2.4.2 Að leggja saman jöfnur

Verkefni

Skildu vinnu Diego og ræddu hana við félaga. Svaraðu síðan spurningum 1-3.

Í spurningum 4-7 skaltu ákvarða hvort aðferð Diego virki til að leysa jöfnuhneppið. Gættu þess að geta sýnt rökstuðning. Ef aðferð Diego virkar ekki skaltu nota aðra aðferð til að leysa hneppið og finna svörin.

Í spurningum 8-11 skaltu ákvarða hvort aðferð Diego virki til að leysa jöfnuhneppið. Gættu þess að geta sýnt rökstuðning. Ef aðferð Diego virkar ekki skaltu nota aðra aðferð til að leysa hneppið og finna svörin.

Ítarefni

Að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu

Aðferðin að fella út breytu byggist á samlagningarreglu jafnaðar. Hún segir að ef sama stærð er lögð við báðar hliðar jöfnu, þá helst jafnaðarmerkið gilt. Hér notum við regluna víðar: ef jafnar stærðir eru lagðar við jafnar stærðir, verða niðurstöðurnar líka jafnar.

Fyrir hvaða stæður a, b, c og d sem er gildir:

Til að leysa jöfnuhneppi með því að fella út breytu byrjum við með báðar jöfnurnar á staðalformi. Síðan veljum við hvaða breytu er auðveldast að fella út. Oftast viljum við að stuðlar sömu breytu séu gagnstæðar tölur, svo að þeir verði núll þegar jöfnurnar eru lagðar saman.

Sjáðu hvað gerist þegar þessar tvær jöfnur eru lagðar saman:

y-liðirnir leggjast saman og verða núll. Þá er eftir ein jafna með einni breytu.

Prófum annað dæmi:

Við getum lagt jöfnurnar saman, svo s fellur út.

Þegar við fáum jöfnu með aðeins einni breytu leysum við hana. Síðan setjum við gildið inn í aðra upphaflegu jöfnuna til að finna hina breytuna. Að lokum athugum við svarið til að ganga úr skugga um að það leysi báðar upphaflegu jöfnurnar.

Dæmi

Leysið jöfnuhneppið með því að fella út breytu:

1. Skrifaðu báðar jöfnurnar á staðalformi. Ef einhverjir stuðlar eru brot skaltu losna við brotin.
   $$\{\begin{array}{rcl}4x+8y& =& 12\\ 4x-5y& =& 38\end{array}$$
2. Athugaðu hvort stuðlar annarrar breytunnar séu gagnstæðar tölur eða jafnir. Stuðlarnir við x eru jafnir, svo við getum dregið jöfnurnar frá hvor annarri.
3. Dragðu jöfnurnar frá hvor annarri til að fella út eina breytu.
   $$\begin{array}{rcl}4x+8y& =& 12\\ 4x-5y& =& 38\\ 13y& =& -26\end{array}$$
4. Leystu fyrir breytuna sem eftir stendur.
   $$\begin{array}{rcl}13y& =& -26\\ y& =& -2\end{array}$$
5. Settu lausnina úr skrefi 4 inn í aðra upphaflegu jöfnuna. Leystu síðan fyrir hina breytuna.
   $$\begin{array}{rcl}4x+8y& =& 12\\ 4x+8(-2)& =& 12\\ 4x-16& =& 12\\ 4x& =& 28\\ x& =& 7\end{array}$$
6. Skrifaðu lausnina sem raðaða tvennd.
   $$(7,-2)$$
7. Athugaðu að raðaða tvenndin sé lausn á báðum upphaflegu jöfnunum.
   $$\begin{array}{rcl}4\left(7\right)+8(-2)& =& 12\\ 28-16& =& 12\\ 12& =& 12✓\end{array}$$
   $$\begin{array}{rcl}4\left(7\right)-5(-2)& =& 38\\ 28+10& =& 38\\ 38& =& 38✓\end{array}$$