55.10 Skoðun á breytingarhraða

5.10.2 Kanna meðalbreytingarhraða í veldisvexti

5.10.2 - Kanna meðalbreytingarhraða í veldisvexti

Verkefni

Taflan og grafið sýna fjölda kaffihúsa sem fyrirtæki hafði um allan heim fyrstu 10 árin, frá 1987 til 1997. Fjöldi kaffihúsa jókst nokkurn veginn samkvæmt veldisvexti.

Punktarit sýnir að fjöldi kaffihúsa jókst hratt á 11 árum frá 1987, úr nálægt núlli í yfir 1.400. Vöxturinn hraðar sér greinilega eftir ár 5 og myndin samsvarar gildunum í töflunni. — Fjöldi kaffihúsa fyrstu 10 árin.

Ár	Fjöldi kaffihúsa
1987	17
1988	33
1989	55
1990	84
1991	116
1992	165
1993	272
1994	425
1995	677
1996	1.015
1997	1.412

1. Finndu meðalbreytingarhraðann á hverju tímabili. Sýndu röksemdafærsluna.

a. 1987 til 1990

Lausn

22 1/3 kaffihús á ári, þar sem $\frac{84 - 17}{3 - 0} = 22 \frac{1}{3}$ .

b. 1987 til 1993

Lausn

42,5 kaffihús á ári, þar sem $\frac{272 - 17}{6 - 0} = 42,5$ .

c. 1987 til 1997

Lausn

139,5 kaffihús á ári, þar sem $\frac{1.412 - 17}{10 - 0} = 139,5$ .

2. Gerðu nokkrar athuganir á breytingarhröðunum sem þú reiknaðir. Hvað segja þessir meðalbreytingarhraðar um vöxt fyrirtækisins á þessu tímabili?

Lausn

Meðalbreytingarhraði fyrstu 6 áranna er næstum tvöfaldur meðalbreytingarhraði fyrstu 3 áranna. Meðalbreytingarhraði 10 ára tímabilsins er næstum 7 sinnum meiri en fyrstu 3 áranna og meira en 3 sinnum meiri en fyrstu 6 áranna. Fyrirtækið óx með vaxandi hraða á 10 ára tímabilinu.

3. Notaðu grafið til að styðja svör þín. Hversu vel lýsa meðalbreytingarhraðarnir vexti fyrirtækisins á þessum tímabilum?

a. Fyrstu 3 árin?

Lausn

Meðalbreytingarhraðinn 22 1/3 er nokkuð nákvæm lýsing á vextinum fyrstu 3 árin, en lýsir vextinum illa langt fram yfir 1992.

b. Fyrstu 6 árin?

Lausn

Meðalbreytingarhraðinn 42,5 lýsir vextinum sæmilega fyrstu 6 árin, en ofmetur vöxtinn snemma á tímabilinu og vanmetur vöxtinn mikið eftir 1994.

c. Öll 10 árin?

Lausn

Meðalbreytingarhraðinn 139,5 lýsir ekki raunverulegum vexti fyrirtækisins frá 1987 til 1997 af mikilli nákvæmni.

4. Látum $f$ vera fall þannig að $f (t)$ tákni fjölda kaffihúsa $t$ árum eftir 1987. Gildið $f (20)$ er 15.011. Finndu $\frac{f (20) - f (10)}{20 - 10}$ og segðu hvað gildið segir um breytinguna á fjölda kaffihúsa.

Lausn

Meðalvöxturinn frá 1997 til 2007 er 1.359,9 kaffihús á ári, þar sem $\frac{15.011 - 1.412}{20 - 10} = 1.359,9$ .

Þetta er 60 sinnum meira en meðalbreytingarhraðinn fyrstu 3 árin og næstum 10 sinnum meira en meðalbreytingarhraðinn fyrstu 10 árin. Fjöldi kaffihúsa hélt áfram að vaxa með vaxandi hraða frá 1997 til 2007.

Myndband: Greina meðalbreytingarhraða vísisfalls

Horfðu á myndbandið til að læra meira um meðalbreytingarhraða vísisfalla.

Sjálfspróf

Gerum ráð fyrir að frumustofn byrji í 500 og þrefaldist á hverjum degi. Fjölda frumna á hverjum degi má reikna á eftirfarandi hátt:

Fjöldi daga	Fjöldi frumna
0	500
1	1.500
2	4.500
3	13.500

Finndu meðalbreytingarhraðann frá degi 0 til dags 2.

−2.000
2.000
4.500
1.000

Viðbótarefni

Meðalbreytingarhraði út frá töflu

Skoðum vísisfall sem við könnuðum áður. Látum $A (t)$ vera fallið sem lýsir flatarmálinu $A$ , mælt í square yard (yd²), sem þörungar þekja í tjörn $t$ vikum eftir að meðferð hófst til að hafa stjórn á þörungablóma. Taflan sýnir um það bil hversu margir square yard af þörungum eru eftir fyrstu 5 vikur meðferðarinnar.

$t$	$A (t)$
0	240
1	80
2	27
3	9
4	3

Meðalbreytingarhraði $A$ frá upphafi meðferðar til viku 2 er um það bil −107 yd² á viku, þar sem $\frac{A (2) - A (0)}{2 - 0} \approx - 107$ .

Meðalbreytingarhraði $A$ frá viku 2 til viku 4 er hins vegar aðeins um −12 yd² á viku, þar sem $\frac{A (4) - A (2)}{4 - 2} \approx - 12$ .

Reyndu þetta: Meðalbreytingarhraði út frá töflu

Notaðu sömu töflu og hér að ofan. Hver er meðalbreytingarhraði $A$ frá viku 1 til viku 3?

$t$	$A (t)$
0	240
1	80
2	27
3	9
4	3

Lausn

Hér er hvernig nota má töfluna til að finna meðalbreytingarhraðann.

Skref	Útreikningur
Punktarnir í töflunni þegar $t = 1$ og $t = 3$ eru (1, 80) og (3, 9).
Reikna meðalbreytingarhraðann.	$\frac{A (3) - A (1)}{3 - 1} = \frac{9 - 80}{2}$ $\frac{- 71}{2} = - 35,5$

Meðalbreytingarhraðinn er −35,5 yd² á viku.

5.10.2 Kanna meðalbreytingarhraða í veldisvexti

5.10.2 - Kanna meðalbreytingarhraða í veldisvexti

Verkefni

Taflan og grafið sýna fjölda kaffihúsa sem fyrirtæki hafði um allan heim fyrstu 10 árin, frá 1987 til 1997. Fjöldi kaffihúsa jókst nokkurn veginn samkvæmt veldisvexti.

Ár	Fjöldi kaffihúsa
1987	17
1988	33
1989	55
1990	84
1991	116
1992	165
1993	272
1994	425
1995	677
1996	1.015
1997	1.412

1. Finndu meðalbreytingarhraðann á hverju tímabili. Sýndu röksemdafærsluna.

a. 1987 til 1990

Lausn

22 1/3 kaffihús á ári, þar sem $\frac{84 - 17}{3 - 0} = 22 \frac{1}{3}$ .

b. 1987 til 1993

Lausn

42,5 kaffihús á ári, þar sem $\frac{272 - 17}{6 - 0} = 42,5$ .

c. 1987 til 1997

Lausn

139,5 kaffihús á ári, þar sem $\frac{1.412 - 17}{10 - 0} = 139,5$ .

2. Gerðu nokkrar athuganir á breytingarhröðunum sem þú reiknaðir. Hvað segja þessir meðalbreytingarhraðar um vöxt fyrirtækisins á þessu tímabili?

Lausn

3. Notaðu grafið til að styðja svör þín. Hversu vel lýsa meðalbreytingarhraðarnir vexti fyrirtækisins á þessum tímabilum?

a. Fyrstu 3 árin?

Lausn

Meðalbreytingarhraðinn 22 1/3 er nokkuð nákvæm lýsing á vextinum fyrstu 3 árin, en lýsir vextinum illa langt fram yfir 1992.

b. Fyrstu 6 árin?

Lausn

Meðalbreytingarhraðinn 42,5 lýsir vextinum sæmilega fyrstu 6 árin, en ofmetur vöxtinn snemma á tímabilinu og vanmetur vöxtinn mikið eftir 1994.

c. Öll 10 árin?

Lausn

Meðalbreytingarhraðinn 139,5 lýsir ekki raunverulegum vexti fyrirtækisins frá 1987 til 1997 af mikilli nákvæmni.

Lausn

Meðalvöxturinn frá 1997 til 2007 er 1.359,9 kaffihús á ári, þar sem $\frac{15.011 - 1.412}{20 - 10} = 1.359,9$ .

Myndband: Greina meðalbreytingarhraða vísisfalls

Horfðu á myndbandið til að læra meira um meðalbreytingarhraða vísisfalla.

Viðbótarefni

Meðalbreytingarhraði út frá töflu

$t$	$A (t)$
0	240
1	80
2	27
3	9
4	3

Meðalbreytingarhraði $A$ frá upphafi meðferðar til viku 2 er um það bil −107 yd² á viku, þar sem $\frac{A (2) - A (0)}{2 - 0} \approx - 107$ .

Meðalbreytingarhraði $A$ frá viku 2 til viku 4 er hins vegar aðeins um −12 yd² á viku, þar sem $\frac{A (4) - A (2)}{4 - 2} \approx - 12$ .

Reyndu þetta: Meðalbreytingarhraði út frá töflu

Notaðu sömu töflu og hér að ofan. Hver er meðalbreytingarhraði $A$ frá viku 1 til viku 3?

$t$	$A (t)$
0	240
1	80
2	27
3	9
4	3

Lausn

Hér er hvernig nota má töfluna til að finna meðalbreytingarhraðann.

Skref	Útreikningur
Punktarnir í töflunni þegar $t = 1$ og $t = 3$ eru (1, 80) og (3, 9).
Reikna meðalbreytingarhraðann.	$\frac{A (3) - A (1)}{3 - 1} = \frac{9 - 80}{2}$ $\frac{- 71}{2} = - 35,5$

Meðalbreytingarhraðinn er −35,5 yd² á viku.