44.8 Notkun grafa til að finna meðalbreytingarhraða

4.8.2 Meðalbreytingarhraði og hallatala

4.8.2 • Meðalbreytingarhraði og hallatala

Verkefni

Taflan og grafið sýna nánari mynd af hitabreytingum á sama vetrardegi. Fallið $T$ gefur hitastigið, í gráðum Fahrenheit, $h$ klukkustundum eftir hádegi.

Dreifirit sem sýnir hitastig í Fahrenheit eftir fjölda klukkustunda frá hádegi. Punktarnir byrja við 18°F á hádegi, hækka mest í 25°F fjórum klukkustundum síðar og lækka síðan niður í 7°F tólf klukkustundum eftir hádegi.

h	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
T(h)	18	19	20	20	25	23	17	15	11	11	8	6	7

Í spurningum 1-3 skaltu finna meðalbreytingarhraðann á eftirfarandi bilum. Hafðu rökstuðninginn þinn tilbúinn.

Milli hádegis og kl. 13:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hitastigið hækkaði um $1$ °F á $1$ klukkustund, svo meðalbreytingarhraðinn er $1$ °F á klukkustund.

Milli hádegis og kl. 16:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hitastigið hækkaði um 7°F á 4 klukkustundum. Meðalhækkunin er:

$\frac{7}{4} = 1,75$

Því er meðalbreytingarhraðinn 1,75°F á klukkustund.

Milli hádegis og miðnættis.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Ég fann hallatölu línunnar sem tengir punktana tvo. Hún er:

$- \frac{11}{12}$

Það er um −0,92°F á klukkustund.

Í spurningum 4-6 skaltu nota formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línunnar sem tengir punktana.

4. $(0;18)$ og $(1;19)$

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{(19 - 18)}{(1 - 0)} = 1$

5. $(0;18)$ og $(4;25)$

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{(25 - 18)}{(4 - 0)} = \frac{7}{4}$

6. $(0;18)$ og $(12;7)$

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{(7 - 18)}{(12 - 0)} = - \frac{11}{12}$

Berðu svörin við spurningum 1-3 saman við svörin við spurningum 4-6. Útskýrðu hvað þetta segir um meðalbreytingarhraða og hallatölu línu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Meðalbreytingarhraði milli tveggja punkta er sá sami og hallatala línunnar sem tengir punktana tvo.

Í spurningum 8 og 9 skaltu rifja upp ágreining Mai og Tyler um hitastigið.

Notaðu meðalbreytingarhraða til að sýna hvort hitastigið lækkaði hraðar frá kl. 16:00 til 18:00 eða frá kl. 18:00 til 22:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hitastigið lækkaði hraðar milli kl. 16:00 og 18:00. Á fyrra bilinu lækkaði hitastigið um 8°F á 2 klukkustundum, sem er meðallækkun upp á 4°F á klukkustund. Á seinna bilinu lækkaði það um 9°F á 4 klukkustundum, sem er meðallækkun upp á 2,25°F á klukkustund.

Notaðu formúluna fyrir hallatölu til að sýna hvor línan hefur stærri hallatölu: línan sem tengir punktana fyrir kl. 16:00 og 18:00 eða línan sem tengir punktana fyrir kl. 18:00 og 22:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Línan sem táknar hitastigið milli kl. 16:00 og 18:00 hefur stærri hallatölu.

$\frac{(17 - 25)}{(6 - 4)} = - 4$

$\frac{(8 - 17)}{(10 - 6)} = - \frac{9}{4} = - 2,25$

10.

Berðu saman svörin við spurningu 8 og spurningu 9.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Að finna meðalbreytingarhraða og að nota formúluna fyrir hallatölu gefur sömu niðurstöðu. Meðalbreytingarhraðinn og hallatala línunnar milli klukkustunda 4 og 6 eru stærri en meðalbreytingarhraðinn og hallatala línunnar milli klukkustunda 6 og 10.

Ertu til í meira?

Dýpkun

Skoðaðu grafið og töfluna fyrir fallið $T$ hér að ofan og svaraðu spurningunum.

1. Á hvaða bili lækkaði hitastigið hraðast?

Berðu saman svarið þitt:

Milli kl. 17:00 og 18:00.

2. Á hvaða bili hækkaði hitastigið hraðast?

Berðu saman svarið þitt:

Milli kl. 15:00 og 16:00.

Ítarefni

Að finna breytingarhraða

Jay var í hjólreiðakeppni við vin sinn á leið í almenningsgarðinn. Tafla og graf af tímunum eru sýnd hér að neðan.

Tími (mínútur)	Vegalengd (mílur)
0	0
5	0,84
10	1,86
15	3,00
20	4,27
25	5,67

Dreifirit sem sýnir tengsl tíma í mínútum og vegalengdar í mílum. Punktarnir eru meðal annars (0; 0), (5; 0,84), (10; 1,86), (15; 3), (20; 4,27) og (25; 5,67).

Hver er meðalbreytingarhraði fyrstu 10 mínútna keppninnar?

Til að finna meðalbreytingarhraða fyrstu 10 mínútna keppninnar skoðar þú fyrsta gagnagildið í töflunni og þriðja gagnagildið, því það samsvarar 10 mínútum.

Mundu að formúlan fyrir meðalbreytingarhraða er (f(b)−f(a))/(b−a), þar sem $(b; f (b))$ táknar venjulega seinni gagnapunktinn og $(a; f (a))$ táknar fyrri gagnapunktinn.

Í þessu dæmi eru punktarnir $(0; 0)$ , þar sem $a = 0$ og $f (a) = 0$ , og $(10; 1,86)$ , þar sem $b = 10$ og $f (b) = 1,86$ .

Þegar punktarnir eru settir inn í formúluna fæst:

$\frac{(f (b) - f (a))}{(b - a)} = \frac{1,86}{10} = 0,186$

Svarið er jákvætt og punktarnir á grafinu hækka eftir því sem tíminn líður.

Reyndu þetta

Að finna breytingarhraða

Jay var í hjólreiðakeppni við vin sinn á leið í almenningsgarðinn. Tafla og graf af tímunum eru sýnd hér að neðan.

Lausn

Tími (mínútur)	Vegalengd (mílur)
0	0
5	0,84
10	1,86
15	3,00
20	4,27
25	5,67

Hver var meðalbreytingarhraði Jays frá upphafi og þar til 25 mínútum síðar?

Berðu saman svarið þitt:

Svona finnur þú meðalbreytingarhraða fyrstu 25 mínútna keppninnar:

Mundu að formúlan fyrir meðalbreytingarhraða er (f(b)−f(a))/(b−a), þar sem $(b; f (b))$ táknar venjulega seinni gagnapunktinn og $(a; f (a))$ táknar fyrri gagnapunktinn.

Í þessu dæmi eru punktarnir $(0; 0)$ , þar sem $a = 0$ og $f (a) = 0$ , og $(25; 5,67)$ , þar sem $b = 25$ og $f (b) = 5,67$ .

Þegar punktarnir eru settir inn í formúluna fæst:

$\frac{(f (b) - f (a))}{(b - a)} = \frac{5,67}{25} = 0,227$

Meðalbreytingarhraðinn er því 0,227 mílur á mínútu.

44.8 Notkun grafa til að finna meðalbreytingarhraða

4.8.2 Meðalbreytingarhraði og hallatala

4.8.2 • Meðalbreytingarhraði og hallatala

Verkefni

Taflan og grafið sýna nánari mynd af hitabreytingum á sama vetrardegi. Fallið $T$ gefur hitastigið, í gráðum Fahrenheit, $h$ klukkustundum eftir hádegi.

h	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
T(h)	18	19	20	20	25	23	17	15	11	11	8	6	7

Í spurningum 1-3 skaltu finna meðalbreytingarhraðann á eftirfarandi bilum. Hafðu rökstuðninginn þinn tilbúinn.

Milli hádegis og kl. 13:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hitastigið hækkaði um $1$ °F á $1$ klukkustund, svo meðalbreytingarhraðinn er $1$ °F á klukkustund.

Milli hádegis og kl. 16:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Hitastigið hækkaði um 7°F á 4 klukkustundum. Meðalhækkunin er:

$\frac{7}{4} = 1,75$

Því er meðalbreytingarhraðinn 1,75°F á klukkustund.

Milli hádegis og miðnættis.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Ég fann hallatölu línunnar sem tengir punktana tvo. Hún er:

$- \frac{11}{12}$

Það er um −0,92°F á klukkustund.

Í spurningum 4-6 skaltu nota formúluna fyrir hallatölu til að finna hallatölu línunnar sem tengir punktana.

4. $(0;18)$ og $(1;19)$

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{(19 - 18)}{(1 - 0)} = 1$

5. $(0;18)$ og $(4;25)$

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{(25 - 18)}{(4 - 0)} = \frac{7}{4}$

6. $(0;18)$ og $(12;7)$

Berðu saman svarið þitt:

$\frac{(7 - 18)}{(12 - 0)} = - \frac{11}{12}$

Berðu svörin við spurningum 1-3 saman við svörin við spurningum 4-6. Útskýrðu hvað þetta segir um meðalbreytingarhraða og hallatölu línu.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Meðalbreytingarhraði milli tveggja punkta er sá sami og hallatala línunnar sem tengir punktana tvo.

Í spurningum 8 og 9 skaltu rifja upp ágreining Mai og Tyler um hitastigið.

Notaðu meðalbreytingarhraða til að sýna hvort hitastigið lækkaði hraðar frá kl. 16:00 til 18:00 eða frá kl. 18:00 til 22:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Notaðu formúluna fyrir hallatölu til að sýna hvor línan hefur stærri hallatölu: línan sem tengir punktana fyrir kl. 16:00 og 18:00 eða línan sem tengir punktana fyrir kl. 18:00 og 22:00.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Línan sem táknar hitastigið milli kl. 16:00 og 18:00 hefur stærri hallatölu.

$\frac{(17 - 25)}{(6 - 4)} = - 4$

$\frac{(8 - 17)}{(10 - 6)} = - \frac{9}{4} = - 2,25$

10.

Berðu saman svörin við spurningu 8 og spurningu 9.

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Ertu til í meira?

Dýpkun

Skoðaðu grafið og töfluna fyrir fallið $T$ hér að ofan og svaraðu spurningunum.

1. Á hvaða bili lækkaði hitastigið hraðast?

Berðu saman svarið þitt:

Milli kl. 17:00 og 18:00.

2. Á hvaða bili hækkaði hitastigið hraðast?

Berðu saman svarið þitt:

Milli kl. 15:00 og 16:00.

Ítarefni

Að finna breytingarhraða

Jay var í hjólreiðakeppni við vin sinn á leið í almenningsgarðinn. Tafla og graf af tímunum eru sýnd hér að neðan.

Tími (mínútur)	Vegalengd (mílur)
0	0
5	0,84
10	1,86
15	3,00
20	4,27
25	5,67

Hver er meðalbreytingarhraði fyrstu 10 mínútna keppninnar?

Til að finna meðalbreytingarhraða fyrstu 10 mínútna keppninnar skoðar þú fyrsta gagnagildið í töflunni og þriðja gagnagildið, því það samsvarar 10 mínútum.

Mundu að formúlan fyrir meðalbreytingarhraða er (f(b)−f(a))/(b−a), þar sem $(b; f (b))$ táknar venjulega seinni gagnapunktinn og $(a; f (a))$ táknar fyrri gagnapunktinn.

Í þessu dæmi eru punktarnir $(0; 0)$ , þar sem $a = 0$ og $f (a) = 0$ , og $(10; 1,86)$ , þar sem $b = 10$ og $f (b) = 1,86$ .

Þegar punktarnir eru settir inn í formúluna fæst:

$\frac{(f (b) - f (a))}{(b - a)} = \frac{1,86}{10} = 0,186$

Svarið er jákvætt og punktarnir á grafinu hækka eftir því sem tíminn líður.

Reyndu þetta

Að finna breytingarhraða

Jay var í hjólreiðakeppni við vin sinn á leið í almenningsgarðinn. Tafla og graf af tímunum eru sýnd hér að neðan.

Lausn

Tími (mínútur)	Vegalengd (mílur)
0	0
5	0,84
10	1,86
15	3,00
20	4,27
25	5,67

Hver var meðalbreytingarhraði Jays frá upphafi og þar til 25 mínútum síðar?

Berðu saman svarið þitt:

Svona finnur þú meðalbreytingarhraða fyrstu 25 mínútna keppninnar:

Mundu að formúlan fyrir meðalbreytingarhraða er (f(b)−f(a))/(b−a), þar sem $(b; f (b))$ táknar venjulega seinni gagnapunktinn og $(a; f (a))$ táknar fyrri gagnapunktinn.

Í þessu dæmi eru punktarnir $(0; 0)$ , þar sem $a = 0$ og $f (a) = 0$ , og $(25; 5,67)$ , þar sem $b = 25$ og $f (b) = 5,67$ .

Þegar punktarnir eru settir inn í formúluna fæst:

$\frac{(f (b) - f (a))}{(b - a)} = \frac{5,67}{25} = 0,227$

Meðalbreytingarhraðinn er því 0,227 mílur á mínútu.

Tími í mínútum	0	15	25	40
Hitastig	185°F	155°F	140°F	120°F

Tími í mínútum	0	15	25	40
Hitastig	185°F	155°F	140°F	120°F