22.11 Teikning línulegra ójafna með tveimur breytistærðum

2.11.2 Að finna lausnir ójafna í hnitakerfi

2.11.2 • Að finna lausnir ójafna í hnitakerfi

Verkefni

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um hvernig má leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér eru fjórar ójöfnur. Skoðaðu þá ójöfnu sem hópurinn þinn fær og vinnið saman að því að:

teikna lausnasvæði hverrar ójöfnu með grafreiknitæki eða annarri tækni. Desmos-tólið er til staðar.
finna nokkrar raðaðar tvenndir sem eru lausnir ójöfnunnar.
finna nokkrar raðaðar tvenndir sem eru ekki lausnir.
merkja bæði punktasöfnin í hnitakerfið. Notið tvo mismunandi liti eða tvö mismunandi tákn, til dæmis X og O.
merkja nógu marga punkta til að sjá svæðið sem inniheldur lausnir og svæðið sem inniheldur ekki lausnir. Leitið að mynstri sem lýsir svæðinu þar sem lausnirnar liggja.

$x ≥ y$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

Graph on a coordinate plane where some solutions that satisfy a given inequality and some coordinates that are non-solutions have been plotted.

$−2y ≥ −4$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

$3x < 0$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

$x + y > 10$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

Myndband: Að finna lausnir ójafna í hnitakerfi

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um lausnir ójafna í hnitakerfi.

Sjálfspróf

Hvaða röðuð tvennd er lausn ójöfnunnar sem sýnd er á grafinu?

$y > \frac{4}{5} x - \frac{8}{5}$

$raðaða tvenndin 2, mínus 2$
$raðaða tvenndin mínus 4, 0$
$raðaða tvenndin 4, 0$
$raðaða tvenndin 0, mínus 4$

Ítarefni

Að sannreyna lausnir ójöfnu með tveimur breytum

Áður lærðir þú að leysa ójöfnur með aðeins einni breytu. Nú skoðar þú ójöfnur sem innihalda tvær breytur, sérstaklega línulegar ójöfnur með tveimur breytum. Þær líkjast mjög línulegum jöfnum með tveimur breytum.

Línulegar ójöfnur með tveimur breytum hafa mörg notagildi. Ef þú rækir fyrirtæki, til dæmis, vildir þú að tekjurnar væru meiri en kostnaðurinn svo að fyrirtækið skilaði hagnaði.

Línuleg ójafna

Línuleg ójafna er ójafna sem hægt er að skrifa á einu af eftirfarandi formum:

$Ax + By > C$

$Ax + By ≥ C$

$Ax + By < C$

$Ax + By ≤ C$

Mundu að ójafna með einni breytu hefur margar lausnir. Til dæmis er lausn ójöfnunnar

$x stærra en 3$

hvaða tala sem er stærri en 3. Á talnalínu sýnum við það með skyggingu hægra megin við 3 og opnum sviga við 3.

Á sama hátt hafa línulegar ójöfnur með tveimur breytum margar lausnir. Sérhver röðuð tvennd

$(x, y)$

sem gerir ójöfnu sanna þegar gildin eru sett inn er lausn línulegrar ójöfnu.

Lausn línulegrar ójöfnu

Röðuð tvennd er lausn línulegrar ójöfnu ef ójafnan verður sönn þegar gildin fyrir breyturnar eru sett inn.

Dæmi

Ákvarðaðu hvort hver röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar:

$y stærra en x plús 4$

$raðaða tvenndin 0, 0$

$raðaða tvenndin 1, 6$

$raðaða tvenndin 2, 6$

$raðaða tvenndin mínus 5, mínus 15$

$raðaða tvenndin mínus 8, 12$

Lausn

1. Nei. Setjum 0 inn fyrir x og 0 fyrir y.

$y > x + 4$

$0 > 0 + 4$

$0 ≯ 4$

2. Já. Setjum 1 inn fyrir x og 6 fyrir y.

$y > x + 4$

$6 > 1 + 4$

$6 > 5$

3. Nei. Setjum 2 inn fyrir x og 6 fyrir y.

$y > x + 4$

$6 > 2 + 4$

$6 ≯ 6$

4. Nei. Setjum −5 inn fyrir x og −15 fyrir y.

$y > x + 4$

$−15 > −5 + 4$

$−15 ≯ −1$

5. Já. Setjum −8 inn fyrir x og 12 fyrir y.

$y > x + 4$

$12 > −8 + 4$

$12 > −4$

22.11 Teikning línulegra ójafna með tveimur breytistærðum

2.11.2 Að finna lausnir ójafna í hnitakerfi

2.11.2 • Að finna lausnir ójafna í hnitakerfi

Verkefni

Opnaðu Desmos-leiðbeiningarnar í PDF-skjali til að fá ráð um hvernig má leysa verkefni með Desmos-grafreiknivélinni.

Hér eru fjórar ójöfnur. Skoðaðu þá ójöfnu sem hópurinn þinn fær og vinnið saman að því að:

teikna lausnasvæði hverrar ójöfnu með grafreiknitæki eða annarri tækni. Desmos-tólið er til staðar.
finna nokkrar raðaðar tvenndir sem eru lausnir ójöfnunnar.
finna nokkrar raðaðar tvenndir sem eru ekki lausnir.
merkja bæði punktasöfnin í hnitakerfið. Notið tvo mismunandi liti eða tvö mismunandi tákn, til dæmis X og O.
merkja nógu marga punkta til að sjá svæðið sem inniheldur lausnir og svæðið sem inniheldur ekki lausnir. Leitið að mynstri sem lýsir svæðinu þar sem lausnirnar liggja.

$x ≥ y$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

$−2y ≥ −4$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

$3x < 0$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

$x + y > 10$

Lausn

Berðu saman svarið þitt:

Svarið getur verið breytilegt, en hér eru nokkur dæmi.

Bláu punktarnir eru lausnir og gulu punktarnir eru ekki lausnir.

Myndband: Að finna lausnir ójafna í hnitakerfi

Horfðu á eftirfarandi myndband til að læra meira um lausnir ójafna í hnitakerfi.

Sjálfspróf

Hvaða röðuð tvennd er lausn ójöfnunnar sem sýnd er á grafinu?

$y > \frac{4}{5} x - \frac{8}{5}$

$raðaða tvenndin 2, mínus 2$
$raðaða tvenndin mínus 4, 0$
$raðaða tvenndin 4, 0$
$raðaða tvenndin 0, mínus 4$

Ítarefni

Að sannreyna lausnir ójöfnu með tveimur breytum

Línulegar ójöfnur með tveimur breytum hafa mörg notagildi. Ef þú rækir fyrirtæki, til dæmis, vildir þú að tekjurnar væru meiri en kostnaðurinn svo að fyrirtækið skilaði hagnaði.

Línuleg ójafna

Línuleg ójafna er ójafna sem hægt er að skrifa á einu af eftirfarandi formum:

$Ax + By > C$

$Ax + By ≥ C$

$Ax + By < C$

$Ax + By ≤ C$

Mundu að ójafna með einni breytu hefur margar lausnir. Til dæmis er lausn ójöfnunnar

$x stærra en 3$

hvaða tala sem er stærri en 3. Á talnalínu sýnum við það með skyggingu hægra megin við 3 og opnum sviga við 3.

Á sama hátt hafa línulegar ójöfnur með tveimur breytum margar lausnir. Sérhver röðuð tvennd

$(x, y)$

sem gerir ójöfnu sanna þegar gildin eru sett inn er lausn línulegrar ójöfnu.

Lausn línulegrar ójöfnu

Röðuð tvennd er lausn línulegrar ójöfnu ef ójafnan verður sönn þegar gildin fyrir breyturnar eru sett inn.

Dæmi

Ákvarðaðu hvort hver röðuð tvennd sé lausn ójöfnunnar:

$y stærra en x plús 4$

$raðaða tvenndin 0, 0$

$raðaða tvenndin 1, 6$

$raðaða tvenndin 2, 6$

$raðaða tvenndin mínus 5, mínus 15$

$raðaða tvenndin mínus 8, 12$

Lausn

1. Nei. Setjum 0 inn fyrir x og 0 fyrir y.

$y > x + 4$

$0 > 0 + 4$

$0 ≯ 4$

2. Já. Setjum 1 inn fyrir x og 6 fyrir y.

$y > x + 4$

$6 > 1 + 4$

$6 > 5$

3. Nei. Setjum 2 inn fyrir x og 6 fyrir y.

$y > x + 4$

$6 > 2 + 4$

$6 ≯ 6$

4. Nei. Setjum −5 inn fyrir x og −15 fyrir y.

$y > x + 4$

$−15 > −5 + 4$

$−15 ≯ −1$

5. Já. Setjum −8 inn fyrir x og 12 fyrir y.

$y > x + 4$

$12 > −8 + 4$

$12 > −4$