot s \cdot s \cdot s

Stærsti samdeilir:

2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot m \cdot m \cdot n = 40 m^{2} n

Skoðum nú dæmi um hvernig finna má stærsta samdeili tveggja stæðna með öllum bekknum.

18 g^{4} h^{2}, 63 g^{3} h^{3}

Berðu saman svarið þitt:

Þáttaðu hvern stuðul í frumtölur. Skrifaðu veldi breyta sem endurtekna þætti.
$18 g^{4} h^{2} = 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot g \cdot g \cdot g \cdot g \cdot h \cdot h$ $63 g^{3} h^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 7 \cdot g \cdot g \cdot g \cdot h \cdot h \cdot h$
Skráðu alla þættina og settu sameiginlega þætti í sama dálk. Hringdu utan um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
Dragðu niður þá þætti sem allar stæðurnar eiga sameiginlega.
$3 \cdot 3 \cdot g \cdot g \cdot g \cdot h \cdot h$
Margfaldaðu þættina.
$9 g^{3} h^{2}$

Finndu stærsta samdeili fyrir hvert eftirfarandi safn stæðna.

10 p^{3} q, 12 p q^{2}

Lausn

2 p q

8 a^{2} b^{3}, 10 a b^{2}

Svar:

2 a b^{2}

10 a^{3}, 12 a^{2}, 14 a

Svar:

2 a

35 x^{3} y^{2}, 10 x^{4} y, 5 x^{5} y^{3}

Svar:

5 x^{3} y

Viðbótarefni

Að finna stærsta samdeili tveggja eða fleiri stæðna

Áður margfölduðum við þætti saman til að fá margfeldi. Nú snúum við ferlinu við: við byrjum með margfeldi og skiptum því í þætti. Að skipta margfeldi í þætti kallast þáttun.

Skýringarmynd sem sýnir margföldun og þáttun. Vinstra megin er 8 × 7 = 56 og hægra megin er 2x × (x + 3) = 2x^2 + 6x.

Nú þáttum við stæður og finnum stærsta samdeili tveggja eða fleiri stæðna.

Svona finnur þú stærsta samdeili tveggja stæðna:

Þáttaðu hvern stuðul í frumtölur. Skrifaðu veldi breyta sem endurtekna þætti.
Skráðu alla þættina og settu sameiginlega þætti í sama dálk. Hringdu utan um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
Dragðu niður þá þætti sem allar stæðurnar eiga sameiginlega.
Margfaldaðu þættina.

Eftirfarandi dæmi sýnir skrefin til að finna stærsta samdeili þriggja stæðna.

Dæmi

Finndu stærsta samdeili stæðnanna.

21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x

Þáttaðu hvern stuðul í frumtölur og skrifaðu veldi breyta sem endurtekna þætti.
Hringdu utan um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.
Dragðu niður sameiginlegu þættina.
Margfaldaðu þættina.

Stærsti samdeilir:

3 x

Stærsti samdeilir stæðnanna er

3 x

Að finna stærsta samdeili tveggja eða fleiri stæðna

Áður margfölduðum við þætti saman til að fá margfeldi. Nú snúum við ferlinu við: við byrjum með margfeldi og skiptum því í þætti. Að skipta margfeldi í þætti kallast þáttun.

Nú þáttum við stæður og finnum stærsta samdeili tveggja eða fleiri stæðna.

Svona finnur þú stærsta samdeili tveggja stæðna:

Þáttaðu hvern stuðul í frumtölur. Skrifaðu veldi breyta sem endurtekna þætti.

Skráðu alla þættina og settu sameiginlega þætti í sama dálk. Hringdu utan um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.

Dragðu niður þá þætti sem allar stæðurnar eiga sameiginlega.

Margfaldaðu þættina.

Eftirfarandi dæmi sýnir skrefin til að finna stærsta samdeili þriggja stæðna.

Dæmi

Finndu stærsta samdeili stæðnanna.

21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x

Þáttaðu hvern stuðul í frumtölur og skrifaðu veldi breyta sem endurtekna þætti.

Hringdu utan um sameiginlegu þættina í hverjum dálki.

Dragðu niður sameiginlegu þættina.

Margfaldaðu þættina.

Stærsti samdeilir:

3 x

Stærsti samdeilir stæðnanna er

3 x