55.12 Röksemdafærsla um veldisgröf, hluti 1

5.12.2 Jöfnur og gröf þeirra

5.12.2 - Jöfnur og gröf þeirra

Verkefni

Sjá Desmos-leiðbeiningarnar á PDF-formi til að fá ráð um hvernig nota má Desmos-grafreiknivélina við verkefnin.

Eftirfarandi föll f, g, h og j tákna peningaupphæð á bankareikningi, í dollurum, sem fall af tíma x, í árum. Þau eru öll rituð á forminu:

Lausn

m (x) = a \cdot b^{x}

f (x) = 50 \cdot 2^{x}

g (x) = 50 \cdot 3^{x}

h (x) = 50 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x}

j (x) = 50 \cdot {(0,5)}^{x}

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Berðu svörin þín saman:

Graf með fjórum merktum ferlum: f, g, h og j. Allir skerast nálægt (0, 50); f, g og h sveigjast upp á við en j lækkar þegar x hækkar frá 0 til 4.

b. Útskýrðu hvernig breyting á gildi b breytir grafinu.

Berðu svarið þitt saman:

Þegar b er stærra en 1 þýða stærri gildi á b að fallið vex hraðar eftir því sem x eykst. Jákvætt gildi á b sem er minna en 1 þýðir að fallið lækkar eftir því sem x eykst.

Hér eru jöfnur sem skilgreina föllin p, q og r. Þær eru líka ritaðar á forminu:

Lausn

m (x) = a \cdot b^{x}

p (x) = 10 \cdot 4^{x}

q (x) = 40 \cdot 4^{x}

r (x) = 100 \cdot 4^{x}

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Berðu svörin þín saman:

Graf með þremur vísisferlum merktum p, q og r. Ferlarnir hækka bratt til hægri á hnitakerfi þar sem y-gildi ná frá 0 upp fyrir 200.

b. Útskýrðu hvernig breyting á gildi a breytir grafinu.

Berðu svarið þitt saman:

Hún breytir skurðpunkti grafsins við y-ásinn í punktinn:

(0, a)

Hér eru jöfnur sem skilgreina föllin f, g og h á forminu:

Lausn

m (x) = a \cdot b^{x} + d

f (x) = 4^{x} + 2

g (x) = 4^{x}

h (x) = 4^{x} - 2

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Berðu svörin þín saman:

Graf með þremur ferlum: f, g og h. Allir fara um (0, 1); f vex hraðast og h hægast þegar x eykst.

b. Ræddu við námsfélaga hvernig breyting á gildi d breytir aðfellu grafsins.

Berðu svarið þitt saman:

Breyting á d færir láréttu aðfelluna úr:

y = 0

í:

y = d

Þess vegna hefur f(x) láréttu aðfelluna:

y = 2

og h(x) hefur láréttu aðfelluna:

y = - 2

Tilbúin(n) í meira?

Víkkaðu hugsunina

Líkt og áður skaltu skoða bankareikninga þar sem staðan er gefin með eftirfarandi föllum:

f (x) = 10 \cdot 3^{x}

g (x) = 3^{x + 2}

h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3}

Hvaða fall myndir þú velja? Fer valið eftir x?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Við getum umritað hvert fall sem margfeldi af sama veldi til að bera þau auðveldara saman:

f (x) = 10 \cdot 3^{x}

g (x) = 3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}

h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3} = \frac{27}{2} \cdot 3^{x} = 13,5 \cdot 3^{x}

Þar sem stuðlarnir raðast svona:

9 < 10 < 13,5

sérðu að h gefur hæstu stöðuna fyrir hvaða gildi á x sem er.

Myndband: Vísisjöfnur og áhrif þeirra á gröf

Horfðu á myndbandið til að læra meira um vísisföll og hvernig þau hafa áhrif á gröf.

Viðbótarefni

Lóðréttar hliðranir vísisfalla

Fyrsta umbreytingin verður þegar fasta d er bætt við grunnfallið:

f (x) = b^{x}

Þá færist grafið lóðrétt um d einingar í sömu átt og formerki d segir til um. Ef byrjað er á grunnfallinu:

f (x) = 2^{x}

má teikna tvær lóðréttar hliðranir með d = 3: hliðrun upp á við og hliðrun niður á við.

d = 3

g (x) = 2^{x} + 3

h (x) = 2^{x} - 3

Báðar lóðréttu hliðranirnar sjást á grafinu hér fyrir neðan.

Graf þriggja vísisvaxtarfalla. f(x) hefur skurðpunkt við y-ás í 1 og lárétta aðfellu y = 0. g(x) hefur skurðpunkt við y-ás í 4 og lárétta aðfellu y = 3. h(x) hefur skurðpunkt við y-ás í -2 og lárétta aðfellu y = -3.

Skoðaðu hvað gerist þegar grunnfallinu er hliðrað lóðrétt:

f (x) = 2^{x}

Formengið helst óbreytt:

(- \infty, \infty)

Þegar fallinu er hliðrað 3 einingar upp færist skurðpunkturinn við y-ás upp í (0, 4), aðfellan verður y = 3 og myndmengið verður (3, ∞).

(0, 4)

y = 3

(3, \infty)

Þegar fallinu er hliðrað 3 einingar niður færist skurðpunkturinn við y-ás niður í (0, −2), aðfellan verður y = −3 og myndmengið verður (−3, ∞).

(0, - 2)

y = - 3

(- 3, \infty)

55.12 Röksemdafærsla um veldisgröf, hluti 1

5.12.2 Jöfnur og gröf þeirra

5.12.2 - Jöfnur og gröf þeirra

Verkefni

Sjá Desmos-leiðbeiningarnar á PDF-formi til að fá ráð um hvernig nota má Desmos-grafreiknivélina við verkefnin.

Eftirfarandi föll f, g, h og j tákna peningaupphæð á bankareikningi, í dollurum, sem fall af tíma x, í árum. Þau eru öll rituð á forminu:

Lausn

m (x) = a \cdot b^{x}

f (x) = 50 \cdot 2^{x}

g (x) = 50 \cdot 3^{x}

h (x) = 50 \cdot {(\frac{3}{2})}^{x}

j (x) = 50 \cdot {(0,5)}^{x}

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Berðu svörin þín saman:

b. Útskýrðu hvernig breyting á gildi b breytir grafinu.

Berðu svarið þitt saman:

Þegar b er stærra en 1 þýða stærri gildi á b að fallið vex hraðar eftir því sem x eykst. Jákvætt gildi á b sem er minna en 1 þýðir að fallið lækkar eftir því sem x eykst.

Hér eru jöfnur sem skilgreina föllin p, q og r. Þær eru líka ritaðar á forminu:

Lausn

m (x) = a \cdot b^{x}

p (x) = 10 \cdot 4^{x}

q (x) = 40 \cdot 4^{x}

r (x) = 100 \cdot 4^{x}

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Berðu svörin þín saman:

b. Útskýrðu hvernig breyting á gildi a breytir grafinu.

Berðu svarið þitt saman:

Hún breytir skurðpunkti grafsins við y-ásinn í punktinn:

(0, a)

Hér eru jöfnur sem skilgreina föllin f, g og h á forminu:

Lausn

m (x) = a \cdot b^{x} + d

f (x) = 4^{x} + 2

g (x) = 4^{x}

h (x) = 4^{x} - 2

a. Notaðu grafteikniverkfæri til að teikna öll föllin í sama hnitakerfi. Það getur hjálpað að nota mismunandi lit fyrir hvert fall.

Berðu svörin þín saman:

b. Ræddu við námsfélaga hvernig breyting á gildi d breytir aðfellu grafsins.

Berðu svarið þitt saman:

Breyting á d færir láréttu aðfelluna úr:

y = 0

í:

y = d

Þess vegna hefur f(x) láréttu aðfelluna:

y = 2

og h(x) hefur láréttu aðfelluna:

y = - 2

Tilbúin(n) í meira?

Víkkaðu hugsunina

Líkt og áður skaltu skoða bankareikninga þar sem staðan er gefin með eftirfarandi föllum:

f (x) = 10 \cdot 3^{x}

g (x) = 3^{x + 2}

h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3}

Hvaða fall myndir þú velja? Fer valið eftir x?

Lausn

Berðu svarið þitt saman:

Við getum umritað hvert fall sem margfeldi af sama veldi til að bera þau auðveldara saman:

f (x) = 10 \cdot 3^{x}

g (x) = 3^{x + 2} = 3^{x} \cdot 3^{2} = 9 \cdot 3^{x}

h (x) = \frac{1}{2} \cdot 3^{x + 3} = \frac{27}{2} \cdot 3^{x} = 13,5 \cdot 3^{x}

Þar sem stuðlarnir raðast svona:

9 < 10 < 13,5

sérðu að h gefur hæstu stöðuna fyrir hvaða gildi á x sem er.

Myndband: Vísisjöfnur og áhrif þeirra á gröf

Horfðu á myndbandið til að læra meira um vísisföll og hvernig þau hafa áhrif á gröf.

Viðbótarefni

Lóðréttar hliðranir vísisfalla

Fyrsta umbreytingin verður þegar fasta d er bætt við grunnfallið:

f (x) = b^{x}

Þá færist grafið lóðrétt um d einingar í sömu átt og formerki d segir til um. Ef byrjað er á grunnfallinu:

f (x) = 2^{x}

má teikna tvær lóðréttar hliðranir með d = 3: hliðrun upp á við og hliðrun niður á við.

d = 3

g (x) = 2^{x} + 3

h (x) = 2^{x} - 3

Báðar lóðréttu hliðranirnar sjást á grafinu hér fyrir neðan.

Skoðaðu hvað gerist þegar grunnfallinu er hliðrað lóðrétt:

f (x) = 2^{x}

Formengið helst óbreytt:

(- \infty, \infty)

Þegar fallinu er hliðrað 3 einingar upp færist skurðpunkturinn við y-ás upp í (0, 4), aðfellan verður y = 3 og myndmengið verður (3, ∞).

(0, 4)

y = 3

(3, \infty)

Þegar fallinu er hliðrað 3 einingar niður færist skurðpunkturinn við y-ás niður í (0, −2), aðfellan verður y = −3 og myndmengið verður (−3, ∞).

(0, - 2)

y = - 3

(- 3, \infty)