22.11 Teikning línulegra ójafna með tveimur breytistærðum

2.11.3 Að teikna lausnamengi ójafna

2.11.3 • Að teikna lausnamengi ójafna

Verkefni

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um hvernig má leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér er graf sem sýnir lausnir jöfnunnar:

$x − y = 5$

The graph of the line x minus y equals 5 on a coordinate grid displays the line crosses the y-axis at negative five and intersects the x-axis at 5.

Notaðu grafið til hliðsjónar. Teiknaðu lausnasvæði hverrar ójöfnu í spurningum 1-4 með grafreiknitæki eða annarri tækni; Desmos-tólið er til staðar.

$x − y < 5$

Berðu saman svarið þitt:

The graph of the inequality representing x minus y less than 5 on a coordinate grid displays the line as dashed and the shaded region located above the line and to the left.

$x − y ≤ 5$

Berðu saman svarið þitt:

The graph of the inequality representing x minus y less than or equal to 5 on a coordinate grid displays the line as solid and the shaded region located above the line and to the left.

$x − y > 5$

Berðu saman svarið þitt:

The graph of the inequality representing x minus y greater than 5 on a coordinate grid displays the line as dashed and the shaded region located below the line and to the right.

$x − y ≥ 5$

Berðu saman svarið þitt:

The graph of the inequality representing x minus y greater than or equal to 5 on a coordinate grid displays the line as solid and the shaded region located below the line and to the right.

Fyrir hvert graf í spurningum 5-8 skaltu skrifa ójöfnu sem hefur skyggða svæðið sem lausnamengi.

The graph on the coordinate plane shows a region with a vertical boundary line that is dashed and shaded to the right. The vertical line intersects the x-axis at (3, 0).

Lausn

$x > 3$

The graph on the coordinate plane shows a region shaded below a horizontal boundary line that is solid. The horizontal line has a y-intercept at (0, negative 2).

Lausn

$y ≤ −2$

The graph on the coordinate plane displays an inequalilty that is shaded above a dashed boundary line that passes through the points (negative 4, negative 4), (0, 0) and (5, 5).

Lausn

$y > x$

The graph on the coordinate plane displays an inequalilty that is shaded below a solid boundary line that passes through the points (negative 4, negative 4), (0, 0) and (5, 5).

Lausn

$y ≤ x$

Einnig má skrifa þetta sem:

$x ≥ y$

Meiri áskorun

Graf ójöfnunnar hér á eftir sýnir skyggða lausnasvæðið:

$x − 2y < 3$

The graph on the coordinate plane displays an inequalilty that is shaded above a dashed boundary line.

Punktarnir hér á eftir eru báðir í lausnasvæðinu:

$(7, 3)$

$(7, 5)$

Reiknaðu gildi stæðunnar fyrir báða punktana:

$x − 2y$

Lausn

gildin eru 1 og −3.

Hvor punkturinn kemst nær því að uppfylla jöfnuna?

$x − 2y = 3$

Almennt: fyrir hvorn punktinn er gildi stæðunnar næst 3?

$x − 2y$

Lausn

punkturinn (7, 3).

Punktarnir (3, 2) og (5, 2) eru líka í lausnasvæðinu. Hvor þeirra er nær því að uppfylla jöfnuna?

$x − 2y = 3$

Lausn

punkturinn (5, 2), því útreikningarnir gefa:

$(3, 2): 3 − 2(2) = −1$

$(5, 2): 5 − 2(2) = 1$

Gildið 1 er nær 3 en gildið −1.

Finndu punkt í lausnasvæðinu sem er nær því að uppfylla jöfnuna en punkturinn (5, 2).

Lausn

$x − 2y = 3$

Dæmi um svar: punktur þar sem útreikningurinn gefur 2, til dæmis:

$6 − 2(2) = 2$

Fyrir punktana (5, 2) og (7, 3) fæst sama gildi:

Lausn

$x − 2y = 1$

Finndu annan punkt í lausnasvæðinu sem gefur sama gildi.

Dæmi um svar:

$(3, 1)$

Allir punktar á línunni hér á eftir gefa sama gildi:

$y = 1/2x − 1/2$

6. Notaðu punktinn (5, 3) og finndu gildi stæðunnar:

$(5, 3)$

$x − 2y$

Hér er x = 5 og y = 3, svo:

$x = 5$

$y = 3$

$(5) − 2(3)$

$5 − 6 = −1$

7. Finndu tvo aðra punkta sem gefa sama svar. Dæmi um svar eru:

$(3, 2)$

$(1, 1)$

Allir punktar á línunni hér á eftir gefa sama gildi:

$y = 1/2x + 1/2$

Athugaðu skilninginn

Hvaða graf sýnir ójöfnuna?

$y ≤ 3x + 2$

Myndavalkostirnir úr upprunalega efninu eru ekki lagfærðir í þessari texta- og MathML-yfirferð.

Ítarefni

Tengsl lausna ójöfnu og grafs hennar

Í einni breytu skiptir endapunktur talnalínunnar máli. Ef mörkin eru x = 3, þá sýnir ójafnan x > 3 allar tölur hægra megin við 3, en 3 sjálft er ekki með.

$x = 3$

$x > 3$

A number line from negative 5 to 5 with arrows above it. On the number line, there is an open parenthesis at 3 with the numbers to the right of 3 shaded. Above the number line is a set of arrows. One arrow points left from 3 and is labeled numbers less than 3. The other arrow above the number line points right from 3 and is labeled numbers greater than 3.

Sviga- eða hornklofatákn við endapunktinn sýna hvort talan a er með í lausnamenginu eða ekki.

$a$

Í tveimur breytum skiptir markalínan sama hlutverki. Línan hér á eftir skiptir hnitakerfinu í tvær hálfsléttur:

$y = x + 4$

Önnur hálfsléttan inniheldur lausnir ójöfnunnar:

$y < x + 4$

Hin hálfsléttan inniheldur lausnir ójöfnunnar:

$y > x + 4$

Línan sjálf er markalínan:

$y = x + 4$

Markalína er lína sem fæst úr skyldri jöfnu og aðskilur lausnasvæði tveggja skyldra ójafna. Almennt aðskilur línan:

$Ax + By = C$

svæðin sem lýst er með ójöfnunum:

$Ax + By > C$

$Ax + By < C$

Þegar ójafnan er ströng, það er með < eða >, er markalínan ekki hluti af lausnamenginu og hún er teiknuð slitin. Þegar ójafnan er með ≤ eða ≥ er markalínan hluti af lausnamenginu og hún er teiknuð heil.

Samantekt:

$Ax + By < C$

Markalínan Ax + By = C er ekki með í lausnamenginu; hún er teiknuð slitin.

$Ax + By ≤ C$

Markalínan Ax + By = C er með í lausnamenginu; hún er teiknuð heil.

$Ax + By > C$

Markalínan Ax + By = C er ekki með í lausnamenginu; hún er teiknuð slitin.

$Ax + By ≥ C$

Markalínan Ax + By = C er með í lausnamenginu; hún er teiknuð heil.

Skoðum graf jöfnunnar hér á eftir og fimm punkta á sama hnitakerfi:

$y = x + 4$

The graph of y equals x plus four on a coordinate plane. Five additional points are plotted on the plane at (0, 0), (1, 6), (2, 6), (negative 5, negative 15), and (negative 8, 12).

Punktarnir (1, 6) og (−8, 12) eru lausnir ójöfnunnar og liggja sömu megin við markalínuna y = x + 4.

$(1, 6)$

$(−8, 12)$

$y > x + 4$

$y = x + 4$

Punktarnir (0, 0) og (−5, −15) liggja hinum megin við markalínuna og eru ekki lausnir ójöfnunnar; fyrir þá gildir y < x + 4.

$(0, 0)$

$(−5, −15)$

$y > x + 4$

$y < x + 4$

Punkturinn (2, 6) liggur á markalínunni y = x + 4, því:

$(2, 6)$

$y = x + 4$

$6 = 2 + 4$

Hann er samt ekki lausn ójöfnunnar y > x + 4, því markalínan er ekki hluti af lausnamenginu.

$y > x + 4$

Prófum punktinn (0, 10). Hann virðist vera fyrir ofan markalínuna. Setjum hnit hans inn í ójöfnuna:

$(0, 10)$

$y > x + 4$

$10 > 0 + 4$

$10 > 4$

Því er punkturinn (0, 10) lausn ójöfnunnar.

$(0, 10)$

$y > x + 4$

The graph of y equals x plus four on a coordinate plane. Six additional points are plotted on the plane at (0, 10), (0, 0), (1, 6), (2, 6), (negative 5, negative 15), and (negative 8, 12). The half plane above the line and to the left is labeled as y greater than x plus 4. The region below the line and to the right is labeled as y less than x plus 4.

Allir punktar fyrir ofan markalínuna eru lausnir ójöfnunnar y > x + 4. Punktarnir (0, 0) og (−5, −15), sem eru fyrir neðan markalínuna, eru ekki lausnir.

$y > x + 4$

$(0, 0)$

$(−5, −15)$

Þar sem markalínan sjálf er ekki með í lausnamenginu er hún teiknuð slitin.

$y = x + 4$

Grafið sýnir lausnamengi ójöfnunnar:

$y > x + 4$

A graph with a red dashed line representing y equals x plus 2. The area above the line is shaded in red, indicating the solution to the inequality y greather than x plus 2.

22.11 Teikning línulegra ójafna með tveimur breytistærðum

2.11.3 Að teikna lausnamengi ójafna

2.11.3 • Að teikna lausnamengi ójafna

Verkefni

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um hvernig má leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér er graf sem sýnir lausnir jöfnunnar:

$x − y = 5$

Notaðu grafið til hliðsjónar. Teiknaðu lausnasvæði hverrar ójöfnu í spurningum 1-4 með grafreiknitæki eða annarri tækni; Desmos-tólið er til staðar.

$x − y < 5$

Berðu saman svarið þitt:

$x − y ≤ 5$

Berðu saman svarið þitt:

$x − y > 5$

Berðu saman svarið þitt:

$x − y ≥ 5$

Berðu saman svarið þitt:

Fyrir hvert graf í spurningum 5-8 skaltu skrifa ójöfnu sem hefur skyggða svæðið sem lausnamengi.

Lausn

$x > 3$

Lausn

$y ≤ −2$

Lausn

$y > x$

Lausn

$y ≤ x$

Einnig má skrifa þetta sem:

$x ≥ y$

Meiri áskorun

Graf ójöfnunnar hér á eftir sýnir skyggða lausnasvæðið:

$x − 2y < 3$

Punktarnir hér á eftir eru báðir í lausnasvæðinu:

$(7, 3)$

$(7, 5)$

Reiknaðu gildi stæðunnar fyrir báða punktana:

$x − 2y$

Lausn

gildin eru 1 og −3.

Hvor punkturinn kemst nær því að uppfylla jöfnuna?

$x − 2y = 3$

Almennt: fyrir hvorn punktinn er gildi stæðunnar næst 3?

$x − 2y$

Lausn

punkturinn (7, 3).

Punktarnir (3, 2) og (5, 2) eru líka í lausnasvæðinu. Hvor þeirra er nær því að uppfylla jöfnuna?

$x − 2y = 3$

Lausn

punkturinn (5, 2), því útreikningarnir gefa:

$(3, 2): 3 − 2(2) = −1$

$(5, 2): 5 − 2(2) = 1$

Gildið 1 er nær 3 en gildið −1.

Finndu punkt í lausnasvæðinu sem er nær því að uppfylla jöfnuna en punkturinn (5, 2).

Lausn

$x − 2y = 3$

Dæmi um svar: punktur þar sem útreikningurinn gefur 2, til dæmis:

$6 − 2(2) = 2$

Fyrir punktana (5, 2) og (7, 3) fæst sama gildi:

Lausn

$x − 2y = 1$

Finndu annan punkt í lausnasvæðinu sem gefur sama gildi.

Dæmi um svar:

$(3, 1)$

Allir punktar á línunni hér á eftir gefa sama gildi:

$y = 1/2x − 1/2$

6. Notaðu punktinn (5, 3) og finndu gildi stæðunnar:

$(5, 3)$

$x − 2y$

Hér er x = 5 og y = 3, svo:

$x = 5$

$y = 3$

$(5) − 2(3)$

$5 − 6 = −1$

7. Finndu tvo aðra punkta sem gefa sama svar. Dæmi um svar eru:

$(3, 2)$

$(1, 1)$

Allir punktar á línunni hér á eftir gefa sama gildi:

$y = 1/2x + 1/2$

Athugaðu skilninginn

Hvaða graf sýnir ójöfnuna?

$y ≤ 3x + 2$

Myndavalkostirnir úr upprunalega efninu eru ekki lagfærðir í þessari texta- og MathML-yfirferð.

Ítarefni

Tengsl lausna ójöfnu og grafs hennar

Í einni breytu skiptir endapunktur talnalínunnar máli. Ef mörkin eru x = 3, þá sýnir ójafnan x > 3 allar tölur hægra megin við 3, en 3 sjálft er ekki með.

$x = 3$

$x > 3$

Sviga- eða hornklofatákn við endapunktinn sýna hvort talan a er með í lausnamenginu eða ekki.

$a$

Í tveimur breytum skiptir markalínan sama hlutverki. Línan hér á eftir skiptir hnitakerfinu í tvær hálfsléttur:

$y = x + 4$

Önnur hálfsléttan inniheldur lausnir ójöfnunnar:

$y < x + 4$

Hin hálfsléttan inniheldur lausnir ójöfnunnar:

$y > x + 4$

Línan sjálf er markalínan:

$y = x + 4$

Markalína er lína sem fæst úr skyldri jöfnu og aðskilur lausnasvæði tveggja skyldra ójafna. Almennt aðskilur línan:

$Ax + By = C$

svæðin sem lýst er með ójöfnunum:

$Ax + By > C$

$Ax + By < C$

Samantekt:

$Ax + By < C$

Markalínan Ax + By = C er ekki með í lausnamenginu; hún er teiknuð slitin.

$Ax + By ≤ C$

Markalínan Ax + By = C er með í lausnamenginu; hún er teiknuð heil.

$Ax + By > C$

Markalínan Ax + By = C er ekki með í lausnamenginu; hún er teiknuð slitin.

$Ax + By ≥ C$

Markalínan Ax + By = C er með í lausnamenginu; hún er teiknuð heil.

Skoðum graf jöfnunnar hér á eftir og fimm punkta á sama hnitakerfi:

$y = x + 4$

Punktarnir (1, 6) og (−8, 12) eru lausnir ójöfnunnar og liggja sömu megin við markalínuna y = x + 4.

$(1, 6)$

$(−8, 12)$

$y > x + 4$

$y = x + 4$

Punktarnir (0, 0) og (−5, −15) liggja hinum megin við markalínuna og eru ekki lausnir ójöfnunnar; fyrir þá gildir y < x + 4.

$(0, 0)$

$(−5, −15)$

$y > x + 4$

$y < x + 4$

Punkturinn (2, 6) liggur á markalínunni y = x + 4, því:

$(2, 6)$

$y = x + 4$

$6 = 2 + 4$

Hann er samt ekki lausn ójöfnunnar y > x + 4, því markalínan er ekki hluti af lausnamenginu.

$y > x + 4$

Prófum punktinn (0, 10). Hann virðist vera fyrir ofan markalínuna. Setjum hnit hans inn í ójöfnuna:

$(0, 10)$

$y > x + 4$

$10 > 0 + 4$

$10 > 4$

Því er punkturinn (0, 10) lausn ójöfnunnar.

$(0, 10)$

$y > x + 4$

Allir punktar fyrir ofan markalínuna eru lausnir ójöfnunnar y > x + 4. Punktarnir (0, 0) og (−5, −15), sem eru fyrir neðan markalínuna, eru ekki lausnir.

$y > x + 4$

$(0, 0)$

$(−5, −15)$

Þar sem markalínan sjálf er ekki með í lausnamenginu er hún teiknuð slitin.

$y = x + 4$

Grafið sýnir lausnamengi ójöfnunnar:

$y > x + 4$