11.11 Tenging jafna við gröf, hluti 2

1.11.3 Að beita táknrænni og óhlutbundinni röksemdafærslu um línulegar jöfnur

1.11.3 • Að beita táknrænni og óhlutbundinni röksemdafærslu um línulegar jöfnur

Verkefni

Í spurningum 1-5 veljið hallatölu og skurðpunkt við y-ás sem passa við hverja jöfnu.

Valkostir:

A. m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1) ; B. m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1) ; C. m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2) ; D. m = −4; skurðpunktur við y-ás: (0, 8) ; E. m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

−4x + 3y = 3 ; Svar: m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

12x − 4y = 8 ; Svar: m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

8x + 2y = 16 ; Svar: m = −4; skurðpunktur við y-ás: (0, 8)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

−x + (1/3)y = 1/3

Margföldum með 3 til að sjá að jafnan jafngildir −3x + y = 1, eða y = 3x + 1.

Svar: m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

−4x + 3y = −6 ; Svar: m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2)

Að nota staðalform og skurðpunkta til að teikna graf

Staðalform er gagnlegt þegar finna þarf skurðpunkta grafs jöfnu við x-ás og y-ás.

Ax + By = C

Í spurningum 6-11 notið þið jöfnuna hér fyrir neðan.

6x − 4y = 24

Hvert er gildi y í skurðpunkti grafsins við x-ás?

Lausn

Í skurðpunkti við x-ás er y = 0.

y = 0

Hver er skurðpunktur jöfnunnar við x-ás?

Lausn

Setjum y = 0. Þá fæst 6x = 24 og x = 4, svo skurðpunkturinn er (4, 0).

(4, 0)

Hvert er gildi x í skurðpunkti grafsins við y-ás?

Lausn

Í skurðpunkti við y-ás er x = 0.

x = 0

Hver er skurðpunktur jöfnunnar við y-ás?

Lausn

Setjum x = 0. Þá fæst −4y = 24 og y = −6, svo skurðpunkturinn er (0, −6).

(0, −6)

10.

Notið grafreiknitækni eða annað tæki. Merkið skurðpunktana tvo og teiknið graf línunnar.

Lausn

Graf af línu og skurðpunktum hennar. Skurðpunktarnir eru (4, 0) og (0, −6).

11.

Notið grafið úr spurningu 10. Hver er hallatala línunnar á einfaldasta formi?

Lausn

Hallatalan er 3/2.

m = 3/2

Eruð þið tilbúin í meira?

Að víkka hugsunina

Í spurningum 1-2 notið þið jöfnurnar hér fyrir neðan. Þetta eru jöfnurnar úr verkefninu, allar á staðalformi.

Ax + By = C ; 4x − 3y = −3 ; 12x − 4y = 8 ; 8x + 2y = 16 ; 3x − y = −1 ; 4x − 3y = 6

Skoðið graf jöfnunnar −4x + 3y = 3 þegar hún er teiknuð í sama hnitakerfi og önnur lína sem fer í gegnum (0, 0) og (A, B). Í þessu dæmi er A = −4 og B = 3, svo hin línan fer í gegnum (0, 0) og (−4, 3). Hvað takið þið eftir við línurnar?

−4x + 3y = 3 ; A = −4, B = 3 ; (0, 0) og (−4, 3)

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Til dæmis má sjá að línurnar eru hornréttar hvor á aðra.

Graf með tveimur línum sem skerast. Önnur línan fer í gegnum punktana (0, 0) og (−4, 3), og hin brattari línan sker hana hornrétt. Báðir ásar og rúðunet sjást.

Notið grafreiknitækni eða annað tæki til að teikna jöfnuna sem táknar þessar aðstæður. Gerið síðan aðra athugun á línunum.

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Til dæmis má sjá að línurnar eru alltaf hornréttar hvor á aðra.

Ítarefni

Myndband: Að nota staðalform

Horfið á myndbandið til að læra meira um hvernig staðalform er notað til að finna hallatölu og skurðpunkt við y-ás.

Prófið þetta

Finnið hallatöluna fyrir jöfnuna.

5x − y = 15

Lausn

Hallatalan er 5.

Finnið skurðpunktinn við y-ás fyrir sömu jöfnu.

5x − y = 15

Svar: Skurðpunkturinn við y-ás er −15.

Útskýrið röksemdafærsluna. Hér eru tvær leiðir til að bera saman við eigið svar.

Aðferð 1: Leysið fyrir y. Fyrst er x-liðurinn dreginn frá báðum megin.

5x − 5x − y = 15 − 5x

Einföldun gefur:

−y = 15 − 5x

Deilið báðum megin með −1.

(−y)/(−1) = (15 − 5x)/(−1)

Þá fæst:

y = 5x − 15

Hallatalan er stuðullinn við x, svo hallatalan er 5. Skurðpunkturinn við y-ás er fastinn, sem er −15.

Aðferð 2: Notið staðalform. Í jöfnunni eru A = 5, B = −1 og C = 15.

5x − y = 15; A = 5, B = −1, C = 15

Fyrir jöfnu á staðalforminu Ax + By = C má finna hallatöluna með −A/B og skurðpunkt við y-ás með C/B.

hallatala = −A/B = −5/(−1) = 5 ; skurðpunktur við y-ás = C/B = 15/(−1) = −15

11.11 Tenging jafna við gröf, hluti 2

1.11.3 Að beita táknrænni og óhlutbundinni röksemdafærslu um línulegar jöfnur

1.11.3 • Að beita táknrænni og óhlutbundinni röksemdafærslu um línulegar jöfnur

Verkefni

Í spurningum 1-5 veljið hallatölu og skurðpunkt við y-ás sem passa við hverja jöfnu.

Valkostir:

A. m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1) ; B. m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1) ; C. m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2) ; D. m = −4; skurðpunktur við y-ás: (0, 8) ; E. m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

−4x + 3y = 3 ; Svar: m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

12x − 4y = 8 ; Svar: m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

8x + 2y = 16 ; Svar: m = −4; skurðpunktur við y-ás: (0, 8)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

−x + (1/3)y = 1/3

Margföldum með 3 til að sjá að jafnan jafngildir −3x + y = 1, eða y = 3x + 1.

Svar: m = 3; skurðpunktur við y-ás: (0, 1)

Finnið valkostinn sem passar við jöfnuna.

Lausn

−4x + 3y = −6 ; Svar: m = 4/3; skurðpunktur við y-ás: (0, −2)

Að nota staðalform og skurðpunkta til að teikna graf

Staðalform er gagnlegt þegar finna þarf skurðpunkta grafs jöfnu við x-ás og y-ás.

Ax + By = C

Í spurningum 6-11 notið þið jöfnuna hér fyrir neðan.

6x − 4y = 24

Hvert er gildi y í skurðpunkti grafsins við x-ás?

Lausn

Í skurðpunkti við x-ás er y = 0.

y = 0

Hver er skurðpunktur jöfnunnar við x-ás?

Lausn

Setjum y = 0. Þá fæst 6x = 24 og x = 4, svo skurðpunkturinn er (4, 0).

(4, 0)

Hvert er gildi x í skurðpunkti grafsins við y-ás?

Lausn

Í skurðpunkti við y-ás er x = 0.

x = 0

Hver er skurðpunktur jöfnunnar við y-ás?

Lausn

Setjum x = 0. Þá fæst −4y = 24 og y = −6, svo skurðpunkturinn er (0, −6).

(0, −6)

10.

Notið grafreiknitækni eða annað tæki. Merkið skurðpunktana tvo og teiknið graf línunnar.

Lausn

11.

Notið grafið úr spurningu 10. Hver er hallatala línunnar á einfaldasta formi?

Lausn

Hallatalan er 3/2.

m = 3/2

Eruð þið tilbúin í meira?

Að víkka hugsunina

Í spurningum 1-2 notið þið jöfnurnar hér fyrir neðan. Þetta eru jöfnurnar úr verkefninu, allar á staðalformi.

Ax + By = C ; 4x − 3y = −3 ; 12x − 4y = 8 ; 8x + 2y = 16 ; 3x − y = −1 ; 4x − 3y = 6

−4x + 3y = 3 ; A = −4, B = 3 ; (0, 0) og (−4, 3)

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Til dæmis má sjá að línurnar eru hornréttar hvor á aðra.

Notið grafreiknitækni eða annað tæki til að teikna jöfnuna sem táknar þessar aðstæður. Gerið síðan aðra athugun á línunum.

Lausn

Svör geta verið mismunandi. Til dæmis má sjá að línurnar eru alltaf hornréttar hvor á aðra.

Ítarefni

Myndband: Að nota staðalform

Horfið á myndbandið til að læra meira um hvernig staðalform er notað til að finna hallatölu og skurðpunkt við y-ás.

Prófið þetta

Finnið hallatöluna fyrir jöfnuna.

5x − y = 15

Lausn

Hallatalan er 5.

Finnið skurðpunktinn við y-ás fyrir sömu jöfnu.

5x − y = 15

Svar: Skurðpunkturinn við y-ás er −15.

Útskýrið röksemdafærsluna. Hér eru tvær leiðir til að bera saman við eigið svar.

Aðferð 1: Leysið fyrir y. Fyrst er x-liðurinn dreginn frá báðum megin.

5x − 5x − y = 15 − 5x

Einföldun gefur:

−y = 15 − 5x

Deilið báðum megin með −1.

(−y)/(−1) = (15 − 5x)/(−1)

Þá fæst:

y = 5x − 15

Hallatalan er stuðullinn við x, svo hallatalan er 5. Skurðpunkturinn við y-ás er fastinn, sem er −15.

Aðferð 2: Notið staðalform. Í jöfnunni eru A = 5, B = −1 og C = 15.

5x − y = 15; A = 5, B = −1, C = 15

Fyrir jöfnu á staðalforminu Ax + By = C má finna hallatöluna með −A/B og skurðpunkt við y-ás með C/B.

hallatala = −A/B = −5/(−1) = 5 ; skurðpunktur við y-ás = C/B = 15/(−1) = −15