22.15 Lausn vandamála með línulegum ójöfnuhneppum með tveimur breytistærðum

2.15.2 Að ákvarða hvort punktar á markalínum séu lausnir hneppis

2.15.2 • Að ákvarða hvort punktar á markalínum séu lausnir hneppis

Verkefni

Hér eru gröf ójafnanna í þessu hneppi:

${\begin{matrix} x < y \\ y \geq - 2 x - 6 \end{matrix}$

Graph of a system of two linear inequalities on a coordinate plane.

Ákvarðaðu hvort hver punktur sé lausn hneppisins og útskýrðu hvernig þú veist það.

$(3; - 5)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Punkturinn (3; −5) er á skyggða svæðinu sem inniheldur lausnir annarrar ójöfnunnar, en ekki á svæðinu þar sem skyggingarnar skarast.

$(0; 5)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já. Punkturinn (0; 5) er á svæðinu þar sem lausnir ójafnanna tveggja skarast.

$(- 6; 6)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já. Punkturinn (−6; 6) liggur á óslitinni markalínu ójöfnunnar

$y \geq - 2 x - 6$

því

$6 = - 2 (- 6) - 6$

og hann er líka á skyggða svæðinu sem táknar lausnir ójöfnunnar

$x < y$

$(3; 3)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Punkturinn (3; 3) er vissulega lausn ójöfnunnar

$y \geq - 2 x - 6$

en hann er á brotinni markalínu ójöfnunnar

$x < y$

Fullyrðingin

$3 < 3$

er ekki sönn.

$(- 2; - 2)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei, því

$- 2 < - 2$

er ekki sönn. Þótt punkturinn sé á óslitinni markalínu annarrar ójöfnunnar er hann á brotinni markalínu hinnar.

Viltu reyna meira?

Finndu ójöfnuhneppi sem hefur þríhyrninginn sem lausnamengi sitt.

Graph of a triangle on a coordinate grid.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Eitt mögulegt svar er

$x + y \geq 2, x + 4 y \leq 14, 4 x + y \leq 11$

eða jafngilt hneppi.

Sjálfspróf

10.

Hér er graf þessa ójöfnuhneppis. Hvaða röðuð tvennd er í lausnamenginu?

$6 x + 4 y \leq 34$

$- 2 x + 7 y > 22$

Svarmöguleiki sem birtist í upprunanum:

$(10; 6)$

Ítarefni

Að ákvarða lausnir ójöfnuhneppa á markalínum

Lausn ójöfnuhneppis getur aðeins legið á markalínu ef markalínan er óslitin, ekki brotin.

14.

Dæmi: Leysum hneppið með því að teikna graf.

${\begin{matrix} x - y > 3 \\ y < - \frac{1}{5} x + 4 \end{matrix}$

Teiknaðu fyrst markalínu ójöfnunnar

$x - y > 3$

með því að teikna skyldu jöfnuna

$x - y = 3$

Skurðpunktarnir eru

$x = 3$

$y = - 3$

og markalínan er brotin. Prófaðu punktinn

$(0; 0)$

Graph of an inequality on a coordinate plane.

Punkturinn gerir ójöfnuna ósanna, svo skyggðu rauða svæðið sem inniheldur ekki punktinn (0; 0).

Teiknaðu síðan ójöfnuna

$y < - \frac{1}{5} x + 4$

með því að teikna skyldu jöfnuna

$y = - \frac{1}{5} x + 4$

Notaðu hallatöluna

$m = - \frac{1}{5}$

og skurðpunktinn við y-ás

$b = 4$

Markalínan er brotin. Prófaðu punktinn (0; 0); hann gerir ójöfnuna sanna, svo skyggðu bláa svæðið sem inniheldur (0; 0).

Veldu punkt í lausnamenginu og staðfestu að hann sé lausn beggja ójafnanna.

Skurðpunktur línanna tveggja er ekki með, því báðar markalínurnar eru brotnar. Lausnin er svæðið sem er skyggt tvisvar, það er dekksta skyggða svæðið.

Punkturinn

$(0; - 3)$

er ekki lausn, því hann liggur á rauðu brotnu línunni. Punkturinn

$(4; - 2)$

er lausn, því hann er í lausnamengi beggja ójafnanna.

Reyndu þetta

Að ákvarða lausnir ójöfnuhneppa á markalínum

Hverjar af eftirfarandi röðuðu tvenndum eru lausnir á grafinu?

Svarmöguleikar: (2; 1), (2; 3), (5; 0), (3; −1), (−1; 6), (1; 6).

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Þegar punktur liggur á markalínu verður línan að vera óslitin til að punkturinn sé lausn. Punkturinn verður líka að vera á skörunarsvæði skyggðu svæðanna til að vera lausn alls hneppisins.

Réttu svörin eru

$(2; 1)$

$(3; - 1)$

22.15 Lausn vandamála með línulegum ójöfnuhneppum með tveimur breytistærðum

2.15.2 Að ákvarða hvort punktar á markalínum séu lausnir hneppis

2.15.2 • Að ákvarða hvort punktar á markalínum séu lausnir hneppis

Verkefni

Hér eru gröf ójafnanna í þessu hneppi:

${\begin{matrix} x < y \\ y \geq - 2 x - 6 \end{matrix}$

Ákvarðaðu hvort hver punktur sé lausn hneppisins og útskýrðu hvernig þú veist það.

$(3; - 5)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Punkturinn (3; −5) er á skyggða svæðinu sem inniheldur lausnir annarrar ójöfnunnar, en ekki á svæðinu þar sem skyggingarnar skarast.

$(0; 5)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já. Punkturinn (0; 5) er á svæðinu þar sem lausnir ójafnanna tveggja skarast.

$(- 6; 6)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Já. Punkturinn (−6; 6) liggur á óslitinni markalínu ójöfnunnar

$y \geq - 2 x - 6$

því

$6 = - 2 (- 6) - 6$

og hann er líka á skyggða svæðinu sem táknar lausnir ójöfnunnar

$x < y$

$(3; 3)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei. Punkturinn (3; 3) er vissulega lausn ójöfnunnar

$y \geq - 2 x - 6$

en hann er á brotinni markalínu ójöfnunnar

$x < y$

Fullyrðingin

$3 < 3$

er ekki sönn.

$(- 2; - 2)$

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Nei, því

$- 2 < - 2$

er ekki sönn. Þótt punkturinn sé á óslitinni markalínu annarrar ójöfnunnar er hann á brotinni markalínu hinnar.

Viltu reyna meira?

Finndu ójöfnuhneppi sem hefur þríhyrninginn sem lausnamengi sitt.

Lausn

Berðu saman svarið þitt: Eitt mögulegt svar er

$x + y \geq 2, x + 4 y \leq 14, 4 x + y \leq 11$

eða jafngilt hneppi.

Sjálfspróf

10.

Hér er graf þessa ójöfnuhneppis. Hvaða röðuð tvennd er í lausnamenginu?

$6 x + 4 y \leq 34$

$- 2 x + 7 y > 22$

Svarmöguleiki sem birtist í upprunanum:

$(10; 6)$

Ítarefni

Að ákvarða lausnir ójöfnuhneppa á markalínum

Lausn ójöfnuhneppis getur aðeins legið á markalínu ef markalínan er óslitin, ekki brotin.

14.

Dæmi: Leysum hneppið með því að teikna graf.

${\begin{matrix} x - y > 3 \\ y < - \frac{1}{5} x + 4 \end{matrix}$

Teiknaðu fyrst markalínu ójöfnunnar

$x - y > 3$

með því að teikna skyldu jöfnuna

$x - y = 3$

Skurðpunktarnir eru

$x = 3$

$y = - 3$

og markalínan er brotin. Prófaðu punktinn

$(0; 0)$

Punkturinn gerir ójöfnuna ósanna, svo skyggðu rauða svæðið sem inniheldur ekki punktinn (0; 0).

Teiknaðu síðan ójöfnuna

$y < - \frac{1}{5} x + 4$

með því að teikna skyldu jöfnuna

$y = - \frac{1}{5} x + 4$

Notaðu hallatöluna

$m = - \frac{1}{5}$

og skurðpunktinn við y-ás

$b = 4$

Markalínan er brotin. Prófaðu punktinn (0; 0); hann gerir ójöfnuna sanna, svo skyggðu bláa svæðið sem inniheldur (0; 0).

Veldu punkt í lausnamenginu og staðfestu að hann sé lausn beggja ójafnanna.

Skurðpunktur línanna tveggja er ekki með, því báðar markalínurnar eru brotnar. Lausnin er svæðið sem er skyggt tvisvar, það er dekksta skyggða svæðið.

Punkturinn

$(0; - 3)$

er ekki lausn, því hann liggur á rauðu brotnu línunni. Punkturinn

$(4; - 2)$

er lausn, því hann er í lausnamengi beggja ójafnanna.

Reyndu þetta

Að ákvarða lausnir ójöfnuhneppa á markalínum

Hverjar af eftirfarandi röðuðu tvenndum eru lausnir á grafinu?

Svarmöguleikar: (2; 1), (2; 3), (5; 0), (3; −1), (−1; 6), (1; 6).

Lausn

Réttu svörin eru

$(2; 1)$

$(3; - 1)$