66.3 Deiling margliða

6.3.3 Deiling margliða með reikniriti Horners

6.3.3 • Deiling margliða með Horner-aðferð

Verkefni

Í þessu verkefni notum við Horner-aðferð til að deila margliðu með tvílið.

Hluti 1: Notið langdeilingu

Þið leysið deilingardæmi með langdeilingu.

1. $(x^{2} - 13 x + 42) \div (x - 6)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$\begin{array}{l} x - 6) 1 x^{2} - 13 x + 42 1 x^{2} - 13 x + 42 ¯ x - 7 \\ - (x^{2} - 6 x)_ \\ - 7 x + 42 \\ - (- 7 x + 42)_ \\ 0 \end{array}$

Hluti 2: Notið Horner-aðferð

Nú leysið þið sama deilingardæmi með Horner-aðferð.

2. (x² − 13x + 42) ÷ (x − 6)

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

( x² − 13 x + 42 ) ÷ ( x − 6 )

Skref 1 - Skrifið deilistofninn með lækkandi veldum af x. Gangið úr skugga um að ekkert stig vanti frá hæsta stigi niður í 0. stig.

x² − 13 x + 42

Skref 2 - Skrifið stuðla liðanna í fyrstu röð Horner-uppsetningarinnar.

Horner-uppsetning með auðum deilireit vinstra megin og stuðlunum 1, −13 og 42 úr deilistofninum í röð hægra megin.

Skref 3 - Skrifið deilirinn á forminu x − c og setjið c í deilireit Horner-uppsetningarinnar.

Horner-uppsetning með 6 í deilireitnum og stuðlunum 1, −13 og 42 fyrir ofan lárétt strik. Græn ör sýnir að 1 er fært niður fyrir strikið.

Skref 4 - Færið fyrsta stuðulinn niður í þriðju röð.

Horner-uppsetning með 6 í deilireitnum og stuðlunum 1, −13 og 42. Grænar örvar sýna að 1 er fært niður og margfaldað með 6 til að fá 6 undir −13.

Skref 5 - Margfaldið þann stuðul með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir annan stuðulinn.

Horner-uppsetning með 6 í deilireitnum. Talan −7 er fengin með því að leggja saman −13 og 6.

Skref 6 - Leggið saman tölurnar í öðrum dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Skref 7 - Margfaldið þá útkomu með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir þriðja stuðulinn.

Horner-uppsetning með 6 í deilireitnum. Græn ör sýnir að −7 er margfaldað með 6 og −42 er sett undir 42.

Skref 8 - Leggið saman tölurnar í síðasta dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Horner-uppsetning með 6 í deilireitnum. Síðasti dálkurinn er lagður saman og gefur afganginn 0.

Skref 9 - Deilingunni er lokið. Tölurnar í þriðju röð gefa niðurstöðuna. Tölurnar 1 og − 7 eru stuðlar kvótans, svo kvótinn er x − 7. Talan 0 í síðasta reit þriðju raðar er afgangurinn.

3. $(4 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 3) \div (x + 2)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$4 x^{2} - 3 x + 1$ ; afgangur 1

4. $(2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 12) \div (x - 4)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$2 x^{2} - 3 x + 4$ ; afgangur 4

5. $(x^{4} - 9 x^{2} + 2 x + 6) \div (x + 3)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ; afgangur 0

6. $(3 x^{4} - 11 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x + 6) \div (x - 3)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 2$ ; afgangur 0

Viðbótarefni

Deiling margliða með Horner-aðferð

Stærðfræðingar leita gjarnan að mynstrum til að auðvelda vinnuna. Þar sem langdeiling getur verið tímafrek skoðum við langdeilinguna úr fyrra dæmi og leitum að mynstri. Það mynstur verður grunnurinn að Horner-aðferðinni. Sama dæmi er sýnt hér með Horner-uppsetningu.

Samanburður á langdeilingu og Horner-uppsetningu fyrir (x² + 9x + 20) deilt með (x + 5), með litum sem tengja stuðla, kvóta og afgang.

Horner-aðferðin sleppir í raun óþarfa endurteknum breytum og tölum. Hér eru $x$ og $x^{2}$ fjarlægð, ásamt $- x^{2}$ og $- 4 x$ , því þeir liðir eru gagnstæðir liðunum fyrir ofan.

Fyrsta röð Horner-uppsetningarinnar inniheldur stuðla deilistofnsins. Talan $- 5$ er gagnstæð tala við $5$ í deilinum.

Önnur röð Horner-uppsetningarinnar inniheldur tölurnar sem eru sýndar með rauðu í deilingardæminu.

Þriðja röð Horner-uppsetningarinnar inniheldur tölurnar sem eru sýndar með bláu í deilingardæminu.

Takið eftir að kvótinn og afgangurinn koma fram í þriðju röð.

Horner-aðferðin virkar aðeins þegar deilirinn er á forminu $x - c$ .

Eftirfarandi dæmi útskýrir ferlið.

Dæmi 1

Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8$ er deilt með $x + 2$ .

Skref 1 - Skrifið deilistofninn með lækkandi veldum af $x$ .

$2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8$

Skref 2 - Skrifið stuðla liðanna í fyrstu röð Horner-uppsetningarinnar.

Skref 3 - Skrifið deilirinn á forminu $x - c$ og setjið $c$ í deilireit Horner-uppsetningarinnar.

Skref 4 - Færið fyrsta stuðulinn niður í þriðju röð.

Horner-uppsetning þar sem −1 fæst í öðrum dálki eftir samlagningu.

Skref 5 - Margfaldið þann stuðul með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir annan stuðulinn.

Horner-uppsetning þar sem −1 er margfaldað með −2 og 2 er sett undir næsta stuðul.

Skref 6 - Leggið saman tölurnar í öðrum dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Horner-uppsetning þar sem þriðji dálkurinn er lagður saman og gefur 3.

Skref 7 - Margfaldið þá útkomu með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir þriðja stuðulinn.

Horner-uppsetning þar sem 3 er margfaldað með −2 og −6 er sett undir síðasta stuðulinn.

Skref 8 - Leggið saman tölurnar í þriðja dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Horner-uppsetning þar sem síðasti dálkurinn er lagður saman og gefur afganginn 2.

Skref 9 - Margfaldið þá útkomu með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir fjórða stuðulinn.

Lokin Horner-uppsetning fyrir 2x³ + 3x² + x + 8 deilt með x + 2; þriðja röð sýnir stuðlana 2, −1 og 3 og afganginn 2.

Skref 10 - Leggið saman tölurnar í síðasta dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Horner-uppsetning með −4 í deilireitnum og stuðlunum 1, 0, −16, 3 og 12; neðri raðirnar sýna −4, 16, 0, −12 og síðan 1, −4, 0, 3, 0.

Skref 11 - Kvótinn er 2x² − x + 3 og afgangurinn er $2$ .

Deilingunni er lokið. Tölurnar í þriðju röð gefa niðurstöðuna. Tölurnar $2$ , $- 1$ og $3$ eru stuðlar kvótans, svo kvótinn er 2x² − x + 3. Talan $2$ í síðasta reit þriðju raðar er afgangurinn.

Berið svarið ykkar saman:

$\begin{matrix} (quotient)(divisor) + remainder & = & dividend \\ (2 x^{2} - 1 x + 3) (x + 2) + 2 & = ? & 2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8 \\ 2 x^{3} - x^{2} + 3 x + 4 x^{2} - 2 x + 6 + 2 & = ? & 2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8 \\ 2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8 & = & 2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8 &checkmark; \end{matrix}$

Dæmi 2

Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $x^{4} - 16 x^{2} + 3 x + 12$ er deilt með $x + 4$ .

Margliðan $x^{4} - 16 x^{2} + 3 x + 12$ er skrifuð í lækkandi röð eftir stigi, en $x^{3}$ -liðinn vantar. Við bætum við 0x³ sem plásshaldara. Á forminu $x - c$ er x + 4 jafnt $x - (- 4)$ , svo við notum −4 í deilireitnum.

Við deildum 4. stigs margliðu með $1$ . stigs margliðu, svo kvótinn er 3. stigs margliða. Úr þriðju röð lesum við stuðlana 1, $- 4$ , $0$ og $3$ ; kvótinn er $x^{3} - 4 x^{2} + 3$ . Afgangurinn er $0$ .

Reyndu þetta

Deiling margliða með Horner-aðferð

1. Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $3 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x - 2$ er deilt með $x + 2$ .

2. Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $x^{4} - 16 x^{2} + 5 x + 20$ er deilt með $x + 4$ .

Lausn

Svona má finna þessa kvóta með Horner-aðferð:

1. $3 x^{2} + 4 x - 2$ ; afgangur $2$

$\begin{matrix} - 2 ― | 3 10 6 - 2 \\ - 6 - 8 4 ― \\ 3 4 - 2 | 2 ― \end{matrix}$

2. $x^{3} - 4 x^{2} + 5$ ; afgangur $0$

$\begin{matrix} - 4 ― | 1 0 - 16 5 20 \\ - 4 16 0 - 20 ― \\ 1 - 4 0 5 | 0 ― \end{matrix}$

66.3 Deiling margliða

6.3.3 Deiling margliða með reikniriti Horners

6.3.3 • Deiling margliða með Horner-aðferð

Verkefni

Í þessu verkefni notum við Horner-aðferð til að deila margliðu með tvílið.

Hluti 1: Notið langdeilingu

Þið leysið deilingardæmi með langdeilingu.

1. $(x^{2} - 13 x + 42) \div (x - 6)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$\begin{array}{l} x - 6) 1 x^{2} - 13 x + 42 1 x^{2} - 13 x + 42 ¯ x - 7 \\ - (x^{2} - 6 x)_ \\ - 7 x + 42 \\ - (- 7 x + 42)_ \\ 0 \end{array}$

Hluti 2: Notið Horner-aðferð

Nú leysið þið sama deilingardæmi með Horner-aðferð.

2. (x² − 13x + 42) ÷ (x − 6)

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

( x² − 13 x + 42 ) ÷ ( x − 6 )

Skref 1 - Skrifið deilistofninn með lækkandi veldum af x. Gangið úr skugga um að ekkert stig vanti frá hæsta stigi niður í 0. stig.

x² − 13 x + 42

Skref 2 - Skrifið stuðla liðanna í fyrstu röð Horner-uppsetningarinnar.

Skref 3 - Skrifið deilirinn á forminu x − c og setjið c í deilireit Horner-uppsetningarinnar.

Skref 4 - Færið fyrsta stuðulinn niður í þriðju röð.

Skref 5 - Margfaldið þann stuðul með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir annan stuðulinn.

Skref 6 - Leggið saman tölurnar í öðrum dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Skref 7 - Margfaldið þá útkomu með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir þriðja stuðulinn.

Skref 8 - Leggið saman tölurnar í síðasta dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

3. $(4 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 3) \div (x + 2)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$4 x^{2} - 3 x + 1$ ; afgangur 1

4. $(2 x^{3} - 11 x^{2} + 16 x - 12) \div (x - 4)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$2 x^{2} - 3 x + 4$ ; afgangur 4

5. $(x^{4} - 9 x^{2} + 2 x + 6) \div (x + 3)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$x^{3} - 3 x^{2} + 2$ ; afgangur 0

6. $(3 x^{4} - 11 x^{3} + 2 x^{2} + 10 x + 6) \div (x - 3)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$3 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x - 2$ ; afgangur 0

Viðbótarefni

Deiling margliða með Horner-aðferð

Horner-aðferðin sleppir í raun óþarfa endurteknum breytum og tölum. Hér eru $x$ og $x^{2}$ fjarlægð, ásamt $- x^{2}$ og $- 4 x$ , því þeir liðir eru gagnstæðir liðunum fyrir ofan.

Fyrsta röð Horner-uppsetningarinnar inniheldur stuðla deilistofnsins. Talan $- 5$ er gagnstæð tala við $5$ í deilinum.

Önnur röð Horner-uppsetningarinnar inniheldur tölurnar sem eru sýndar með rauðu í deilingardæminu.

Þriðja röð Horner-uppsetningarinnar inniheldur tölurnar sem eru sýndar með bláu í deilingardæminu.

Takið eftir að kvótinn og afgangurinn koma fram í þriðju röð.

Horner-aðferðin virkar aðeins þegar deilirinn er á forminu $x - c$ .

Eftirfarandi dæmi útskýrir ferlið.

Dæmi 1

Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8$ er deilt með $x + 2$ .

Skref 1 - Skrifið deilistofninn með lækkandi veldum af $x$ .

$2 x^{3} + 3 x^{2} + x + 8$

Skref 2 - Skrifið stuðla liðanna í fyrstu röð Horner-uppsetningarinnar.

Skref 3 - Skrifið deilirinn á forminu $x - c$ og setjið $c$ í deilireit Horner-uppsetningarinnar.

Skref 4 - Færið fyrsta stuðulinn niður í þriðju röð.

Skref 5 - Margfaldið þann stuðul með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir annan stuðulinn.

Skref 6 - Leggið saman tölurnar í öðrum dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Skref 7 - Margfaldið þá útkomu með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir þriðja stuðulinn.

Skref 8 - Leggið saman tölurnar í þriðja dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Skref 9 - Margfaldið þá útkomu með tölunni í deilireitnum og setjið útkomuna í aðra röð undir fjórða stuðulinn.

Skref 10 - Leggið saman tölurnar í síðasta dálki og setjið útkomuna í þriðju röð.

Skref 11 - Kvótinn er 2x² − x + 3 og afgangurinn er $2$ .

Berið svarið ykkar saman:

Dæmi 2

Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $x^{4} - 16 x^{2} + 3 x + 12$ er deilt með $x + 4$ .

Reyndu þetta

Deiling margliða með Horner-aðferð

1. Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $3 x^{3} + 10 x^{2} + 6 x - 2$ er deilt með $x + 2$ .

2. Notið Horner-aðferð til að finna kvóta og afgang þegar $x^{4} - 16 x^{2} + 5 x + 20$ er deilt með $x + 4$ .

Lausn

Svona má finna þessa kvóta með Horner-aðferð:

1. $3 x^{2} + 4 x - 2$ ; afgangur $2$

$\begin{matrix} - 2 ― | 3 10 6 - 2 \\ - 6 - 8 4 ― \\ 3 4 - 2 | 2 ― \end{matrix}$

2. $x^{3} - 4 x^{2} + 5$ ; afgangur $0$

$\begin{matrix} - 4 ― | 1 0 - 16 5 20 \\ - 4 16 0 - 20 ― \\ 1 - 4 0 5 | 0 ― \end{matrix}$