55.12 Röksemdafærsla um veldisgröf, hluti 1

5.12.2 Jöfnur og gröf þeirra

5.12.2 - Jöfnur og gröf þeirra

Verkefni

Sjá Desmos-leiðbeiningarnar á PDF-formi til að fá ráð um hvernig nota má Desmos-grafreiknivélina við verkefnin.

1. Eftirfarandi $f$ öll $f$ , $g$ , $h$ og $j$ tákna peningaupphæð á bankareikningi, í dollurum, sem fall af tíma $x$ , í árum. Þau eru öll rituð á forminu: $m (x) = a \cdot b^{x}$

$f (x) = 50 \cdot 2^{x}$
$g (x) = 50 \cdot 3^{x}$
$h (x) = 50 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x}$
$j (x) = 50 \cdot {(0,5)}^{x}$

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Graf með fjórum merktum ferlum: f, g, h og j. Allir skerast nálægt (0, 50); f, g og h sveigjast upp á við en j lækkar þegar x hækkar frá 0 til 4.

$b$ . Útský $r$ ðu hvernig breyting á gildi $b$ breytir grafinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Þegar $b$ er stærra en 1 þýð $a$ stærri gildi á $b$ $a$ ð fallið vex hraðar eftir því sem $x$ eykst. Jákvætt gildi á $b$ sem er minna en 1 þýðir $a$ ð fallið lækkar eftir því sem $x$ eykst.

2. Hé $r$ eru $j$ öfnur sem skilgreina $f$ öllin $p$ , $q$ og $r$ . Þæ $r$ eru líka ritaðar á forminu: $m (x) = a \cdot b^{x}$

$p (x) = 10 \cdot 4^{x}$
$q (x) = 40 \cdot 4^{x}$
$r (x) = 100 \cdot 4^{x}$

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Graf með þremur vísisferlum merktum p, q og r. Ferlarnir hækka bratt til hægri á hnitakerfi þar sem y-gildi ná frá 0 upp fyrir 200.

$b$ . Útský $r$ ðu hvernig breyting á gildi $a$ breytir grafinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Hún breytir skurðpunkti grafsins við y-ásinn í punktinn: $(0, a)$

3. Hé $r$ eru $j$ öfnur sem skilgreina $f$ öllin $f$ , $g$ og $h$ á forminu: $m (x) = a \cdot b^{x} + d$

$f (x) = 4^{x} + 2$
$g (x) = 4^{x}$
$h (x) = 4^{x} - 2$

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

Graf með þremur ferlum: f, g og h. Allir fara um (0, 1); f vex hraðast og h hægast þegar x eykst.

$b$ . Ræddu við námsfélaga hvernig breyting á gildi $d$ breytir $a$ ðfellu grafsins.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Breyting á $d$ $f$ ærir lá $r$ éttu $a$ ðfelluna ú $r$ : $y = 0$

í: $y = d$

Þess vegna hefur f(x) láréttu aðfelluna: $y = 2$

og h(x) hefur láréttu aðfelluna: $y = - 2$

Tilbúin(n) í meira?

Víkkaðu hugsunina

Líkt og áður skaltu skoða bankareikninga þar sem staðan er gefin með eftirfarandi föllum:

f(x) = 10·3^x

$g (x) = 3^{x + 2}$

$h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3}$

Berðu svarið þitt saman:

Lausn

Við getum umritað hvert fall sem margfeldi af sama veldi til að bera þau auðveldara saman:

f(x) = 10·3^x

$g (x) = 3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$

$h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3} = \frac{27}{2} \cdot 3^{x} = 13,5 \cdot 3^{x}$

9 < 10 < 13,5

Myndband: Vísisjöfnur og áhrif þeirra á gröf

Horfðu á myndbandið til að læra meira um vísisföll og hvernig þau hafa áhrif á gröf.

Viðbótarefni

Lóðréttar hliðranir vísisfalla

Fyrsta umbreytingin verður þegar fasta $d$ er $b$ ætt við grunnfallið: $f (x) = b^{x}$

Þá $f$ ærist grafið lóð $r$ étt um $d$ einingar í sömu átt og formerki $d$ segir til um. Ef byrjað er á grunnfallinu: $f (x) = 2^{x}$

má teikna tvæ $r$ lóð $r$ éttar hliðranir með $d$ = 3: hliðrun upp á við og hliðrun niður á við. $d = 3$ $g (x) = 2^{x} + 3$ $h (x) = 2^{x} - 3$

Báðar lóðréttu hliðranirnar sjást á grafinu hér fyrir neðan.

Graf þriggja vísisvaxtarfalla. f(x) hefur skurðpunkt við y-ás í 1 og lárétta aðfellu y = 0. g(x) hefur skurðpunkt við y-ás í 4 og lárétta aðfellu y = 3. h(x) hefur skurðpunkt við y-ás í -2 og lárétta aðfellu y = -3.

Skoð $a$ ðu hvað gerist þegar grunnfallinu er hliðrað lóð $r$ étt: $f (x) = 2^{x}$

Formengið helst óbreytt: $(- \infty, \infty)$
Þegar fallinu er hliðrað 3 einingar upp færist skurðpunkturinn við y-ás upp í (0, 4), aðfellan verður y = 3 og myndmengið verður (3, ∞).
- (0, 4) $y = 3$
- (3, ∞)
- (0, −2) $y = - 3$
(−3, ∞)

5.12.2 Jöfnur og gröf þeirra

5.12.2 - Jöfnur og gröf þeirra

Verkefni

Sjá Desmos-leiðbeiningarnar á PDF-formi til að fá ráð um hvernig nota má Desmos-grafreiknivélina við verkefnin.

1. Eftirfarandi $f$ öll $f$ , $g$ , $h$ og $j$ tákna peningaupphæð á bankareikningi, í dollurum, sem fall af tíma $x$ , í árum. Þau eru öll rituð á forminu: $m (x) = a \cdot b^{x}$

$f (x) = 50 \cdot 2^{x}$
$g (x) = 50 \cdot 3^{x}$
$h (x) = 50 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x}$
$j (x) = 50 \cdot {(0,5)}^{x}$

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

$b$ . Útský $r$ ðu hvernig breyting á gildi $b$ breytir grafinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

2. Hé $r$ eru $j$ öfnur sem skilgreina $f$ öllin $p$ , $q$ og $r$ . Þæ $r$ eru líka ritaðar á forminu: $m (x) = a \cdot b^{x}$

$p (x) = 10 \cdot 4^{x}$
$q (x) = 40 \cdot 4^{x}$
$r (x) = 100 \cdot 4^{x}$

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

$b$ . Útský $r$ ðu hvernig breyting á gildi $a$ breytir grafinu.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Hún breytir skurðpunkti grafsins við y-ásinn í punktinn: $(0, a)$

3. Hé $r$ eru $j$ öfnur sem skilgreina $f$ öllin $f$ , $g$ og $h$ á forminu: $m (x) = a \cdot b^{x} + d$

$f (x) = 4^{x} + 2$
$g (x) = 4^{x}$
$h (x) = 4^{x} - 2$

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Lausn

Berðu svörin þín saman:

$b$ . Ræddu við námsfélaga hvernig breyting á gildi $d$ breytir $a$ ðfellu grafsins.

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Breyting á $d$ $f$ ærir lá $r$ éttu $a$ ðfelluna ú $r$ : $y = 0$

í: $y = d$

Þess vegna hefur f(x) láréttu aðfelluna: $y = 2$

og h(x) hefur láréttu aðfelluna: $y = - 2$

Tilbúin(n) í meira?

Víkkaðu hugsunina

Líkt og áður skaltu skoða bankareikninga þar sem staðan er gefin með eftirfarandi föllum:

f(x) = 10·3^x

$g (x) = 3^{x + 2}$

$h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3}$

Berðu svarið þitt saman:

Lausn

Við getum umritað hvert fall sem margfeldi af sama veldi til að bera þau auðveldara saman:

f(x) = 10·3^x

$g (x) = 3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}$

$h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3} = \frac{27}{2} \cdot 3^{x} = 13,5 \cdot 3^{x}$

9 < 10 < 13,5

Myndband: Vísisjöfnur og áhrif þeirra á gröf

Horfðu á myndbandið til að læra meira um vísisföll og hvernig þau hafa áhrif á gröf.

Viðbótarefni

Lóðréttar hliðranir vísisfalla

Fyrsta umbreytingin verður þegar fasta $d$ er $b$ ætt við grunnfallið: $f (x) = b^{x}$

Þá $f$ ærist grafið lóð $r$ étt um $d$ einingar í sömu átt og formerki $d$ segir til um. Ef byrjað er á grunnfallinu: $f (x) = 2^{x}$

má teikna tvæ $r$ lóð $r$ éttar hliðranir með $d$ = 3: hliðrun upp á við og hliðrun niður á við. $d = 3$ $g (x) = 2^{x} + 3$ $h (x) = 2^{x} - 3$

Báðar lóðréttu hliðranirnar sjást á grafinu hér fyrir neðan.

Skoð $a$ ðu hvað gerist þegar grunnfallinu er hliðrað lóð $r$ étt: $f (x) = 2^{x}$

Formengið helst óbreytt: $(- \infty, \infty)$
Þegar fallinu er hliðrað 3 einingar upp færist skurðpunkturinn við y-ás upp í (0, 4), aðfellan verður y = 3 og myndmengið verður (3, ∞).
- (0, 4) $y = 3$
- (3, ∞)
- (0, −2) $y = - 3$
(−3, ∞)