44.11 Teikning falls með umbreytingum

4.11.3 Láréttar hliðranir

4.11.3 • Láréttar hliðranir

Verkefni

Láréttar hliðranir

Notaðu Desmos-grafreiknivélina eða annað grafteikniverkfæri. Teiknaðu eftirfarandi línuleg föll.

Lausn

f(x)=2(x+4)

f(x)=2(x+2)

f(x)=2x

f(x)=2(x−2)

f(x)=2(x−4)

Berðu vinnuna þína saman:

A graph with six linear functions, each with different colors. The equations and their matching colors are listed at right: red, blue, black, orange, brown, and green. The lines are shown on an x-y axis grid. 𝑓of x equals 2 time the quantity of (𝑥 plus 4) is red, 𝑓 of x equals 2 times the quantity of (𝑥 plus 2) is blue, 𝑓 of x equals 2 times 𝑥 is black, 𝑓 of x equals 2 times the quantity of (𝑥 minus 2) is orange dotted, and 𝑓 of x equals 2 times the quantity of (𝑥 minus 4) is green dashed.

2. Hver er stefnan og lárétta fjarlægðin milli skurðpunkta við x-ás hjá $f(x)=2(x)$ og $f(x)=2(x−2)$ ?

Berðu svarið þitt saman:

Skurðpunkturinn við x-ás hjá $f(x)=2(x−2)$ er 2 einingum hægra megin við skurðpunktinn hjá $f(x)=2(x)$ .

3. Hvernig er hægt að hliðra fallinu $f(x)=2(x)$ svo það falli saman við $f(x)=2(x−4)$ ?

Berðu svarið þitt saman:

Hliðraðu því 4 einingar til hægri.

4. Hver er stefnan og lárétta fjarlægðin milli skurðpunkta við x-ás hjá $f(x)=2(x)$ og $f(x)=2(x+2)$ ?

Berðu svarið þitt saman:

Skurðpunkturinn við x-ás hjá $f(x)=2(x+2)$ hefur hliðrast 2 einingar til vinstri miðað við skurðpunktinn hjá $f(x)=2(x)$ .

5. Hvernig er hægt að hliðra fallinu $f(x)=2(x)$ svo það falli saman við $f(x)=2(x+4)$ ?

Berðu svarið þitt saman:

Hliðraðu því 4 einingar til vinstri.

Í línulegum föllum hegðar grafið sér eins og lárétt hliðrun hafi verið gerð þegar gildi er lagt við eða dregið frá inntaksgildinu, það er x-gildunum. Þetta er önnur tegund umbreytingar á grafinu.

Lárétt hliðrun falls

Lárétt hliðrun umbreytir grunnfallinu í annað fall með því að færa grafið til vinstri eða hægri um c einingar.

Lárétt hliðrun → $f(x−c)$

Ef gildi c er jákvætt hliðrast graf fallsins til hægri. Ef gildi c er neikvætt hliðrast graf fallsins til vinstri.

Athugaðu þó formerkið: í reglunni er c á eftir frádráttarmerki. Þegar jafnan er einfölduð breytist formerki c-gildisins.

Ítarefni

Láréttar hliðranir og skurðpunktar við x-ás

Auk þess að hliðrast lóðrétt geta gröf líka hliðrast til hægri eða vinstri. Fyrir línuleg föll getur verið erfitt að koma auga á þetta, því lína sem hefur hliðrast lárétt getur litið út eins og hún hafi hliðrast lóðrétt.

Hliðrum grunnfallinu $f(x)=x$ lárétt til vinstri um 7 einingar.

Ef línan hliðrast 7 einingar til vinstri, hliðrast skurðpunkturinn við x-ás líka 7 einingar til vinstri.

A graph shows two lines: a solid blue line with positive slope passing through the origin, and a dashed red line with positive slope passing through (negative 2, negative 2) on an x-y grid.

Graf grunnfallsins $f(x)=x$ er sýnt með appelsínugulri brotalínu. Heila bláa línan sýnir línuna sem var hliðruð 7 einingar til vinstri.

Til að ákvarða jöfnu hliðruðu línunnar notum við hallatöluna 1 og punktinn $(−7;0)$ á línunni.

Þegar þessi gildi eru sett inn í punkthallaform fæst:

(y−y₁)=m(x−x₁)

(y−0)=1(x−(−7))

y=1(x+7)

Jafna línu sem hefur verið hliðrað 7 einingar til vinstri frá grunnfallinu $f(x)=x$ er því $y=x+7$ .

Það getur líka litið út eins og fallinu $f(x)=x+7$ hafi verið hliðrað upp um 7 einingar. Ástæðan er sú að $f(x)=x+7$ jafngildir $f(x)=1(x+7)$ , og þess vegna geta láréttar hliðranir verið erfiðar að sjá.

Dæmi 1

Hvernig hefur fallinu $f(x)=3(x−4)$ verið breytt frá $f(x)=3x$ ?

Lausn:

Skoðaðu fyrst hvernig x-gildin, þar á meðal skurðpunkturinn við x-ás, breytast. Í fallinu er 4 dregið frá hverju x-gildi, svo fallinu er hliðrað um 4 einingar.

Næst þarf að ákvarða í hvaða átt x-gildin hliðrast. Skoðum gröfin.

Graph with x and y axes from -10 to 10. A red dashed line passes through (0, 1), and a blue line passes through (3,0). There are open green circles at points (1,3) and (5,3) on the graph, and points (0,0) and (4,0) are marked with a black open circle.

Heila bláa línan sýnir graf $f(x)=3(x−4)$ . Appelsínugula brotalínan sýnir graf $f(x)=3x$ .

Á grafinu má skoða tiltekna punkta á grunnfallinu, til dæmis skurðpunktinn við x-ás, $(0;0)$ , og punktinn $(1;3)$ . Umbreytta línan er hægra megin við grunnfallið. Til að finna hversu langt til hægri línunni hefur verið hliðrað teljum við fjölda láréttra eininga milli línanna.

Punkturinn $(0;0)$ samsvarar punktinum $(4;0)$ á umbreyttu línunni.

Punkturinn $(1;3)$ samsvarar punktinum $(5;3)$ á umbreyttu línunni.

Hverjum punkti á grunnfallinu hefur verið hliðrað 4 einingar til hægri.

Því virðist línan sem sýnir $f(x)=3(x−4)$ hafa hliðrast 4 einingar til hægri frá fallinu $f(x)=3x$ .

Dæmi 2

Notaðu skurðpunktinn við x-ás til að lýsa hvernig fallinu $f(x)=x+9$ hefur verið breytt frá grunnfallinu $f(x)=x$ .

Lausn:

Við vitum að hliðrunin er 9 einingar, en þurfum að finna í hvaða átt skurðpunkturinn við x-ás hefur færst.

Graph with solid blue line passing through (negative 9, negative 9) and (0, 0), and dashed orange line passing through (0, 0) and (2, negative 2), both with labeled axes and gridlines.

Appelsínugula brotalínan sýnir grunnfallið $f(x)=x$ og heila bláa línan sýnir hliðraða fallið.

Þegar skurðpunktarnir við x-ás eru skoðaðir vandlega sést að línan sem sýnir $f(x)=x+9$ hefur hliðrast 9 einingar til vinstri frá grunnfallinu $f(x)=x$ .

Oft er lárétt hliðrun táknuð með svigum til að sýna skýrt hvernig gildum óháðu breytunnar, eða formengisins, er breytt.

Dæmi 3

Lýstu hvernig fallinu f(x)=1/2(x+4) er umbreytt lárétt í g(x)=1/2(x−2).

Lausn:

Endurritum jöfnurnar á punkthallaformi, (y−y₁)=m(x−x₁):

f(x)=1/2(x+4)

(y−0)=1/2(x+4)

(y−0)=1/2(x−(−4))

Skurðpunkturinn við x-ás er því $(−4;0)$ .

g(x)=1/2(x−2)

(y−0)=1/2(x−2)

Skurðpunkturinn við x-ás er því $(2;0)$ .

Skurðpunktur f(x) við x-ás byrjar í $(−4;0)$ og færist í $(2;0)$ . Þetta táknar hliðrun um 6 einingar til hægri.

Við getum líka athugað þetta með gröfum.

A graph with two parallel lines, one red and dashed with a positive y-intercept, and one solid blue with a negative y-intercept.

Þegar skurðpunkturinn við x-ás hjá f(x)=1/2(x+4) er skoðaður á appelsínugulu brotalínunni sést að $(−4;0)$ hliðrast 6 einingar til hægri og lendir í $(2;0)$ á g(x)=1/2(x−2), sem er sýnt með heilu bláu línunni.

Við getum því greint láréttar hliðranir annaðhvort með gröfum eða algebrulegum jöfnum.

Lárétt hliðrun falls

Lárétt hliðrun umbreytir grunnfallinu í annað fall með því að færa grafið til vinstri eða hægri um c einingar.

Lárétt hliðrun → $f(x−c)$

Ef gildi c er jákvætt hliðrast graf fallsins til hægri. Ef gildi c er neikvætt hliðrast graf fallsins til vinstri. Athugaðu þó að í reglunni er c á eftir frádráttarmerki; þegar jafnan er einfölduð breytist formerki c-gildisins.

Dæmi 1

Hvernig hefur fallinu $f(x)=3(x−4)$ verið breytt frá $f(x)=3x$ ?

Lausn:

Skoðaðu fyrst hvernig x-gildin, þar á meðal skurðpunkturinn við x-ás, breytast. Í fallinu er 4 dregið frá hverju x-gildi, svo fallinu er hliðrað um 4 einingar.

Næst þarf að ákvarða í hvaða átt x-gildin hliðrast. Skoðum gröfin.

Heila bláa línan sýnir graf $f(x)=3(x−4)$ . Appelsínugula brotalínan sýnir graf $f(x)=3x$ .

Punkturinn $(0;0)$ samsvarar punktinum $(4;0)$ á umbreyttu línunni.

Punkturinn $(1;3)$ samsvarar punktinum $(5;3)$ á umbreyttu línunni.

Hverjum punkti á grunnfallinu hefur verið hliðrað 4 einingar til hægri.

Því virðist línan sem sýnir $f(x)=3(x−4)$ hafa hliðrast 4 einingar til hægri frá fallinu $f(x)=3x$ .

Dæmi 2

Notaðu skurðpunktinn við x-ás til að lýsa hvernig fallinu $f(x)=x+9$ hefur verið breytt frá grunnfallinu $f(x)=x$ .

Lausn:

Við vitum að hliðrunin er 9 einingar, en þurfum að finna í hvaða átt skurðpunkturinn við x-ás hefur færst.

Appelsínugula brotalínan sýnir grunnfallið $f(x)=x$ og heila bláa línan sýnir hliðraða fallið.

Þegar skurðpunktarnir við x-ás eru skoðaðir vandlega sést að línan sem sýnir $f(x)=x+9$ hefur hliðrast 9 einingar til vinstri frá grunnfallinu $f(x)=x$ .

Oft er lárétt hliðrun táknuð með svigum til að sýna skýrt hvernig gildum óháðu breytunnar, eða formengisins, er breytt.

Dæmi 3

Lýstu hvernig fallinu f(x)=1/2(x+4) er umbreytt lárétt í g(x)=1/2(x−2).

Lausn:

Endurritum jöfnurnar á punkthallaformi, (y−y₁)=m(x−x₁):

f(x)=1/2(x+4)

(y−0)=1/2(x+4)

(y−0)=1/2(x−(−4))

Skurðpunkturinn við x-ás er því $(−4;0)$ .

g(x)=1/2(x−2)

(y−0)=1/2(x−2)

Skurðpunkturinn við x-ás er því $(2;0)$ .

Skurðpunktur f(x) við x-ás byrjar í $(−4;0)$ og færist í $(2;0)$ . Þetta táknar hliðrun um 6 einingar til hægri.

Við getum líka athugað þetta með gröfum.

Við getum því greint láréttar hliðranir annaðhvort með gröfum eða algebrulegum jöfnum.