55.12 Röksemdafærsla um veldisgröf, hluti 1

5.12.3 Gröf sem tákna vísishnignun

5.12.3 - Gröf sem tákna vísishnignun

Tenging við kennslustofu

Skráðu þig inn á student.desmos.com með upplýsingunum frá kennaranum til að ljúka verkefninu.

1. Skoðaðu gröf fallanna hér fyrir neðan.

Graf með fjórum vísishnignunarferlum sem byrja allir í punktinum (0, 200). Ferill A lækkar hægast, B hraðar, C enn hraðar og D hraðast.

Paraðu hvert fall við rétt graf. Undirbúðu rökstuðninginn þinn.

a. Hvaða graf táknar best fallið? $m (x) = 200 \cdot {(\frac{1}{4})}^{x}$

Lausn

Svar: graf D.

b. Hvaða graf táknar best fallið? $n (x) = 200 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}$

Lausn

Svar: graf C.

c. Hvaða graf táknar best fallið? $p (x) = 200 \cdot {(\frac{3}{4})}^{x}$

Lausn

Svar: graf B.

d. Hvaða graf táknar best fallið? $q (x) = 200 \cdot {(\frac{7}{8})}^{x}$

Lausn

Svar: graf A.

2. Föllin $f$ og $g$ eru skilgreind með þessum jöfnum:

$f (x) = 1000 \cdot {(\frac{1}{10})}^{x}$
$g (x) = 1000 \cdot {(\frac{9}{10})}^{x}$

a. Notaðu grafteikniverkfæri eða annað stafrænt verkfæri. Teiknaðu gröf fallanna $f$ og $g$ í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvort fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Línurit með tveimur ferlum. Ferill f er appelsínugulur, lækkar mjög hratt og nálgast núll fljótt. Ferill g er blágrænn og lækkar hægar. Ásarnir eru merktir x og y.

b. Hvort fallið hnignar hraðar?

Lausn

$f (x)$

c. Útskýrðu hvers vegna þetta fall hnignar hraðar.

Lausn

Berðu rökstuðninginn þinn saman:

Fallið $f$ hefur minni veldisstofn en fallið $g$ :

$f (x) = 1000 \cdot {(\frac{1}{10})}^{x}$

$g (x) = 1000 \cdot {(\frac{9}{10})}^{x}$

Báðir veldisstofnarnir eru stærri en 0 og minni en 1, svo bæði föllin sýna vísishnignun. Þar sem veldisstofninn í $f$ er nær 0 hnignar $f$ hraðar.

Að byggja upp karakter: þrautseigja

Manneskja í appelsínugulum jakka gengur upp fjall með skjalatösku og göngustaf. Bikar og skotmark í bakgrunni tákna árangur og markmið.

Þrautseigja spáir fyrir um hvort fólki takist að ná krefjandi markmiðum sem skipta það máli. Til dæmis eru nemendur með meiri þrautseigju líklegri til að útskrifast úr framhaldsskóla og kadettar með meiri þrautseigju líklegri til að ljúka þjálfun sinni við West Point.

Hugleiddu eigin þrautseigju. Eiga eftirfarandi fullyrðingar við um þig?

Það er að minnsta kosti ein námsgrein eða eitt verkefni sem mér leiðist aldrei að hugsa um.
Ég klára það sem ég byrja á.

Ekki hafa áhyggjur ef hvorug fullyrðingin á við um þig. Það tekur tíma að þroska þennan eiginleika. Fyrsta skrefið byrjar í dag.

Hvert af eftirfarandi föllum hnignar hraðast?

Veldu eitt svar:

$j (x) = {0,5}^{x}$
$h (x) = {1,34}^{x} - 90$
$g (x) = {0,34}^{x} + 2$
$f (x) = {0,86}^{x} - 10$

Paraðu hvert fall hér fyrir neðan við eitt af gröfunum á myndinni.

Graf með sex merktum ferlum A til F í hnitakerfi. A, B og C sýna vísishnignun og D, E og F sýna veldisvöxt; ferlarnir hafa mismunandi skurðpunkta við y-ás og mismunandi bratta.

Mundu að jafna vísisfalls er yfirleitt rituð á forminu: $y = a \cdot b^{x}$

Stuðullinn $a$ ræður skurðpunktinum við $y$ -ás. Þegar $b < 1$ er um vísishnignun að ræða. Því nær sem $b$ er 0, því hraðar hnignar fallið; því nær sem $b$ er 1, því hægar hnignar það. Þegar $b > 1$ vex fallið og stærra gildi á $b$ merkir hraðari vöxt.

Jöfnurnar í töflunni eru:

Jafna	Skurðpunktur við $y$ -ás	Vöxtur/hnignun	Samsvörun
1. $f (x) = 2 {(0,68)}^{x}$	$(0, 2)$	Hnignun	B
2. $f (x) = 2 {(1,28)}^{x}$	$(0, 2)$	Vöxtur	F
3. $f (x) = 2 {(0,81)}^{x}$	$(0, 2)$	Hnignun	A
4. $f (x) = 4 {(1,28)}^{x}$	$(0, 4)$	Vöxtur	D
5. $f (x) = 2 {(1,59)}^{x}$	$(0, 2)$	Vöxtur	E
6. $f (x) = 4 {(0,68)}^{x}$	$(0, 4)$	Hnignun	C

Graf með sex merktum ferlum A til F í hnitakerfi. Ferlar A, B og C lækka þegar x eykst, en D, E og F hækka; C hefur hæsta skurðpunktinn við y-ás.

Á grafinu hér fyrir ofan, hvaða fall af eftirfarandi formi hefur stærsta gildið á $a$ ?

$f (x) = a \cdot b^{x}$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Svona má finna hvaða fall hefur stærsta gildið á $a$ :

Í fallinu hér fyrir ofan ræður $a$ skurðpunktinum við $y$ -ás. Fallið með hæsta skurðpunktinn við $y$ -ás hefur stærsta gildið á $a$ . Það er fall C.

5.12.3 Gröf sem tákna vísishnignun

5.12.3 - Gröf sem tákna vísishnignun

Tenging við kennslustofu

Skráðu þig inn á student.desmos.com með upplýsingunum frá kennaranum til að ljúka verkefninu.

1. Skoðaðu gröf fallanna hér fyrir neðan.

Paraðu hvert fall við rétt graf. Undirbúðu rökstuðninginn þinn.

a. Hvaða graf táknar best fallið? $m (x) = 200 \cdot {(\frac{1}{4})}^{x}$

Lausn

Svar: graf D.

b. Hvaða graf táknar best fallið? $n (x) = 200 \cdot {(\frac{1}{2})}^{x}$

Lausn

Svar: graf C.

c. Hvaða graf táknar best fallið? $p (x) = 200 \cdot {(\frac{3}{4})}^{x}$

Lausn

Svar: graf B.

d. Hvaða graf táknar best fallið? $q (x) = 200 \cdot {(\frac{7}{8})}^{x}$

Lausn

Svar: graf A.

2. Föllin $f$ og $g$ eru skilgreind með þessum jöfnum:

$f (x) = 1000 \cdot {(\frac{1}{10})}^{x}$
$g (x) = 1000 \cdot {(\frac{9}{10})}^{x}$

a. Notaðu grafteikniverkfæri eða annað stafrænt verkfæri. Teiknaðu gröf fallanna $f$ og $g$ í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvort fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

b. Hvort fallið hnignar hraðar?

Lausn

$f (x)$

c. Útskýrðu hvers vegna þetta fall hnignar hraðar.

Lausn

Berðu rökstuðninginn þinn saman:

Fallið $f$ hefur minni veldisstofn en fallið $g$ :

$f (x) = 1000 \cdot {(\frac{1}{10})}^{x}$

$g (x) = 1000 \cdot {(\frac{9}{10})}^{x}$

Báðir veldisstofnarnir eru stærri en 0 og minni en 1, svo bæði föllin sýna vísishnignun. Þar sem veldisstofninn í $f$ er nær 0 hnignar $f$ hraðar.

Að byggja upp karakter: þrautseigja

Hugleiddu eigin þrautseigju. Eiga eftirfarandi fullyrðingar við um þig?

Það er að minnsta kosti ein námsgrein eða eitt verkefni sem mér leiðist aldrei að hugsa um.
Ég klára það sem ég byrja á.

Ekki hafa áhyggjur ef hvorug fullyrðingin á við um þig. Það tekur tíma að þroska þennan eiginleika. Fyrsta skrefið byrjar í dag.

Hvert af eftirfarandi föllum hnignar hraðast?

Veldu eitt svar:

$j (x) = {0,5}^{x}$
$h (x) = {1,34}^{x} - 90$
$g (x) = {0,34}^{x} + 2$
$f (x) = {0,86}^{x} - 10$

Paraðu hvert fall hér fyrir neðan við eitt af gröfunum á myndinni.

Mundu að jafna vísisfalls er yfirleitt rituð á forminu: $y = a \cdot b^{x}$

Jöfnurnar í töflunni eru:

Jafna	Skurðpunktur við $y$ -ás	Vöxtur/hnignun	Samsvörun
1. $f (x) = 2 {(0,68)}^{x}$	$(0, 2)$	Hnignun	B
2. $f (x) = 2 {(1,28)}^{x}$	$(0, 2)$	Vöxtur	F
3. $f (x) = 2 {(0,81)}^{x}$	$(0, 2)$	Hnignun	A
4. $f (x) = 4 {(1,28)}^{x}$	$(0, 4)$	Vöxtur	D
5. $f (x) = 2 {(1,59)}^{x}$	$(0, 2)$	Vöxtur	E
6. $f (x) = 4 {(0,68)}^{x}$	$(0, 4)$	Hnignun	C

Á grafinu hér fyrir ofan, hvaða fall af eftirfarandi formi hefur stærsta gildið á $a$ ?

$f (x) = a \cdot b^{x}$

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Svona má finna hvaða fall hefur stærsta gildið á $a$ :

Í fallinu hér fyrir ofan ræður $a$ skurðpunktinum við $y$ -ás. Fallið með hæsta skurðpunktinn við $y$ -ás hefur stærsta gildið á $a$ . Það er fall C.