22.4 Lausn jöfnuhneppa með eyðingu, 1. hluti

2.4.3 Að leggja saman og draga frá jöfnuhneppi og nota gröf þeirra

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar ef þú þarft hjálp við að leysa verkefni með Desmos-grafreiknivél.

Hér fyrir neðan eru þrjú jöfnuhneppi sem þú hefur séð áður.

Jöfnuhneppi A

Notaðu jöfnuhneppi A til að svara spurningum 1-6.

{ 4x + 3y = 10; −4x + 5y = 6 }

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi A.

Lausn

Graf sem sýnir tvær skurðlínur: rauða línu með jákvæðri hallatölu og bláa línu með neikvæðri hallatölu í hnitakerfi með ásana x og y merkta.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

Lausn

x = 1

Finndu y-hnit lausnarinnar.

Lausn

y = 2

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

Lausn

Dæmi um svör:

8y = 16

y = 2

8x − 2y = 4

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi A.

Lausn

Graf af jöfnuhneppi með þremur línulegum jöfnum. Þriðja grafið er jafnan sem fæst með því að leggja fyrstu tvær jöfnurnar saman.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

Lausn

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(1, 2)

Ef 8y = 16 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lárétt lína. Ef 8x − 2y = 4 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar ný lína milli upphaflegu línanna tveggja.

Jöfnuhneppi B

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 7-12.

{ 2x + y = 4; x − y = 11 }

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi B.

Lausn

Graf af jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum. Appelsínugula línan hefur neikvæða hallatölu og græna línan hefur jákvæða hallatölu. Línurnar skerast í fjórða fjórðungi.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

Lausn

x = 5

Finndu y-hnit lausnarinnar.

Lausn

y = −6

10.

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

Lausn

Dæmi um svör:

3x = 15

x = 5

11.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi B.

Lausn

12.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

Lausn

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(5, −6)

Ef 3x = 15 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lóðrétt lína.

Jöfnuhneppi C

Notaðu jöfnuhneppi C til að svara spurningum 13-18.

{ 8x + 11y = 37; 8x + y = 7 }

13.

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi C.

Lausn

Graf af jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum. Appelsínugula línan hefur neikvæða hallatölu og græna línan hefur brattari neikvæða hallatölu. Línurnar skerast í fyrsta fjórðungi.

14.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

Lausn

x = 1/2

15.

Finndu y-hnit lausnarinnar.

Lausn

y = 3

16.

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

Lausn

Dæmi um svör:

10y = 30

−10y = −30

y = 3

16x + 12y = 44

17.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi C.

Lausn

18.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

Lausn

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(1/2, 3)

Ef 10y = 30 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lárétt lína.

Viltu meira?

Að víkka hugsunina

Mai veltir fyrir sér hvað gerist ef við margföldum jöfnur. Þá margföldum við stæðurnar vinstra megin í jöfnunum tveimur og setjum margfeldið jafnt margfeldi stæðnanna hægra megin.

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 1-4.

{ 2x + y = 4; x − y = 11 }

Skrifaðu jöfnu sem fæst ef jöfnurnar tvær eru margfaldaðar á þennan hátt.

Lausn

(2x + y)(x − y) = 44

Virkar upphaflega lausnin enn í nýju jöfnunni?

Lausn

Já.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi B.

Lausn

Graf af jöfnuhneppi með fjórum jöfnum. Bláa línan hefur jákvæða hallatölu, svarta línan hefur neikvæða hallatölu, rauða línan er lóðrétt og græni ferillinn táknar ólínulega jöfnu. Öll gröfin skerast í punktinum (5, 6).

Útskýrðu hvort það sé sérstaklega gagnlegt að teikna graf nýju jöfnunnar.

Lausn

Dæmi um svar: Þessi leið er ekki sérlega gagnleg, því nýja jafnan er ekki lína og er því erfiðari í vinnslu.

Ítarefni

Að leggja saman jöfnuhneppi og nota gröf þeirra

Skoðaðu þetta jöfnuhneppi:

{ −3x + 4y = 7; 3x + 2y = 17 }

Teiknum graf hvorrar jöfnu í hnitakerfi og finnum skurðpunktinn.

Graf af tveimur línum sem skerast í punktinum (3, 4).

(3, 4)

Línurnar skerast í punktinum (3, 4). Leggjum jöfnurnar saman og einföldum jöfnuna sem fæst.

−3x + 4y = 7; 3x + 2y = 17; 6y = 24; y = 4

Teiknaðu graf jöfnunnar sem fæst í sama hnitakerfi. Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

Graf af þremur línum sem skerast í punktinum (3, 4).

(3, 4)

Þú staðfestir þannig að þegar jöfnurnar í jöfnuhneppinu eru lagðar saman verður til þriðja jafna sem er líka sönn fyrir lausn jöfnuhneppisins.

x = 3

y = 4

22.4 Lausn jöfnuhneppa með eyðingu, 1. hluti

2.4.3 Að leggja saman og draga frá jöfnuhneppi og nota gröf þeirra

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar ef þú þarft hjálp við að leysa verkefni með Desmos-grafreiknivél.

Hér fyrir neðan eru þrjú jöfnuhneppi sem þú hefur séð áður.

Jöfnuhneppi A

Notaðu jöfnuhneppi A til að svara spurningum 1-6.

{ 4x + 3y = 10; −4x + 5y = 6 }

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi A.

Lausn

Finndu x-hnit lausnarinnar.

Lausn

x = 1

Finndu y-hnit lausnarinnar.

Lausn

y = 2

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

Lausn

Dæmi um svör:

8y = 16

y = 2

8x − 2y = 4

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi A.

Lausn

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

Lausn

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(1, 2)

Ef 8y = 16 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lárétt lína. Ef 8x − 2y = 4 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar ný lína milli upphaflegu línanna tveggja.

Jöfnuhneppi B

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 7-12.

{ 2x + y = 4; x − y = 11 }

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi B.

Lausn

Finndu x-hnit lausnarinnar.

Lausn

x = 5

Finndu y-hnit lausnarinnar.

Lausn

y = −6

10.

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

Lausn

Dæmi um svör:

3x = 15

x = 5

11.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi B.

Lausn

12.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

Lausn

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(5, −6)

Ef 3x = 15 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lóðrétt lína.

Jöfnuhneppi C

Notaðu jöfnuhneppi C til að svara spurningum 13-18.

{ 8x + 11y = 37; 8x + y = 7 }

13.

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi C.

Lausn

14.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

Lausn

x = 1/2

15.

Finndu y-hnit lausnarinnar.

Lausn

y = 3

16.

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

Lausn

Dæmi um svör:

10y = 30

−10y = −30

y = 3

16x + 12y = 44

17.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi C.

Lausn

18.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

Lausn

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(1/2, 3)

Ef 10y = 30 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lárétt lína.

Viltu meira?

Að víkka hugsunina

Mai veltir fyrir sér hvað gerist ef við margföldum jöfnur. Þá margföldum við stæðurnar vinstra megin í jöfnunum tveimur og setjum margfeldið jafnt margfeldi stæðnanna hægra megin.

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 1-4.

{ 2x + y = 4; x − y = 11 }

Skrifaðu jöfnu sem fæst ef jöfnurnar tvær eru margfaldaðar á þennan hátt.

Lausn

(2x + y)(x − y) = 44

Virkar upphaflega lausnin enn í nýju jöfnunni?

Lausn

Já.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi B.

Lausn

Útskýrðu hvort það sé sérstaklega gagnlegt að teikna graf nýju jöfnunnar.

Lausn

Dæmi um svar: Þessi leið er ekki sérlega gagnleg, því nýja jafnan er ekki lína og er því erfiðari í vinnslu.

Ítarefni

Að leggja saman jöfnuhneppi og nota gröf þeirra

Skoðaðu þetta jöfnuhneppi:

{ −3x + 4y = 7; 3x + 2y = 17 }

Teiknum graf hvorrar jöfnu í hnitakerfi og finnum skurðpunktinn.

(3, 4)

Línurnar skerast í punktinum (3, 4). Leggjum jöfnurnar saman og einföldum jöfnuna sem fæst.

−3x + 4y = 7; 3x + 2y = 17; 6y = 24; y = 4

Teiknaðu graf jöfnunnar sem fæst í sama hnitakerfi. Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(3, 4)

Þú staðfestir þannig að þegar jöfnurnar í jöfnuhneppinu eru lagðar saman verður til þriðja jafna sem er líka sönn fyrir lausn jöfnuhneppisins.

x = 3

y = 4