44.11 Teikning falls með umbreytingum

4.11.4 Lóðréttar teygjur og samþjöppun

4.11.4 • Lóðréttar teygjur og samþjöppun

Verkefni

Lóðréttar teygjur og samþjöppun

Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll á sama hnitakerfi. Þú þarft ekki að merkja línurnar í grafteikniverkfærinu.

Lausn

Lína	Fall
Lína a	$f(x)=3x$
Lína b	$f(x)=2x$
Lína c	$f(x)=x$

Berðu vinnuna þína saman:

A graph showing three lines: solid blue for f of x equals 3 times x, dotted green for f of x equals 2 times x, and dashed orange for f of x equals x, each passing through the origin with different slopes. The legend matches each line to its equation.

2. Hvað tekur þú eftir við hallatölur línanna c, b og a þegar stuðullinn verður stærri?

Berðu svarið þitt saman:

Eftir því sem stuðullinn stækkar verður línan brattari.

Teiknaðu nú línurnar d og e á sama graf og línurnar a-c.

Lausn

Lína	Fall
Lína d	$f(x)=1/2x$
Lína e	$f(x)=1/3x$

Berðu vinnuna þína saman:

A graph comparing five linear functions: f of x equals 3 times x is a blue line, f of x equals 2 times x is a green dotted line, f of x equals x is an orange dashed line, f of x equals one-half times x is a black line, and f of x equals one-third times x is a red line, all passing through the origin with a positive slope.

Hvernig er lína d í samanburði við línu b?

Lausn

Lína d táknar:

f(x)=1/2x

Lína b táknar:

f(x)=2x

Berðu svarið þitt saman:

Eftir því sem stuðullinn minnkar verður línan minna brött.

Skoðaðu línurnar d og e. Hvað má segja um línurnar þegar eftirfarandi gildir?

Lausn

0<m<1

Berðu svarið þitt saman:

Eftir því sem stuðullinn minnkar verður línan minna brött.

Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll á sama hnitakerfi.

Lausn

Lína	Fall
Lína f	$f(x)=−2x$
Lína g	$f(x)=−x$
Lína h	$f(x)=−1/2x$

Berðu vinnuna þína saman:

Three lines are shown on a graph: a green dotted line for f of x equals negative 2 times x, a brown dashed line for f of x equals negative x, and a solid black line for f of x equals negative one-half times x. All lines have negative slopes.

7. Berðu jöfnur línanna f-h saman við jöfnur línanna b-d. Hvað breyttist?

Berðu svarið þitt saman:

Stuðullinn er neikvæður í jöfnum línanna f-h, en jákvæður í jöfnum línanna b-d.

8. Berðu gröf línanna f-h saman við gröf línanna b-d. Hvaða áhrif höfðu jöfnurnar á gröfin?

Berðu svarið þitt saman:

Þar sem stuðullinn er neikvæður eru gröf línanna f-h speglanir af samsvarandi jákvæðum línum um x-ás. Gröfin speglast því lóðrétt.

Útskýring

Í jöfnunni $f(x)=ax$ virkar $a$ sem lóðrétt teygja eða lóðrétt samþjöppun grunnfallsins. Það breytir lóðréttum kvarða grafsins. Þegar $a$ er neikvætt speglast grafið líka um x-ás.

Þegar jafnan hér að neðan er margfölduð með a teygist graf f lóðrétt með kvarðaþættinum a ef eftirfarandi skilyrði gildir.

f(x)=x

a>1

Ef eftirfarandi skilyrði gildir þjappast graf f lóðrétt saman með kvarðaþættinum a.

0<a<1

Því stærra sem algildi a er, því brattari verður línan.

This graph shows seven versions of the function, f of x = x on an x, y coordinate plane. The x-axis runs from negative 8 to 8. The y-axis runs from negative 8 to 8. Seven multi-colored lines run through the point (0, 0). Starting with the lines in the top right quadrant and moving clockwise, the first line is f of x equals 3 times x and has a slope of 3, the next line is f of x equals 2 times x which has a slope of 2, the next line is f of x equals x which has a slope of 1, the next line is f of x equals x divided by 2 which has a slope of .5. The last line in this quadrant is f of x equals x divided by 3 which has a slope of one third x. In the bottom right quadrant moving clockwise, the first line is f of x equals negative x divided by 2, which has a slope of negative one half, the middle line is f of x equals negative x which has a slope of negative 1, and the last line is f of x equals negative 2 times x which has a slope of negative 2.

Í $f(x)=mx+b$ virkar $m$ sem lóðréttur kvarðaþáttur, það er teygju- eða samþjöppunarþáttur. Þetta er umbreyting á grafi $f(x)=x$ .

Lóðrétt teygja og samþjöppun falls

Lóðrétt teygja eða samþjöppun breytir grunnfalli í annað fall með því að breyta lóðréttum kvarða grafsins.

Lóðrétt teygja/samþjöppun → $af(x)$

Ef a er neikvætt speglast grafið um x-ás.

Ef eftirfarandi skilyrði gildir teygist grafið með kvarðaþættinum a.

a>1

Ef eftirfarandi skilyrði gildir þjappast grafið saman með kvarðaþættinum a.

0<a<1

Myndband: Að þekkja lóðrétta teygju og samþjöppun

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um lóðrétta teygju og samþjöppun.

Viðbótarefni

Lóðréttar umbreytingar línulegra falla

Notaðu umbreytingar til að teikna línulegt fall á forminu $f(x)=mx+b$ .

Dæmi: Teiknaðu eftirfarandi fall með umbreytingum.

f(x)=1/2x−3

Skref 1: Teiknaðu grunnfallið $f(x)=x$ .

Skref 2: Teygðu eða þjappaðu grafinu lóðrétt með kvarðaþættinum m. Jafnan sýnir:

m=1/2

Þess vegna þjappast graf grunnfallsins lóðrétt saman með kvarðaþættinum:

1/2

This graph shows two functions on an x, y coordinate plane. One shows an increasing function of y equals x divided by 2 that runs through the points (0, 0) and (2, 1). The second shows an increasing function of y equals x and runs through the points (0, 0) and (1, 1).

Grafið sýnir föllin:

y=1/2x

y=x

Fyrra fallið fer um punktana (0;0) og (2;1), en seinna fallið fer um punktana (0;0) og (1;1).

Skref 3: Hliðraðu grafinu upp eða niður um $b$ einingar.

Jafnan sýnir að $b=−3$ , svo grafið hliðrast niður um 3.

This graph shows two functions on an x, y coordinate plane. The first is an increasing function of y equals x divided by 2 and runs through the points (0, 0) and (2, 1). The second shows an increasing function of y equals x divided by 2 minus 3 and passes through the points (0, 3) and (2, negative 2). An arrow pointing downward from the first function to the second function reveals the vertical shift.

Grafið sýnir föllin:

y=1/2x

y=1/2x−3

Fyrra fallið fer um punktana (0;0) og (2;1), en seinna fallið fer um punktana (0;−3) og (2;−2).

Prófaðu sjálf(ur)

Nefndu umbreytingarnar sem færa grunnfallið $f(x)=x$ yfir í $f(x)=4+2x$ .

Hallatalan $m=2$ sýnir fyrst að grafið teygist lóðrétt með kvarðaþættinum 2.

Skurðpunkturinn við y-ás er 4, svo grafið hliðrast upp um 4.

Lína

Fall

Lína a

f(x)=3x

Lína b

f(x)=2x

Lína c

f(x)=x

Lína

Fall

Lína d

f(x)=1/2x

Lína e

f(x)=1/3x

Lína

Fall

Lína f

f(x)=−2x

Lína g

f(x)=−x

Lína h

f(x)=−1/2x