1.11.2 Að tengja jöfnur með tveimur breytum, gröf þeirra og aðstæður
1.11.2 • Að tengja jöfnur með tveimur breytum, gröf þeirra og aðstæður
Verkefni
Í þessu verkefni notið þið tvö gröf sem tákna aðstæður sem þið hafið séð í öðrum verkefnum.
Notið grafið hér fyrir neðan í spurningum 1-3. Grafið táknar jöfnuna sem lýsir tengslum milli vatnsmagns í tanki, mælt í gallonum, og tíma í mínútum.
Hvar á grafinu sést talan 450?
Lausn
450 er þar sem grafið sker lóðrétta ásinn.
Hvar sést talan −20?
Lausn
−20 er hallatalan.
Hvað merkja tölurnar 450 og −20 í aðstæðunum sem grafið sýnir?
Lausn
Svör geta verið mismunandi. Til dæmis er 450 vatnsmagnið í tankinum við 0 mínútur, áður en byrjað er að tæma tankinn. Talan −20 merkir að vatnsmagnið í gallonum, lóðrétta gildið, minnkar um 20 fyrir hverja 1 mínútu sem bætist við tímann, lárétta gildið.
Grafið táknar jöfnu um tengsl milli punda af möndlum, punda af þurrkuðum fíkjum og upphæðarinnar í dollurum sem Clare eyddi.
Gerið ráð fyrir að bekkjarfélagi segi: „Ég er ekki viss um að grafið tákni jöfnuna 6x + 9y = 75, því ég sé hvorki 6, 9 né 75 á grafinu.“ Hvernig mynduð þið sýna bekkjarfélaganum að grafið tákni í raun þessa jöfnu?
Lausn
Svör geta verið mismunandi. Hér eru nokkrar leiðir.
Setjum 0 í stað x í jöfnunni og leysum fyrir y. Þá fæst:
Þessi samsetning er punkturinn hér fyrir neðan, skurðpunktur grafsins við y-ás.
Setjum 0 í stað y í jöfnunni og leysum fyrir x. Þá fæst x = 12,5, þannig að skurðpunkturinn við x-ás er:
Ef x- og y-gildi hvers punkts á grafinu eru sett inn í jöfnuna helst jafnan sönn.
Einnig má umrita jöfnuna og leysa fyrir y:
Talan 8 1/3 passar við skurðpunktinn við y-ás og talan −2/3 passar við hallatölu grafsins. Fyrir hver 3 pund af möndlum til viðbótar sem Clare kaupir getur hún keypt 2 pundum minna af fíkjum.
Út frá grafinu má sjá sama skurðpunkt við y-ás og sömu hallatölu, svo jafna línunnar er:
Með því að margfalda báðar hliðar jöfnunnar með 9, sem er leyfileg aðgerð, fæst jafngild jafna:
Þessa jöfnu má umrita þannig:
Ítarefni
Að finna skurðpunkta út frá gröfum og jöfnum
Punktarnir þar sem lína sker x-ásinn og y-ásinn kallast skurðpunktar línunnar við ásana.
Skoðum gröf línanna.
Takið fyrst eftir hvar hver lína sker x-ásinn. Skoðið síðan punktana þar sem línurnar skera y-ásinn.
| Mynd | Línan sker x-ásinn í | Röðuð tvennd fyrir punktinn | Línan sker y-ásinn í | Röðuð tvennd fyrir punktinn |
|---|---|---|---|---|
| Mynd (a) | 3 | (3, 0) | 6 | (0, 6) |
| Mynd (b) | 4 | (4, 0) | −3 | (0, −3) |
| Mynd (c) | 5 | (5, 0) | −5 | (0, −5) |
| Mynd (d) | 0 | (0, 0) | 0 | (0, 0) |
| Almenn mynd | a | (a, 0) | b | (0, b) |
Skurðpunktar línu við x-ás og y-ás
Skurðpunkturinn við x-ás er punkturinn þar sem línan sker x-ásinn:
Skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn þar sem línan sker y-ásinn:
Að finna skurðpunkta út frá jöfnu línu
Notið jöfnu línunnar.
Til að finna skurðpunkt línunnar við x-ás, setjið y = 0 og leysið fyrir x.
Til að finna skurðpunkt línunnar við y-ás, setjið x = 0 og leysið fyrir y.
Dæmi
Finnið skurðpunkta línunnar:
Til að finna skurðpunktinn við x-ás setjum við y = 0.
Skurðpunkturinn við x-ás er:
Til að finna skurðpunktinn við y-ás setjum við x = 0.
Skurðpunkturinn við y-ás er: