4.17.2 Hvað er rakningarregla?

Verkefni

Rakningarregla er regla fyrir fall sem notar endurtekið ferli til að finna liði í runu.

Byrjaðu á rakningarreglunni: $R\left(n\right)=3R(n-1)+1$, $n\ge 2$, og upphafsgildinu $R\left(1\right)=-1$.

• Fyrsti hluti rakningarreglunnar gefur leiðbeiningar um hvernig á að mynda rununa. Hann gefur regluna fyrir að finna næsta lið út frá fyrri lið.
• Seinni hlutinn gefur formengi regluinnar.
• Upphafsgildið gefur fyrsta liðinn í rununni.

Taflan sýnir hvernig hægt er að setja gildi inn í rakningarregluna til að finna fleiri liði í rununni. Settu númer liðarins $n$ inn fyrir $n$ í rakningarreglunni og fylltu töfluna út með félaga.

Númer liðar (n)	Settu inn í R(n)	Gildi
1	gefið upphafsgildi	−1
2	$3R(2-1)+1=3R\left(1\right)+1=3(-1)+1=-2$	−2
3	$3R(3-1)+1=3R\left(2\right)+1=3(-2)+1=-5$	−5
4	$3R(4-1)+1=3R\left(3\right)+1=3(-5)+1=-14$	−14
5	$3R(5-1)+1=3R\left(4\right)+1=3(-14)+1=-41$	−41
6	$3R(6-1)+1=3R\left(5\right)+1=3(-41)+1=-122$	−122

1. Notaðu rakningarregluna.

a. Settu $n=5$ inn í $R\left(n\right)$.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: $3R(5-1)+1$

b. Settu $n=6$ inn í $R\left(n\right)$.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: $3R(6-1)+1$

2. Finndu gildi hvers liðar.

a. Gildi þegar $n=4$.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: −14

b. Gildi þegar $n=5$.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: −41

c. Gildi þegar $n=6$.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: −122

3. Skrifaðu alla rununa út að 6 liðum.

Lausn

Berðu svarið þitt saman: −1, −2, −5, −14, −41, −122

4. Ákvarðaðu hvort eftirfarandi runur séu jafnmunarunur eða kvótarunur.

a. 3, 6, 12, 24

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Kvótaruna

b. 18, 36, 72, 144

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Kvótaruna

c. 3, 8, 13, 18

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Jafnmunaruna

d. 18, 13, 8, 3

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Jafnmunaruna

e. 18, 9, 4,5, 2,25

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Kvótaruna

f. 18, 20, 22, 24

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Jafnmunaruna

g. 3, 15, 75, 375

Lausn

Berðu svarið þitt saman: Kvótaruna

Tenging við kennslustofu

Desmos-verkefni

Skráðu þig inn á student.desmos.com með upplýsingunum sem kennarinn gaf þér til að ljúka verkefninu.

5. Skoðaðu eftirfarandi rakningarreglur.

F: $F\left(1\right)=18$ $F\left(n\right)=F(n-1)+2$ $n\ge 2$

G: $G\left(1\right)=18$ $G\left(n\right)=\frac{1}{2}\cdot G(n-1)$ $n\ge 2$

H: $H\left(1\right)=3$ $H\left(n\right)=5\cdot H(n-1)$ $n\ge 2$

J: $J\left(1\right)=3$ $J\left(n\right)=J(n-1)+5$ $n\ge 2$

K: $K\left(1\right)=18$ $K\left(n\right)=K(n-1)-5$ $n\ge 2$

L: $L\left(1\right)=18$ $L\left(n\right)=2\cdot L(n-1)$ $n\ge 2$

M: $M\left(1\right)=3$ $M\left(n\right)=2\cdot M(n-1)$ $n\ge 2$

Paraðu hverja skilgreiningu við eina af rununum úr fyrri spurningu. Búðu þig undir að útskýra fyrir félaga hvernig þú veist að parið passar. Hlustaðu vandlega á útskýringar félagans; fyrir hvert par sem félagi þinn finnur skaltu hlusta eftir og skrá eitt atriði sem hann eða hún tók eftir.

a. 3, 6, 12, 24

Lausn

$M\left(1\right)=3$, $M\left(n\right)=2\cdot M(n-1)$, $n\ge 2$

b. 18, 36, 72, 144

Lausn

$L\left(1\right)=18$, $L\left(n\right)=2\cdot L(n-1)$, $n\ge 2$

c. 3, 8, 13, 18

Lausn

$J\left(1\right)=3$, $J\left(n\right)=J(n-1)+5$, $n\ge 2$

d. 18, 13, 8, 3

Lausn

$K\left(1\right)=18$, $K\left(n\right)=K(n-1)-5$, $n\ge 2$

e. 18, 9, 4,5, 2,25

Lausn

$G\left(1\right)=18$, $G\left(n\right)=\frac{1}{2}\cdot G(n-1)$, $n\ge 2$

f. 18, 20, 22, 24

Lausn

$F\left(1\right)=18$, $F\left(n\right)=F(n-1)+2$, $n\ge 2$

g. 3, 15, 75, 375

Lausn

$H\left(1\right)=3$, $H\left(n\right)=5\cdot H(n-1)$, $n\ge 2$

Myndband: Rakningarreglur og runur

Horfðu á myndbandið til að læra meira um að para runur við rakningarreglur þeirra.

Sjálfspróf

Hvaða runa passar við rakningarregluna fyrir $G\left(n\right)$, þar sem $G\left(n\right)=G(n-1)+4$ fyrir $n\ge 2$ og $G\left(1\right)=3$?

1. 3, 12, 48, 144
2. 3, 7, 11, 15
3. 1, 3, 7, 11, 15
4. 4, 8, 12, 16, 20

Viðbótarefni

Að skrifa rakningarreglur

Stundum getum við skilgreint runu með rakningarreglu. Þá lýsum við því hvernig næsti liður í rununni er reiknaður þegar fyrri liðurinn er þekktur.

Hér er runa: 6, 10, 14, 18, 22, ... Þetta er jafnmunaruna þar sem hver liður er 4 stærri en fyrri liðurinn. Þar sem runur eru föll skulum við kalla þessa runu $f$. Þá getum við skrifað $f\left(n\right)=f(n-1)+4$. Hér er $f\left(n\right)$ liðurinn, $f(n-1)$ fyrri liðurinn og +4 fasti mismunurinn, þar sem $f$ er jafnmunaruna.

Þegar fall er skilgreint með rakningarreglu verðum við líka að segja hver fyrsti liðurinn er. Án þess væri ekki hægt að vita hvort runan sem er skilgreind með $f\left(n\right)=f(n-1)+4$ byrjar á 6, 81 eða einhverri annarri tölu. Hér er eitt mögulegt upphafsskilyrði $f\left(1\right)=6$. Það getur líka verið skynsamlegt að telja liðina frá 0 og nota $f\left(0\right)=6$.

Með því að sameina þessar upplýsingar fæst rakningarreglan: $f\left(1\right)=6$ og $f\left(n\right)=f(n-1)+4$ fyrir $n\ge 2$, þar sem $n$ er heiltala. Við tökum $n\ge 2$ með vegna þess að gildi $f$ við 1 er þegar gefið og hinir liðirnir fást með því að setja inn heiltölur stærri en 1.

Skoðum nokkur dæmi úr fyrsta verkefninu og skrifum rakningarreglu fyrir hverja tegund runu.

Dæmi 1

Runa A: 30, 40, 50, 60, 70, ...

Skref 1: Ákvarðaðu tegund rununnar. Þessi runa er jafnmunaruna.

Skref 2: Ákvarðaðu fastan mismun eða kvóta. Liðirnir hækka um 10, þannig að fasti mismunurinn er 10.

Skref 3: Ákvarðaðu formúluna eða regluna. Þar sem gildi hvers liðar fæst með því að bæta 10 við liðinn á undan má hugsa regluna sem $n=(n-1)+10$. Skrifaðu nú regluna með falltáknun: $A\left(n\right)=A(n-1)+10$.

Skref 4: Upphafsskilyrði: $A\left(1\right)=30$

Við notum fyrsta liðinn til að finna annan liðinn, þannig að við byrjum við $n=2$. Formengið er því $n\ge 2$.

Rakningarreglan fyrir 30, 40, 50, 60, 70, ... er $A\left(1\right)=30$, $A\left(n\right)=A(n-1)+10$, $n\ge 2$.

Dæmi 2

Runa B: 80, 40, 20, 10, 5, 2,5, ...

Skref 1: Ákvarðaðu tegund rununnar. Þessi runa er kvótaruna.

Skref 2: Ákvarðaðu fastan mismun eða kvóta. Hver liður fæst með því að deila fyrri lið með 2, þannig að kvótinn er $\frac{1}{2}$.

Skref 3: Ákvarðaðu formúluna eða regluna. Þar sem gildi hvers liðar fæst með því að margfalda fyrri lið með $\frac{1}{2}$ má hugsa regluna sem $n=(n-1)\times \frac{1}{2}$. Skrifaðu nú regluna með falltáknun: $B\left(n\right)=B(n-1)\times \frac{1}{2}$.

Skref 4: Upphafsskilyrði: $B\left(1\right)=80$

Við notum fyrsta liðinn til að finna annan liðinn, þannig að við byrjum við $n=2$. Formengið er því $n\ge 2$.

Rakningarreglan fyrir 80, 40, 20, 10, 5, 2,5, ... er $B\left(1\right)=80$, $B\left(n\right)=B(n-1)\times \frac{1}{2}$, $n\ge 2$.

Dæmi 3

Runa F: 1, 3, 7, 15, 31, ...

Skref 1: Ákvarðaðu tegund rununnar. Þessi runa er hvorki jafnmunaruna né kvótaruna.

Prófaðu

Að skrifa rakningarreglur

Skrifaðu $E\left(1\right)$ og rakningarreglu fyrir $E\left(n\right)$.

E: 20, 13, 6, −1, −8, ...

Lausn

Svona má skrifa rakningarregluna: $E\left(1\right)=20$. Hver liður á eftir fæst með því að draga 7 frá fyrri lið, þannig að $E\left(n\right)=E(n-1)-7$, $n\ge 2$.

Rakningarregla: $E\left(1\right)=20$ $E\left(n\right)=E(n-1)-7$ $n\ge 2$