22.4 Lausn jöfnuhneppa með eyðingu, 1. hluti

2.4.3 Samlagning og frádráttur jöfnuhneppa og notkun grafa þeirra

2.4.3 Að leggja saman og draga frá jöfnuhneppi og nota gröf þeirra

Verkefni

Skoðaðu Desmos-leiðbeiningarnar ef þú þarft hjálp við að leysa verkefni með Desmos-grafreiknivél.

Hér fyrir neðan eru þrjú jöfnuhneppi sem þú hefur séð áður.

Jöfnuhneppi A

Notaðu jöfnuhneppi A til að svara spurningum 1-6.

{ 4x + 3y = 10; −4x + 5y = 6 }

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi A.

[Sýna/fela lausn]

Graf sem sýnir tvær skurðlínur: rauða línu með jákvæðri hallatölu og bláa línu með neikvæðri hallatölu í hnitakerfi með ásana x og y merkta.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

[Sýna/fela lausn]

x = 1

Finndu y-hnit lausnarinnar.

[Sýna/fela lausn]

y = 2

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svör:

8y = 16

y = 2

8x − 2y = 4

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi A.

[Sýna/fela lausn]

Graf af jöfnuhneppi með þremur línulegum jöfnum. Þriðja grafið er jafnan sem fæst með því að leggja fyrstu tvær jöfnurnar saman.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(1, 2)

Ef 8y = 16 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lárétt lína. Ef 8x − 2y = 4 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar ný lína milli upphaflegu línanna tveggja.

Jöfnuhneppi B

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 7-12.

{ 2x + y = 4; x − y = 11 }

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi B.

[Sýna/fela lausn]

Graf af jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum. Appelsínugula línan hefur neikvæða hallatölu og græna línan hefur jákvæða hallatölu. Línurnar skerast í fjórða fjórðungi.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

[Sýna/fela lausn]

x = 5

Finndu y-hnit lausnarinnar.

[Sýna/fela lausn]

y = −6

10.

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svör:

3x = 15

x = 5

11.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi B.

[Sýna/fela lausn]

12.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(5, −6)

Ef 3x = 15 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lóðrétt lína.

Jöfnuhneppi C

Notaðu jöfnuhneppi C til að svara spurningum 13-18.

{ 8x + 11y = 37; 8x + y = 7 }

13.

Notaðu grafreiknivél eða annað tæki. Teiknaðu gröf jafna í jöfnuhneppi C.

[Sýna/fela lausn]

Graf af jöfnuhneppi með tveimur línulegum jöfnum. Appelsínugula línan hefur neikvæða hallatölu og græna línan hefur brattari neikvæða hallatölu. Línurnar skerast í fyrsta fjórðungi.

14.

Finndu x-hnit lausnarinnar.

[Sýna/fela lausn]

x = 1/2

15.

Finndu y-hnit lausnarinnar.

[Sýna/fela lausn]

y = 3

16.

Finndu summu eða mismun upphaflegu jafnanna sem gerir hægt að leysa jöfnuhneppið.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svör:

10y = 30

−10y = −30

y = 3

16x + 12y = 44

17.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi C.

[Sýna/fela lausn]

18.

Lýstu því sem þú tekur eftir á grafinu.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svar: Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

(1/2, 3)

Ef 10y = 30 er teiknuð er graf nýju jöfnunnar lárétt lína.

Viltu meira?

Að víkka hugsunina

Mai veltir fyrir sér hvað gerist ef við margföldum jöfnur. Þá margföldum við stæðurnar vinstra megin í jöfnunum tveimur og setjum margfeldið jafnt margfeldi stæðnanna hægra megin.

Notaðu jöfnuhneppi B til að svara spurningum 1-4.

{ 2x + y = 4; x − y = 11 }

Skrifaðu jöfnu sem fæst ef jöfnurnar tvær eru margfaldaðar á þennan hátt.

[Sýna/fela lausn]

(2x + y)(x − y) = 44

Virkar upphaflega lausnin enn í nýju jöfnunni?

[Sýna/fela lausn]

Já.

Teiknaðu graf þriðju jöfnunnar og gröf jafnanna í jöfnuhneppi B.

[Sýna/fela lausn]

Graf af jöfnuhneppi með fjórum jöfnum. Bláa línan hefur jákvæða hallatölu, svarta línan hefur neikvæða hallatölu, rauða línan er lóðrétt og græni ferillinn táknar ólínulega jöfnu. Öll gröfin skerast í punktinum (5, 6).

Útskýrðu hvort það sé sérstaklega gagnlegt að teikna graf nýju jöfnunnar.

[Sýna/fela lausn]

Dæmi um svar: Þessi leið er ekki sérlega gagnleg, því nýja jafnan er ekki lína og er því erfiðari í vinnslu.

Ítarefni

Að leggja saman jöfnuhneppi og nota gröf þeirra

Skoðaðu þetta jöfnuhneppi:

{ −3x + 4y = 7; 3x + 2y = 17 }

Teiknum graf hvorrar jöfnu í hnitakerfi og finnum skurðpunktinn.

Graf af tveimur línum sem skerast í punktinum (3, 4).

(3, 4)

Línurnar skerast í punktinum (3, 4). Leggjum jöfnurnar saman og einföldum jöfnuna sem fæst.

−3x + 4y = 7; 3x + 2y = 17; 6y = 24; y = 4

Teiknaðu graf jöfnunnar sem fæst í sama hnitakerfi. Öll þrjú gröfin skerast í punktinum:

Graf af þremur línum sem skerast í punktinum (3, 4).

(3, 4)

Þú staðfestir þannig að þegar jöfnurnar í jöfnuhneppinu eru lagðar saman verður til þriðja jafna sem er líka sönn fyrir lausn jöfnuhneppisins.

x = 3

y = 4