66.3 Deiling margliða

6.3.2 Deiling margliða með langdeilingu

6.3.2 • Deiling margliða með langdeilingu

Verkefni

Rifjið saman upp hvernig $960 \div 20$ er reiknað með langdeilingu. Notið sömu aðferð til að deila margliðunum hér að neðan. Eftir hvert dæmi berið þið svarið saman við félaga. Ræðið útreikningana og notið hugtökin deilistofn, deilir og kvóti í skýringunum.

1. Finnið kvótann með langdeilingu.

( m² + 9 m + 20 ) ÷ ( m + 4 )

Horfið á myndbandið til að fá aðstoð.

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

m + 5

m + 4 ) 1 m² + 9 m + 20 ¯ m + 5 − ( m² + 4 m ) _ 5 m + 20 − ( 5 m + 20 ) _ 0

2. Finnið kvótann með langdeilingu.

$(p^{2} + 2 p - 8) \div (p^{2} - 7 p + 10)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$1 + \frac{9 p - 18}{p^{2} - 7 p + 10}$

3. Finnið kvótann með langdeilingu.

$(5 x + 5) \div (x + 5)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$5 - \frac{20}{x + 5}$

Æfing

4. Finnið kvótann með langdeilingu.

$(x^{4} - 11 x^{2} - 7 x - 6) \div (x + 3)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x - 1 - \frac{3}{x + 3}$

$\begin{array}{l} x + 3) 1 x^{4} + 0 x^{3} - 11 x^{2} - 7 x - 6 1 x^{4} + 0 x^{3} - 11 x^{2} - 7 x - 6 ¯ x^{3} - 3 x^{2} - 2 x - 1 \\ - x^{4} + 3 x^{3}_ \\ - 3 x^{3} - 11 x^{2} - 7 x - 6 \\ - 3 x^{3} - 9 x^{2}_ \\ - 2 x^{2} - 7 x - 6 \\ - 2 x^{2} - 6 x_ \\ - x - 6 \\ - x - 3_ \\ - 3 \end{array}$

5. Finnið kvótann með langdeilingu.

$(125 x^{3} - 8) \div (5 x - 2)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$25 x^{2} + 10 x + 4$

$\begin{array}{l} 5 x - 2) 1 125 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 8 1 125 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 8 ¯ 25^{2} + 10 x + 4 \\ - 125 x^{3} - 50 x^{2}_ \\ 50 x^{2} + 0 x - 8 \\ - 50 x^{2} - 20 x_ \\ 20 x - 8 \\ - 20 x - 8_ \\ 0 \end{array}$

Ertu til í meira?

Dýpkun skilnings

Finnið kvótann með langdeilingu.

$(125 y^{5} - 80 y^{4} - 31 y^{3} + 37 y^{2} + 10 y - 24) \div (5 y - 4)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$25 y^{4} + 4 y^{3} - 3 y^{2} + 5 y + 6$

$\begin{array}{l} 5 y - 4) 1 125 y^{5} - 80 y^{4} - 31 y^{3} + 37 y^{2} + 10 y - 24 1 125 y^{5} - 80 y^{4} - 31 y^{3} + 37 y^{2} + 10 y - 24 ¯ 25 y^{4} + 4 y^{3} - 3 y^{2} + 5 y + 6 \\ - (125 y^{5} - 100 y^{4})_ \\ 20 y^{4} - 31 y^{3} \\ - (20 y^{4} - 16 y^{3})_ \\ - 15 y^{3} + 37 y^{2} \\ - (- 15 y^{3} + 12 y^{2})_ \\ 25 y^{2} + 10 y \\ - (25 y^{2} - 20 y)_ \\ 30 y - 24 \\ - (30 y - 24)_ \\ 0 \end{array}$

Myndband: Deiling margliða með langdeilingu

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um hvernig margliðum er deilt með langdeilingu.

Viðbótarefni

Deiling margliða með langdeilingu

Til að deila margliðu með tvílið fylgjum við ferli sem líkist mjög langdeilingu talna. Skoðum því vandlega skrefin sem við notum þegar við deilum þriggja stafa tölunni $875$ með tveggja stafa tölunni $25$ .

Skref 1 - Byrjaðu á tölustafnum lengst til vinstri í deilistofninum og færðu þig til hægri um einn tölustaf í einu. Finndu minnsta mögulega gildi sem er stærra en deilirinn.

Deildu þessu gildi, $87$ , með deilinum $25$ . Skrifaðu heiltöluhlutann, án afgangs, í reitinn fyrir kvótann.

Skref 2 - Margfaldaðu þennan tölustaf í kvótanum með deilinum, $3 \cdot 25$ .

Skrifaðu niðurstöðuna undir samsvarandi tölustafi í deilistofninum.

Langdeiling: 875 deilt með 25. Deilirinn er 25, deilistofninn er 875, kvótinn er 3 og talan 75 er skrifuð með rauðu undir deilistofninum.

Skref 3 - Dragðu gildin tvö frá hvort öðru.

Langdeiling: 875 deilt með 25. Talan 25 gengur þrisvar upp í 87, eins og sýnt er fyrir ofan strikið; margföldun og frádráttur eru sýnd fyrir neðan og afgangurinn er 12.

Skref 4 - Færðu næsta tölustaf niður úr deilistofninum.

Langdeiling: 875 deilt með 25. Talan 25 gengur þrisvar upp í 87; 75 er dregið frá, afgangurinn er 12 og tölustafurinn 5 er færður niður við hliðina á 12.

Skref 5 - Endurtaktu deilinguna með því að deila nýja gildinu, $125$ , með deilinum.

Skrifaðu niðurstöðuna, $5$ , yfir samsvarandi tölustaf í kvótanum.

Langdeiling á 875 með 25. Kvótinn 35 er sýndur fyrir ofan strikið og tölustafurinn 5 er rauður til að sýna að 25 gengur fimm sinnum upp í 125.

Skref 6 - Margfaldaðu þennan tölustaf í kvótanum með deilinum, $5 \cdot 25$ .

Skrifaðu niðurstöðuna neðst undir fyrri töluna.

Langdeiling á 875 með 25. Kvótinn 35 er sýndur fyrir ofan strikið og 125 er skrifað með rauðu undir 125 til að sýna margfeldið 5 · 25.

Skref 7 - Dragðu gildin tvö frá hvort öðru. Þar sem engir fleiri tölustafir eru eftir til að færa niður er þetta gildi afgangurinn.

Kvótinn stendur efst.

Langdeilingardæmi: 875 deilt með 25. Kvótinn 35 er merktur efst og afgangurinn 0 neðst. Frádráttarskrefin 87 − 75 = 12 og 125 − 125 = 0 eru sýnd.

Við athugum deilinguna með því að margfalda kvótann með deilinum.

Ef deilingin er rétt reiknuð er margfeldið jafnt deilistofninum.

35 · 25
875 ✓ 875 ✓

Nú deilum við þrílið með tvílið. Þegar þú lest dæmið skaltu taka eftir því hversu lík skrefin eru skrefunum í talnadæminu hér að ofan.

Dæmi 1

Finnið kvótann: $(x^{2} + 9 x + 20) \div (x + 5)$ .

Skref 1 - Settu dæmið upp sem langdeilingu. Gakktu úr skugga um að deilistofninn sé á staðalformi.

Skref 2 - Deildu $x^{2}$ með $x$ . Það getur hjálpað að spyrja sig: Með hverju þarf ég að margfalda $x$ til að fá $x^{2}$ ?

Skref 3 - Settu svarið, $x$ , í kvótann yfir $x$ -liðinn. Margfaldaðu $x$ með $x + 5$ . Raðaðu eins liðum undir deilistofninn.

Langdeiling margliða: x + 5 deilir x² + 9x + 20. Fyrsta frádráttarskrefið, x² + 5x, er sýnt með rauðu undir deilistofninum.

Skref 4 - Dragðu $x^{2} + 5 x$ frá $x^{2} + 9 x$ . Þér getur reynst auðveldara að breyta merkjunum og leggja síðan saman. Færðu svo síðasta liðinn, $20$ , niður.

Langdeiling margliða: x + 5 deilir x² + 9x + 20. Fyrsta frádráttarskrefið er sýnt með breyttum formerkjum og niðurstaðan 4x + 20 er auðkennd með rauðu.

Skref 5 - Deildu $4 x$ með $x$ . Það getur hjálpað að spyrja sig: Með hverju þarf ég að margfalda $x$ til að fá $4 x$ ? Settu svarið, $4$ , í kvótann yfir fastaliðinn.

Langdeiling margliða þar sem (x² + 9x + 20) er deilt með (x + 5). Frádráttarskref og niðurstöður eru auðkennd með rauðu: x + 4 efst, −x² − 5x og 4x + 20 fyrir neðan.

Skref 6 - Margfaldaðu $4$ með $x + 5$ .

Langdeiling á x² + 9x + 20 með x + 5. Frádráttarskrefin eru sýnd með rauðu og niðurstaðan fyrir ofan strikið er x + 4.

Skref 7 - Dragðu $4 x + 20$ frá $4 x + 20$ .

Langdeiling á (x² + 9x + 20) með (x + 5). Kvótinn er x + 4, frádráttarskrefin eru sýnd og lokaafgangurinn er 0.

Skref 8 - Athugun: Margfaldaðu kvótann með deilinum. Þá ættirðu að fá deilistofninn.

$(x + 4) (x + 5)$

$x^{2} + 9 x + 20 ✓$

Þegar við deildum $875$ með $25$ fengum við engan afgang. Stundum skilur deiling talna þó eftir afgang. Sama gildir þegar við deilum margliðum. Í næsta dæmi er afgangur.

Líttu aftur á deilistofninn í fyrra dæminu. Liðirnir voru skrifaðir í lækkandi röð eftir stigi og ekkert stig vantaði. Deilistofninn í næsta dæmi er $x^{4} - x^{2} + 5^{x} - 6$ . Það vantar $x^{3}$ -liðinn, svo við bætum við $0 x^{3}$ sem plásshaldara.

Dæmi 2

Finnið kvótann: $(x^{4} - x^{2} + 5 x - 6) \div (x + 2)$ .

Taktu eftir að það vantar $x^{3}$ -lið í deilistofninn. Við bætum við $0 x^{3}$ sem plásshaldara.

Skref 1 - Settu dæmið upp sem langdeilingu.

Gakktu úr skugga um að deilistofninn sé á staðalformi með plásshöldurum fyrir liði sem vantar.

Skref 2 - Deildu $x^{4}$ með $x$ .

Settu svarið, $x^{3}$ , í kvótann yfir $x^{3}$ -liðinn. Margfaldaðu $x^{3}$ með $x + 2$ .

Raðaðu eins liðum saman. Dragðu frá og færðu svo næsta lið niður.

Langdeiling margliða: x + 2 deilir x⁴ + 0x³ − x² + 5x − 6. Fyrsta skrefið dregur frá x⁴ + 2x³ og gefur −2x³ − x².

Skref 3 - Deildu $- 2 x^{3}$ með $x$ .

Settu svarið, $- 2 x^{2}$ , í kvótann yfir $x^{2}$ -liðinn.

Margfaldaðu $- 2 x^{2}$ með $x + 2$ . Raðaðu eins liðum saman.

Dragðu frá og færðu næsta lið niður.

Langdeiling margliða á (x⁴ + 0x³ − x² + 5x − 6) með (x + 2), með milliskrefum og rauðmerktum frádrætti; 3x² + 5x sést neðst.

Skref 4 - Deildu $3 x^{2}$ með $x$ .

Settu svarið, $3 x$ , í kvótann yfir $x$ -liðinn.

Margfaldaðu $3 x$ með $x + 2$ .

Raðaðu eins liðum saman. Dragðu frá og færðu næsta lið niður.

Langdeiling margliða á (x⁴ + 0x³ − x² + 5x − 6) með (x + 2), með frádráttarskrefum og afgangi; nokkur atriði eru auðkennd með rauðu.

Skref 5 - Deildu $- x$ með $x$ . Settu svarið, $- 1$ , í kvótann yfir fastaliðinn.

Margfaldaðu $- 1$ með $x + 2$ . Raðaðu eins liðum saman.

Breyttu merkjunum og leggðu síðan saman.

Skrifaðu afganginn sem brot með deilinn sem nefnara.

Langdeiling margliða á (x⁴ + 0x³ − x² + 5x − 6) með (x + 2), með frádráttarskrefum og afgangi; rauð merking sýnir hvert skref.

Skref 6 - Til að athuga svarið margföldum við $(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 3 x - 1 - \frac{4}{x + 2})$ .

Niðurstaðan ætti að vera $x^{4} - x^{2} + 5 x - 6$ .

Í næsta dæmi deilum við með $2 a + 3$ .

Þegar við deilum þurfum við að taka tillit til stuðlanna jafnt sem breytanna.

Dæmi 3

Finnið kvótann: $(8 a^{3} + 27) \div (2 a + 3)$ .

Að þessu sinni sýnum við deilinguna í einu skrefi. Við þurfum að bæta við tveimur plásshöldurum áður en við deilum.

Langdeiling á (8a³ + 27) með (2a + 3). Rauðar örvar sýna margföldunina 4a²(2a + 3), −6a(2a + 3) og 9(2a + 3) í frádráttarskrefunum.

Til að athuga svarið margföldum við $(2 a + 3) (4 a^{2} - 6 a + 9)$ .

Niðurstaðan ætti að vera $8 a^{3} + 27$ .

Dæmi 4

Finnið kvótann: $(2 x + 14) \div (x + 7)$ . Sérðu fljótlega leið til að leysa þetta?

Langdeilingin sýnir að afgangurinn er 0.

Svarið er 2.

Reyndu þetta

Deiling margliða með langdeilingu

Finnið kvótana.

1. $(y^{2} + 10 y + 21) \div (y + 3)$

2. $(x^{4} - 7 x^{2} + 7 x + 6) \div (x + 3)$

3. $(x^{3} - 64) \div (x - 4)$

Lausn

Svona má deila þessum margliðum með langdeilingu:

1. $y + 7$ ;

$\begin{array}{l} y + 3) 1 y^{2} + 10 y + 21 1 y^{2} + 10 y + 21 ¯ y + 7 \\ - (y^{2} + 7 y)_ \\ 3 y + 21 \\ - (3 y + 21)_ \\ 0 \end{array}$

2. $x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1 + \frac{3}{x + 3}$ ;

$\begin{array}{l} x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1 \\ x + 3 \sqrt{x^{4} + 0 x^{3} - 7 x^{2} + 7 x + 6} \\ - (x^{4} + 3 x^{3})_ \\ - 3 x^{3} - 7 x^{2} \\ - (- 3 x^{3} - 9 x^{2})_ \\ 2 x^{2} + 7 x \\ - (2 x^{2} + 6 x)_ \\ x + 6 \\ - (x + 3)_ \\ 3 \end{array}$

3. $x^{2} + 4 x + 16$ ;

$\begin{array}{l} x^{2} + 4 x + 16 \\ x - 4) 1 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 64 1 x^{3} + 0 x^{2} + 0 x - 64 ¯ \\ - (x^{3} - 4 x^{2})_ \\ 4 x^{2} + 0 x \\ - (4 x^{2} - 16 x)_ \\ 16 x - 64 \\ - (16 x - 64)_ \\ 0 \end{array}$

Æfing

4. Finnið kvótann með langdeilingu.

$(x^{4} - 11 x^{2} - 7 x - 6) \div (x + 3)$

Lausn

Berið svarið ykkar saman:

$x^{3} - 3 x^{2} - 2 x - 1 - \frac{3}{x + 3}$