44.11 Teikning falls með umbreytingum

4.11.5 Láréttar teygjur og samþjöppun

4.11.5 • Láréttar teygjur og samþjöppun

Verkefni

Láréttar teygjur og samþjöppun

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar sem PDF-skjal til að fá ábendingar um lausn verkefna með Desmos-grafreiknivélinni.

Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll á sama hnitakerfi. Þú þarft ekki að merkja línurnar í grafteikniverkfærinu.

Lausn

Lína	Fall
Lína i	$f(x)=x$
Lína j	$f(2x)$
Lína k	$f(1/2x)$

Berðu vinnuna þína saman:

A graph compares three functions: f of x equals x is the red dashed line, f of 2 times x is the blue solid line, and f of one-half times x is the green dotted line, each plotted on a coordinate plane with labeled axes. Each line goes through the orgin and has a positive slope.

2. Hver er munurinn á því sem þú slærð inn fyrir föll línanna j og k miðað við fall línu i?

Berðu svarið þitt saman:

Lína i er línulega grunnfallið. Línurnar j og k sýna sama fallregluverk, en inntakið hefur verið breytt áður en fallið er reiknað.

Teiknaðu nú línurnar m og n á sama graf og línurnar i-k.

Lausn

Lína	Fall
Lína m	$m(x)=2x$
Lína n	$n(x)=1/2x$

Berðu vinnuna þína saman:

A graph shows lines for functions: f of x equals x is the orange dashed line, f of 2 times x is the blue solid line, f of one-half times x is the green solid line, m of x equals 2 times x is the red dotted line, and n of x equals one-half times x is the black dashed line. All lines go through the origin with a positive slope.

Hvernig er lína j í samanburði við línu m?

Lausn

Lína j táknar:

f(2x)

Lína m táknar:

m(x)=2x

Berðu svarið þitt saman:

Sömu punktar eru á báðum föllum. Línurnar virðast vera nákvæmlega eins.

Hvernig er lína k í samanburði við línu n?

Lausn

Lína k táknar:

f(1/2x)

Lína n táknar:

n(x)=1/2x

Berðu svarið þitt saman:

Sömu punktar eru á báðum föllum. Línurnar virðast vera nákvæmlega eins.

Lárétt skölun, hvort sem hún teygir eða þjappar línulegu falli, getur verið erfið að greina á grafi vegna þess að hún getur litið út eins og lóðrétt skölun. Munurinn er sá að lárétt umbreyting breytir inntakinu áður en fallreglan er notuð.

Teiknaðu línurnar hér fyrir neðan á sama hnitakerfi.

Lausn

Lína	Fall
Lína i	$f(x)=x$
Lína j	$f(2x)$
Lína p	$f(3x)$
Lína q	$f(4x)$

Berðu vinnuna þína saman:

Line graph comparing four functions: f of x equals x is the dashed orange line, f of 2 times x is the solid blue line, f of 3 times x is the dotted green line, and f of 4 times x is the solid red line, each with increasing steepness. All lines go through the origin with a positive slope.

7. Hvað gerist við grafið þegar stuðullinn við inntakið stækkar?

Berðu svarið þitt saman:

Línan færist nær og nær y-ásnum vegna þess að fallið þjappast lárétt saman.

Teiknaðu línurnar hér fyrir neðan á sama hnitakerfi.

Lausn

Lína	Fall
Lína i	$f(x)=x$
Lína k	$f(1/2x)$
Lína r	$f(1/4x)$
Lína s	$f(1/10x)$

Berðu vinnuna þína saman:

A graph shows four lines representing functions: f of x equals x is the dashed orange line, f of one-half times x is the solid blue line, f of one-fourth times x is the green dotted line, and f of one-tenth times x is the solid red line. All lines go through the origin with a positive slope.

9. Hvað gerist við grafið þegar stuðullinn við inntakið nálgast 0?

Berðu svarið þitt saman:

Línan færist fjær y-ásnum vegna þess að fallið teygist lárétt.

10. Teiknaðu línurnar hér fyrir neðan á sama hnitakerfi.

Lína	Fall
Lína t	$f(1/2x)$
Lína u	$f(−1/2x)$

Berðu vinnuna þína saman:

A graph shows two lines: a solid blue line for f of one-half times x, increasing from bottom left to top right, and a dotted green line for f of one-half times x, decreasing from top left to bottom right.

Útskýring

Í fallinu hér að neðan virkar b sem lárétt teygja eða lárétt samþjöppun grunnfallsins. Hún breytir láréttum kvarða grafsins.

f(bx)

Lárétt teygja eða samþjöppun breytir grunnfallinu í annað fall með því að skala grafið lárétt.

Lárétt teygja/samþjöppun:

f(bx)

Ef b er neikvætt speglast grafið um y-ás. Ef b er stærra en 1 þjappast grafið lárétt saman. Ef b er á milli 0 og 1 teygist grafið lárétt.

b>1

0<b<1

Graph with eight colorful lines showing transformations of f of x equals a times x. Each line, labeled in matching colors, represents different functions: f of one-tenth times x, f of one-fourth times x, f of one-half times x, f of 2 times x, f of 3 times x, f of negative x, f of negative one-half times x.

Viðbótarefni

Láréttar umbreytingar línulegra falla

Láréttar umbreytingar verða þegar inntaksgildum er breytt áður en fallreglan er notuð. Lóðréttar umbreytingar verða þegar úttaksgildum er breytt eftir að fallreglan hefur verið notuð.

Dæmi 1

Lýstu hvernig grunnfallinu er breytt í eftirfarandi fall.

f(x)

f(x−3)

Lausn

Byrjaðu á að teikna grunnfallið.

f(x)

Skoðum inntaksgildið:

x=2

Í grunnfallinu fæst:

f(2)=2

Til að fá sama úttak í umbreytta fallinu þarf að nota inntakið:

x=5

Þá gildir:

f(x−3)=f(5−3)=f(2)

Á grafinu er x=5 þremur einingum hægra megin við x=2. Þess vegna er grafið hliðrað 3 einingar til hægri.

A thick, red dashed line with a positive slope passes through the origin on an x-y grid, extending from the lower left to the upper right. Both axes are labeled and ticked from negative 4 to 5 for x and negative 4 to 7 for y.

A graph shows two lines: a red dashed line with open circles at (2,2), and a blue solid line passing through the points (2, negative 1) and (5,2) with an open circle.

Láréttar hliðranir eru táknaðar með reglunni hér að neðan, þar sem c segir til um hversu margar einingar grafið hliðrast til hægri eða vinstri.

f(x−c)

Dæmi 2

Teiknaðu umbreytta fallið þegar upphaflega fallið er gefið. Finndu síðan jöfnu umbreytta fallsins.

f(x+2)

f(x)=1/2x−3

Lausn

Skref 1: Teiknaðu gefna fallið.

f(x)=1/2x−3

Skurðpunkturinn við y-ás er:

(0;−3)

Hallatalan er:

1/2

Fyrir láréttar hliðranir er gagnlegt að finna skurðpunkt við x-ás. Á grafinu er núllstöðin:

(6;0)

Skref 2: Beittu tilgreindu umbreytingunni. Reglan fyrir lárétta hliðrun er:

f(x−c)

Ef fallið er endurritað á jafngilt form sést gildi c betur.

f(x+2)=f(x−(−2))

c=−2

Því táknar f(x+2) lárétta hliðrun um 2 einingar til vinstri. Skurðpunkturinn við x-ás færist úr (6;0) í (4;0).

(6;0)→(4;0)

A graph with a dashed red line with a positive slope. There is a white open circle on the line at the point (6, 0).

Appelsínugula brotalínan sýnir upprunalega fallið og heila bláa línan sýnir umbreytta fallið.

Skref 3: Finndu jöfnu umbreytta fallsins.

Skurðpunktur umbreyttu línunnar við y-ás er:

(0;−2)

Hallatala línunnar er:

2/4=1/2

Jafnan verður því:

f(x+2)=1/2x−2

Við getum líka athugað þetta algebrulega með því að setja x+2 inn í f(x).

f(x)=1/2x−3

f(x+2)=1/2(x+2)−3=1/2x+1−3=1/2x−2

Dæmi 3

Teiknaðu umbreytta fallið þegar upphaflega fallið er gefið. Finndu síðan jöfnu umbreytta fallsins.

f(4x)

f(x)=1/2x−3

Lausn

Skref 1: Teiknaðu gefna fallið.

f(x)=1/2x−3

Skurðpunkturinn við y-ás er:

(0;−3)

Hallatalan er:

1/2

Núllstöðin er:

(6;0)

Skref 2: Beittu tilgreindu umbreytingunni. Reglan fyrir lárétta skölun er:

f(bx)

Þegar b er stærra en 1 verður lárétt samþjöppun.

b>1

Vegna láréttu samþjöppunarinnar lítur línulega fallið brattara út; það þjappast saman með kvarðaþættinum 4.

Á grafinu þýðir þetta að skurðpunkturinn við x-ás þjappast úr (6;0) í (1,5;0).

(6;0)→(1,5;0)

A graph with a solid blue line and a dashed red line are parallel on a grid. The blue line passes through points (4, 0), and (6,0), which are marked with open circles. Axes range from -2 to 8 on x and -5 to 6 on y.

Appelsínugula brotalínan sýnir upprunalega fallið og heila bláa línan sýnir umbreytta fallið.

Skref 3: Finndu jöfnu umbreytta fallsins.

Skurðpunktur umbreyttu línunnar við y-ás er:

(0;−3)

Hallatala línunnar er:

3/1,5=2

Jafnan verður því:

f(4x)=2x−3

Við getum líka athugað þetta algebrulega með því að setja 4x inn í f(x).

f(x)=1/2x−3

f(4x)=1/2(4x)−3=2x−3

A graph showing a blue line with positive slope crossing the y-axis at -3, and a red dashed line with positive slope crossing the y-axis at negative 3. The lines intersect at point (0, negative 3) with an open white circle. There are also open white circles at (1.5, 0) and (6, 0).

Lína

Fall

Lína i

f(x)=x

Lína j

f(2x)

Lína k

f(1/2x)

Lína

Fall

Lína m

m(x)=2x

Lína n

n(x)=1/2x

Lína

Fall

Lína i

f(x)=x

Lína j

f(2x)

Lína p

f(3x)

Lína q

f(4x)

Lína

Fall

Lína i

f(x)=x

Lína k

f(1/2x)

Lína r

f(1/4x)

Lína s

f(1/10x)

Lína

Fall

Lína t

f(1/2x)

Lína u

f(−1/2x)

Dæmi 1

Lýstu hvernig grunnfallinu er breytt í eftirfarandi fall.

f(x)

f(x−3)

Lausn

Byrjaðu á að teikna grunnfallið.

f(x)

Skoðum inntaksgildið:

x=2

Í grunnfallinu fæst:

f(2)=2

Til að fá sama úttak í umbreytta fallinu þarf að nota inntakið:

x=5

Þá gildir:

f(x−3)=f(5−3)=f(2)

Á grafinu er x=5 þremur einingum hægra megin við x=2. Þess vegna er grafið hliðrað 3 einingar til hægri.

Láréttar hliðranir eru táknaðar með reglunni hér að neðan, þar sem c segir til um hversu margar einingar grafið hliðrast til hægri eða vinstri.

f(x−c)

Dæmi 2

Teiknaðu umbreytta fallið þegar upphaflega fallið er gefið. Finndu síðan jöfnu umbreytta fallsins.

f(x+2)

f(x)=1/2x−3

Lausn

Skref 1: Teiknaðu gefna fallið.

f(x)=1/2x−3

Skurðpunkturinn við y-ás er:

(0;−3)

Hallatalan er:

1/2

Fyrir láréttar hliðranir er gagnlegt að finna skurðpunkt við x-ás. Á grafinu er núllstöðin:

(6;0)

Skref 2: Beittu tilgreindu umbreytingunni. Reglan fyrir lárétta hliðrun er:

f(x−c)

Ef fallið er endurritað á jafngilt form sést gildi c betur.

f(x+2)=f(x−(−2))

c=−2

Því táknar f(x+2) lárétta hliðrun um 2 einingar til vinstri. Skurðpunkturinn við x-ás færist úr (6;0) í (4;0).

(6;0)→(4;0)

Appelsínugula brotalínan sýnir upprunalega fallið og heila bláa línan sýnir umbreytta fallið.

Skref 3: Finndu jöfnu umbreytta fallsins.

Skurðpunktur umbreyttu línunnar við y-ás er:

(0;−2)

Hallatala línunnar er:

2/4=1/2

Jafnan verður því:

f(x+2)=1/2x−2

Við getum líka athugað þetta algebrulega með því að setja x+2 inn í f(x).

f(x)=1/2x−3

f(x+2)=1/2(x+2)−3=1/2x+1−3=1/2x−2

Dæmi 3

Teiknaðu umbreytta fallið þegar upphaflega fallið er gefið. Finndu síðan jöfnu umbreytta fallsins.

f(4x)

f(x)=1/2x−3

Lausn

Skref 1: Teiknaðu gefna fallið.

f(x)=1/2x−3

Skurðpunkturinn við y-ás er:

(0;−3)

Hallatalan er:

1/2

Núllstöðin er:

(6;0)

Skref 2: Beittu tilgreindu umbreytingunni. Reglan fyrir lárétta skölun er:

f(bx)

Þegar b er stærra en 1 verður lárétt samþjöppun.

b>1

Vegna láréttu samþjöppunarinnar lítur línulega fallið brattara út; það þjappast saman með kvarðaþættinum 4.

Á grafinu þýðir þetta að skurðpunkturinn við x-ás þjappast úr (6;0) í (1,5;0).

(6;0)→(1,5;0)

Appelsínugula brotalínan sýnir upprunalega fallið og heila bláa línan sýnir umbreytta fallið.

Skref 3: Finndu jöfnu umbreytta fallsins.

Skurðpunktur umbreyttu línunnar við y-ás er:

(0;−3)

Hallatala línunnar er:

3/1,5=2

Jafnan verður því:

f(4x)=2x−3

Við getum líka athugað þetta algebrulega með því að setja 4x inn í f(x).

f(x)=1/2x−3

f(4x)=1/2(4x)−3=2x−3