1111 Hlutabréf og verðmat hlutabréfa

11.2 Arðgreiðslulíkön (DDM)

Hæfniviðmið

Að loknum kaflahlutanum átt þú að geta:

greint og beitt arðgreiðslulíkönum (DDM).
skilgreint arðgreiðslulíkan með stöðugum vexti.
útskýrt forsendur og takmarkanir Gordon-vaxtarlíkansins.
greint og notað helstu afbrigði arðgreiðslulíkana.
metið kosti og takmarkanir arðgreiðslulíkana.

Arðgreiðslulíkanið (DDM) metur hlutabréf sem núvirði allra væntra framtíðararðgreiðslna. Með arðgreiðslu næsta árs og ávöxtunarkröfu má reikna samanlagt núvirði framtíðararðs og bera það saman við markaðsverð hlutabréfsins.

Líkanið nýtist einkum þegar arðgreiðslur eru meginástæða fjárfestingarinnar, því það sýnir hve stór hluti markaðsverðsins styðst við væntan framtíðararð. Niðurstaðan er þó háð forsendum um framtíðina sem kunna að bregðast.

Gordon-vaxtarlíkanið

Algengasta afbrigðið er Gordon-vaxtarlíkanið. Það notar arðgreiðslu næsta árs (D1), ávöxtunarkröfu (r) og áætlaðan framtíðarvöxt arðgreiðslna (g) til að meta virði hlutabréfsins. Formúlan er:

Virði hlutabréfs = \frac{D_{1}}{r - g}

11.9

Útreikningurinn byggir virðið alfarið á væntum framtíðararðgreiðslum. Samanburður reiknaða virðisins og markaðsverðsins sýnir síðan hvort kaup á ríkjandi verði uppfylli ávöxtunarkröfu fjárfestisins.

Eftir þessa grunnkynningu getum við skoðað önnur afbrigði arðgreiðslulíkansins.

Arðgreiðslulíkan án vaxtar

Arðgreiðslulíkan án vaxtar gerir ráð fyrir sömu föstu arðgreiðslu um ókomna tíð, eða að minnsta kosti allan eignarhaldstíma fjárfestisins. Innra virði hlutabréfsins fæst þá með því að deila árlegri arðgreiðslu með ávöxtunarkröfunni:

Virði hlutabréfs = \frac{Árlegar arðgreiðslur}{Ávöxtunarkrafa}

11.10

Þetta er sama formúla og notuð er til að reikna núvirði eilífrar greiðsluraðar:

Núvirði = \frac{Arðgreiðsla}{Afvöxtunarvextir}

11.11

Við verðmat hlutabréfa má rita formúluna þannig:

PV = \frac{D}{r}

11.12

Hér táknar PV verð eða virði hlutabréfsins, D arðgreiðsluna og r ávöxtunarkröfuna.

Hlutabréf sem greiðir sömu fjárhæð í arð að eilífu jafngildir eilífri greiðsluröð. Því má einnig nota formúluna við verðmat forgangshlutabréfa. Í líkani án vaxtar breytist virðið aðeins ef ávöxtunarkrafan breytist, til dæmis vegna breytts áhættumats.

Dæmi:

Hvert er innra virði hlutabréfs sem greiðir $2.00 í árlegan arð ef ávöxtunarkrafa sambærilegra fjárfestinga er 6%?

Lausn:

Setjum gildin inn í arðgreiðslulíkanið án vaxtar:

Virði hlutabréfs = \frac{$ 2.00}{0.06} = $ 33.33

11.13

Líkanið er einfalt, en meginforsenda þess er sjaldnast raunhæf: félög greiða tæplega sömu arðsfjárhæð að eilífu eða árum saman. Þegar rekstur og vöxtur félags breytist tekur arðgreiðslustefnan yfirleitt breytingum líka. Önnur DDM-afbrigði geta því hentað betur.

Arðgreiðslulíkan með stöðugum vexti

Líkan með stöðugum vexti gerir ráð fyrir að arðgreiðslur hækki árlega um sama fasta hlutfall allan eignarhaldstímann. Það er raunhæfara en núllvaxtarlíkanið að því leyti að arður getur vaxið, en stöðugt vaxtarhlutfall er engu að síður sterk forsenda. Líkanið hentar ekki félögum sem greiða engan arð og er einkum notað við verðmat þroskaðra félaga með langa og stöðuga sögu vaxandi arðgreiðslna. Niðurstaðan er núvirði óendanlegs arðgreiðsluflæðis sem vex með föstu hlutfalli.

Formúla arðgreiðslulíkans með stöðugum vexti er:

Virði hlutabréfs = \frac{D_{0} (1 + g)}{r - g} = \frac{D_{1}}{r - g}

11.14

Hér er D0 arðgreiðslan sem fékkst á yfirstandandi ári, D1 vænt arðgreiðsla næsta árs, g vaxtarhlutfall arðgreiðslna og r ávöxtunarkrafan.

Þegar formúlan er einfölduð verður hún að Gordon-vaxtarlíkaninu. Skoðum tvö dæmi.

Arðgreiðslulíkan með breytilegum eða óstöðugum vexti

Margir reyndir greiningaraðilar kjósa líkan með breytilegum vexti vegna þess að það endurspeglar raunverulega arðgreiðslustefnu félaga betur en einfaldari DDM-afbrigði. Forsendan er að félag og hlutabréfaverð þess fari í gegnum ólík vaxtarskeið.

Líkanið útvíkkar stöðuga vaxtarlíkanið með sérstökum útreikningi fyrir hvert vaxtarskeið. Núvirði hvers tímabils er reiknað og niðurstöðurnar lagðar saman til að fá innra virði hlutabréfsins. Aðferðin er umfangsmeiri en önnur DDM-líkön en oft raunhæfari og nákvæmari.

Maddox Inc. greiddi $2.00 í arð á hvern almennan hlut á síðasta ári. Félagið hyggst auka arðinn um 5% á ári næstu fjögur ár en um 3% á ári frá og með fimmta árinu. Hvert er núvirði hlutabréfsins ef ávöxtunarkrafan er 8%? Útreikningurinn er sýndur í töflu 11.1.

Ár	Vöxtur %	Arðgreiðsla ($)	Virði eftir ár 4 ($)	PV-afvöxtunarþáttur við 8%	Núvirði arðgreiðslu ($)
0	5%	2.00
1	5%	2.10		1.0800	1.9444
2	5%	2.21		1.1664	1.8904
3	5%	2.32		1.2597	1.8379
4	5%	2.43		1.3605	1.7869
5	3%	2.50	50.07886	1.4693	35.7870
					Samtals: $43.2466

Athugið:

hlutabréfs after Ár 4 = \frac{2.4310125 \times 1.03}{0.08 - 0.03} = 50.078858

11.20

Reiknað virði hlutabréfs Maddox er $43.25 á hlut.

Tveggja þrepa arðgreiðslulíkan

Tveggja þrepa arðgreiðslulíkan metur arðgreiðandi hlutabréf með því að skipta vexti arðgreiðslna í tvö skeið: fyrst meiri vöxt og síðan minni og stöðugri vöxt.

Líkanið er oft notað fyrir þroskuð félög sem hafa reglulega greitt út afgangssjóðstreymi og vaxa hóflega. Tvö vaxtarskeið endurspegla þróun slíkra félaga betur en óbreyttur vöxtur að eilífu. Til dæmis er raunhæft að 10% vöxtur lækki í 5% þegar félag verður rótgrónara. Félög með hátt arðgreiðsluhlutfall geta því hentað tveggja þrepa líkaninu vel.

Tveggja þrepa líkanið byggist á eftirfarandi forsendum:

Fyrra skeiðið einkennist af miklum upphafsvexti.
Vöxturinn færist síðan á lægra, stöðugra og sjálfbærara stig þegar félagið þroskast.
Arðgreiðsluhlutfallið ræðst af rekstrarárangri félagsins og væntum vexti starfseminnar.

Lore Ltd. áætlar 13% árlegan vöxt arðgreiðslna næstu fimm ár. Eftir það á vöxturinn að verða sjálfbær og stöðugur, 5% á ári. Arðgreiðsla yfirstandandi árs er $14 og ávöxtunarkrafan, eða afvöxtunarhlutfallið, er 12%. Hvert er núvirði hlutabréfs Lore?

Skref 1:

Fyrst reiknum við arðgreiðslu hvers árs á fyrra vaxtarskeiðinu. Út frá $14 núverandi arði og 13% vexti fást D1 til D5. Ef grunnárið er 2021 nær fyrra skeiðið til ársloka 2026, eins og mynd 11.3 sýnir.

Excel-tafla sýnir arðgreiðslur Lore Ltd. vaxa um 13% á ári, úr $14.00 árið 2021 í $25.79 árið 2026. — **Mynd 11.3.** Arðgreiðsluferill hlutabréfs til ársins 2026

Skref 2:

Þá notum við DDM til að finna lokavirðið, það er virði hlutabréfsins þegar fimm ára hávaxtarskeiðinu lýkur og stöðuga vaxtarskeiðið hefst.

DDM má beita á hvaða tímapunkti sem er. Hér lækkar vöxtur arðgreiðslna eftir fimm ár, svo við reiknum virðið í lok hávaxtarskeiðsins árið 2026. Þetta lokavirði fæst með arðgreiðslulíkani með stöðugum vexti:

{Virði hlutabréfs}_{N} = \frac{D_{N} (1 + g)}{r - g} = \frac{D_{N + 1}}{r - g}

11.21

Myndir 11.4 og 11.5 sýna útreikning lokavirðisins í Excel. Virðið í lok árs 2026 er $386.91.

Excel-tafla bætir við $27.08 arðgreiðslu árið 2027, 5% stöðugum vexti og formúlu sem reiknar lokavirði hlutabréfsins. — **Mynd 11.4.** Lokavirði í árslok 2026, reiknað með formúlu

Excel-tafla sýnir reiknað lokavirði hlutabréfs Lore Ltd., $386.91 í árslok 2026. — **Mynd 11.5.** Lokavirði í árslok 2026

Skref 3:

Reiknum núvirði arðgreiðslnanna á hávaxtarskeiðinu 2022–2026 með 12% ávöxtunarkröfu. Útreikningurinn er sýndur á mynd 11.6.

Excel-tafla sýnir núvirði arðgreiðslna Lore Ltd. árin 2022–2026, frá $14.13 til $14.64. — **Mynd 11.6.** Núvirði arðgreiðslna 2022–2026

Skref 4:

Reiknum því næst núvirði lokavirðisins sem einnar framtíðargreiðslu:

\begin{array}{l} Framtíðarvirði (FV) = 386.91 \\ Vextir (I / Y) = 12 \\ Fjöldi tímabila (N) = 5 \\ Greiðsla (PMT) = 0 \\ Reiknað núvirði (CPTPV) = 219.54 \end{array}

11.22

Samkvæmt formerkjareglu fjármálaútreikninga þarf annaðhvort að skrá FV sem neikvætt gildi eða sætta sig við að reiknað PV birtist neikvætt. Hér er FV skráð neikvætt.

Skref 5:

Innra virði hlutabréfsins í dag er summa núvirðis allra arðgreiðslna og núvirðis lokavirðisins. Formúlan er hér á eftir og mynd 11.7 sýnir alla liði útreikningsins:

Innra virði = {PV}_{Áætlaðar arðgreiðslur} + {PV}_{Lokavirði}

11.23

Excel-tafla leggur saman $71.90 núvirði arðgreiðslna og $219.54 núvirði lokavirðis; innra virði hlutabréfsins er $291.44. — **Mynd 11.7.** Innra virði hlutabréfsins

Núverandi innra virði hlutabréfs Lore er því $291.44 eftir námundun í Excel. Summuna má einnig reikna þannig:

Innra vir i = 14.13 + 14.25 + 14.38 + 14.51 + 14.64 + 219.54 = 291.45

11.24

Kostir og takmarkanir arðgreiðslulíkana

Arðgreiðslulíkön byggjast á rótgrónu núvirðishugtaki og veita samræmda stærðfræðilega aðferð við verðmat. Félög með reglulegar arðgreiðslur eru auk þess oft þroskuð og stöðug. Skýrar forsendur og formúlur draga úr svigrúmi til huglægrar túlkunar og skýra vinsældir DDM meðal greiningaraðila.

Reglulegur arður getur þó skapað þrýsting á félög um að viðhalda greiðslum þótt það þjóni ekki langtímahagsmunum þeirra. Lækkun arðs getur valdið verðsveiflum, svo stjórnendur kunna að halda arðgreiðslum uppi til að styðja hlutabréfaverðið.

Dæmið Hugtök í framkvæmd varpar nánara ljósi á takmarkanir líkansins.

Hugtök í framkvæmd

Takmarkanir arðgreiðslulíkana

Helsti annmarki DDM er að líkanið metur ekki félög sem greiða engan arð, sem er algengt meðal ungra tæknifyrirtækja. Warren Buffett, forstjóri Berkshire Hathaway, hefur bent á að félög skapi oft meira virði með því að endurfjárfesta umframfé í innviðum, nýrri tækni og arðbærum verkefnum. Arðgreiðsla sé nær síðasta úrræði stjórnenda¹ og handbært fé eigi fremur að bæta skilvirkni, styðja landfræðilega útvíkkun, þróa vöruframboð eða styrkja varanlegt samkeppnisforskot.² Berkshire, Amazon, Google og Biogen hafa fylgt slíkri endurfjárfestingarstefnu.³ Hluthafar fá þá ávinninginn sem verðhækkun og síðar söluhagnað í stað reiðufjárarðs.

Niðurstaðan er einnig mjög næm fyrir forsendum um vöxt og ávöxtunarkröfu. Breyting um eitt prósentustig í öðrum hvorum þættinum getur breytt reiknuðu hlutabréfaverði um 10–20%.

Reiknað DDM-virði endurspeglar heldur ekki endilega rekstrarárangur eða arðsemi félags. Arður ætti að byggjast á arðsemi, en félag kann að viðhalda greiðslum með auknum lántökum. Slík skuldsetning til að verja arðgreiðsluhlutfall getur grafið undan fjárhagslegum styrk til lengri tíma.

(Heimildir: www.wallstreetmojo.com/dividend-discount-model/; pages.stern.nyu.edu/~adamodar/pdfiles/valn2ed/ch13d.pdf; www.managementstudyguide.com/disadvantages-of-dividend-discount-model.htm)

Verðmat hlutabréfa við breytilegan vöxt og ólíkan eignarhaldstíma

Áður en við ljúkum umfjölluninni skulum við beita DDM í fleiri dæmum með ólíkum vaxtarhlutföllum, forsendum og eignarhaldstíma.

Virði fjáreignar er núvirði þess framtíðarsjóðstreymis sem eigandinn væntir á eignarhaldstímanum. Fyrir hlutabréf felst sjóðstreymið í arðgreiðslum og söluandvirði þegar fjárfestirinn selur hlutinn.

Skoðum einfalt verðmat á einum almennum hlut þegar framtíðararður og lokasöluverð eru þekkt.

Verkefni:

Steve hyggst kaupa almenna hluti í Old Peak Construction Company og eiga þá í fimm ár. Félagið greiðir $5.00 í árlegan reiðufjárarð á hlut hvert þessara ára.

Steve áætlar að selja hlutinn fyrir $25.00 að fimm árum liðnum. Hvert er hæsta verð sem hann ætti að greiða í dag ef ávöxtunarkrafan er 10%?

Lausn:

Verðið í dag er núvirði alls sjóðstreymis sem Steve fær á fimm ára eignarhaldstímanum. Meðhöndlum $25 lokasöluverðið sem eina framtíðargreiðslu og fimm arðgreiðslur sem annúítet. Þá má beita reglum um tímavirði peninga.

Aðferð 1: Notkun jöfnu

\begin{array}{rcl} Verð & = & Framtíðarverð \times \frac{1}{{(1 + r)}^{n}} + Arðgreiðsluflæði \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + r)}^{n}}]}{r} \\ = & $ 25.00 \times \frac{1}{{(1 + 0 . 10)}^{5}} + $ 5.00 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0 . 10)}^{5}}]}{0.10} \\ = & $ 25.00 \times 0.6209 + $ 5.00 \times 3.7908 \\ = & $ 15.52 + $ 18.95 = $ 34.47 \end{array}

11.25

Aðferð 2: Notkun fjármálareiknivélar

Verðið má einnig reikna með fjármálareiknivél eða töflureikni, eins og tafla 11.2 sýnir.

Skref	Lýsing	Fært inn	Birting
1	Hreinsa minni reiknivélar	CE/C		0.00
2	Færa inn fjölda tímabila (5)	5 N	$N =$	5.00
3	Færa inn ávöxtunarkröfu eða vexti (10%)	10 I/Y	I/Y =	10.00
4	Færa inn endanlegt söluverð ($25)	25 FV	$F V =$	25.00
5	Færa inn arðgreiðslufjárhæð ($5)	5 PMT	$P M T =$	5.00
6	Reikna núvirði	$C P T P V$	$P V =$	– 34.47

Reiknað hlutabréfaverð er $34.47.

Fjármálareiknivélin birtir niðurstöðuna með neikvæðu formerki vegna þess að kaupverð og framtíðarsjóðstreymi liggja sitt hvorum megin í sjóðstreymisreikningnum. Fjárhæð hlutabréfaverðsins er engu að síður jákvæð.

Aðferðin leggur saman núvirði arðgreiðsluflæðisins og núvirði lokasöluverðsins. Þegar arður, áætlað söluverð, sölutími og ávöxtunarkrafa eru þekkt má því verðmeta hlutabréf með svipuðum hætti og skuldabréf.

Aðferð 3: Notkun Excel

Mynd 11.8 sýnir lausn verkefnisins í Excel.

Excel-uppsetning fyrir fimm tímabil, 10% ávöxtunarkröfu, $5 árlegan arð og $25 söluverð; reiknað hlutabréfaverð er $34.48. — **Mynd 11.8.** Excel-lausn fyrir hlutabréfaverð

Svigar utan um Excel-niðurstöðuna tákna neikvætt sjóðstreymisformerki en ekki neikvætt hlutabréfaverð. Fjárhæð verðsins er $34.48. Eftirfarandi Excel-fall er notað í reit F6 til að reikna núvirðið:

=PV(rate,nper,pmt,[fv],[type])

Að finna hlutabréfaverð með föstum arðgreiðslum

Dæmi 1:

Four Seasons Resorts greiðir $0.25 í arð á ársfjórðungi og hyggst halda greiðslunni óbreyttri um ókomna tíð. Hvert er virði eins almenns hlutar ef árleg ávöxtunarkrafa er 10%?

Lausn:

Ársfjórðungsleg ávöxtunarkrafa er 2.5% (10%/4). Notum ársfjórðungslegan arð og ársfjórðungslega ávöxtunarkröfu til að reikna verðið:

\begin{array}{rcl} Verð & = & \frac{Arðgreiðsla}{r} \\ Verð & = & \frac{$ 0.25}{0.025} = $ 10.00 \end{array}

11.26

Félag kann að starfa um ókomna tíð, en fjárfestir á hlutinn aðeins í afmarkaðan tíma og á einungis rétt á arði á þeim tíma. Líkanið þarf því að taka bæði tillit til endanlegs arðgreiðsluflæðis og söluverðs við lok eignarhaldsins. Gerum ráð fyrir $1 föstum árlegum arði í 20 ár og sölu hlutabréfsins að þeim tíma liðnum.

Aðferð 1: Notkun jöfnu

Verðmat með endanlegum tíma byggist fyrst á kunnuglegri formúlu fyrir núvirði annúítets:

Vir i framt arar grei slna fyrir tiltekin t mabil = Ar grei sla PVIFA (N vir isvaxta ttur ann tets)

11.27

\begin{array}{rcl} Arðgreiðsluflæði \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + r)}^{n}}]}{r} & = & $ 1.00 \times \frac{[1 - \frac{1}{{(1 + 0 . 10)}^{20}}]}{0.10} \\ = & $ 1.00 \times 8.5136 = $ 8.51 \begin{array}{l}  \end{array} \end{array}

11.28

Síðan þarf að áætla söluverðið eftir 20 ár. Slík spá er óviss, en í dæminu gerum við ráð fyrir $30 söluverði. Núvirði þess við 10% afvöxtunarhlutfall fæst með venjulegri PV-formúlu:

\begin{array}{rcl} PV & = & \frac{{Verð}_{20}}{{(1 + r)}^{20}} = \frac{$ 30}{{(1.10)}^{20}} = $ 4.46 \end{array}

11.29

Hlutabréfið má nú meta líkt og skuldabréf með 20 ára greiðsluflæði, $30 lokagreiðslu og 10% ávöxtunarkröfu:

Arðgreiðsluflæðið samsvarar vaxtagreiðslum skuldabréfs.
Söluverðið samsvarar endurgreiðslu höfuðstóls skuldabréfs.
Tuttugu ára eignarhaldstíminn samsvarar lánstíma skuldabréfsins.
Ávöxtunarkrafan gegnir sama hlutverki og ávöxtunarkrafa skuldabréfs.

Núvirðisútreikningurinn gefur:

\begin{array}{rcl} Verð & = & $ 30 \times \frac{1}{{(1 + 0.10)}^{20}} + \frac{[$ 1.00 \times 1 - \frac{1}{{(1 + 0.10)}^{20}}]}{0.10} \\ = & $ 4.46 + $ 8.51 = $ 12.97 \end{array}

11.30

Aðferð 2: Notkun fjármálareiknivélar

Tafla 11.3 sýnir einnig útreikning verðsins með fjármálareiknivél eða töflureikni.

Skref	Lýsing	Fært inn	Birting
1	Hreinsa minni reiknivélar	CE/C		0.00
2	Færa inn fjölda tímabila (20)	20 N	$N =$	20.00
3	Færa inn ávöxtunarkröfu eða vexti (10%)	10 I/Y	I/Y =	10.00
4	Færa inn endanlegt söluverð (30)	30 FV	$F V =$	30.00
5	Færa inn arðgreiðslufjárhæð ($1)	1 PMT	$P M T =$	1.00
6	Reikna núvirði	$C P T P V$	$P V =$	−12.97

Reiknað hlutabréfaverð er $12.97.

Aðferð 3: Notkun Excel

Mynd 11.9 sýnir lausn sama verkefnis í Excel.

Excel-uppsetning fyrir 20 tímabil, 10% ávöxtunarkröfu, $1 árlegan arð og $30 söluverð; reiknað hlutabréfaverð er $12.97. — **Mynd 11.9.** Excel-lausn fyrir hlutabréfaverð með föstum arði

Neikvæða formerkið í Excel lýsir stefnu sjóðstreymisins, ekki neikvæðu virði hlutabréfsins. Verðið er $12.97. Eftirfarandi Excel-fall í reit F13 reiknar núvirðið:

=PV(rate,nper,pmt,[fv],[type])

Dæmi 2:

Metum hlutabréf þegar arðgreiðslur eiga að vaxa um 10.44% á ári um ókomna tíð og ávöxtunarkrafan er 13.5%. Núverandi eigandi hefur þegar fengið síðustu arðgreiðslu, D0. Kaupandinn fær því fyrst D1 eftir eitt heilt tímabil og síðan allar síðari greiðslur. Verð0, verðið í dag, er núvirði þessa framtíðarflæðis:

{P r i c e}_{0} = \frac{D_{0} \times {(1 + g)}^{1}}{{(1 + r)}^{1}} + \frac{D_{0} \times {(1 + g)}^{2}}{{(1 + r)}^{2}} + \frac{D_{0} \times {(1 + g)}^{3}}{{(1 + r)}^{3}} + \frac{D_{0} \times {(1 + g)}^{4}}{{(1 + r)}^{4}} \dots

11.31

Hér er g árlegt vaxtarhlutfall arðgreiðslna og r ávöxtunarkrafan. Jöfnuna má einfalda þannig:

\begin{array}{rcl} {Verð}_{0} & = & \frac{D_{0} \times (1 + g)}{r - g} \\ D_{1} & = & D_{0} \times (1 + g) \\ {Verð}_{0} & = & \frac{D_{1}}{r - g} \end{array}

11.32

Gordon-vaxtarlíkanið er grunnlíkan fyrir hlutabréf með arðgreiðslur sem vaxa með föstu hlutfalli um ókomna tíð. Í dæminu er síðasta arðgreiðsla D0 = $1.76, g = 10.44% og r = 13.5%. Setjum gildin í núvirðisjöfnuna:

\begin{array}{rcl} {Verð}_{0} & = & \frac{$ 1 . 76 \times (1 + 0 . 1044)}{0 . 135 - 0 . 1044} = \frac{$ 1 . 943774}{0.0306} = $ 63.52 \end{array}

11.33

Reiknað verð er $63.52. Formúlan krefst þess að r sé hærra en g. Ef g væri jafnt eða hærra yrði nefnarinn núll eða neikvæður og líkanið gæfi ekkert merkingarbært verð.

Næsta dæmi notar aðra arðgreiðslusögu og sýnir flýtiaðferð til að áætla g. Annar kostur væri að reikna prósentubreytingu hvers árs og taka meðaltal breytinganna yfir tíu ár.

Að áætla hlutabréfaverð út frá fyrra arðgreiðslumynstri

Verkefni:

Phased Solutions Inc. greiddi eftirfarandi arð á hlut á árunum 2011–2020:

2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
$0.700	$0.800	$0.925	$1.095	$1.275	$1.455	$1.590	$1.795	$1.930	$2.110

Þú hyggst eiga hlutinn í 10 ár, telur að arðgreiðslumynstrið haldist til framtíðar og krefst 17% ávöxtunar. Hvert er hæsta verð sem þú myndir greiða fyrir hlut í Phased Solutions 1. janúar 2021?

Lausn:

Fyrst áætlum við árlegan vöxt arðgreiðslna út frá fyrstu og síðustu greiðslu tímabilsins. Upphafsgreiðslan, eða PV, er $0.70, lokagreiðslan, eða FV, er $2.11 og níu breytingar eru milli þeirra. Með jöfnu tímavirðis peninga fæst rúmfræðilegt meðalvaxtarhlutfall:

\begin{array}{rcl} g & = & {(\frac{FV}{PV})}^{\frac{1}{n}} - 1 \\ = & {(\frac{$ 2 . 11}{$ 0 . 70})}^{\frac{1}{9}} - 1 = {3.0142857}^{\frac{1}{9}} - 1 \\ = & 0.1304, eða 13.04% \end{array}

11.34

Tafla 11.5 sýnir hvernig vaxtarhlutfallið er reiknað með fjármálareiknivél.

Skref	Lýsing	Fært inn	Birting
1	Hreinsa minni reiknivélar	CE/C		0.0000
2	Færa inn fjölda tímabila (9)	9 N	$N =$	9.0000
3	Færa inn núvirði eða upphaflega arðgreiðslu ($0.70) sem neikvætt gildi	0.7 +\|- PV	$P V =$	-0.7000
4	Færa inn framtíðarvirði eða nýjustu arðgreiðslu ($2.11)	2.11 FV	$F V =$	2.1100
5	Færa inn núllgildi fyrir greiðslu sem staðgengil, þar sem þessi þáttur er ekki notaður hér	0 PMT	$P M T$	0.0000
6	Reikna árlegt vaxtarhlutfall	CPT I/Y	I/Y =	13.0427

Reiknað árlegt vaxtarhlutfall er 13.04%.

Mynd 11.10 sýnir samsvarandi útreikning í Excel.

Excel-uppsetning reiknar árlegt vaxtarhlutfall arðgreiðslna úr $0.70 í $2.11 á níu tímabilum; niðurstaðan er 13.0427%. — **Mynd 11.10.** Excel-lausn fyrir vaxtarhlutfall arðgreiðslna

Eftirfarandi Excel-fall í reit G22 reiknar vaxtarhlutfallið:

=RATE(nper,pmt,pv,[fv],[type],[guess])

Tvær aðferðir má nota til að áætla g. Reikningslegt meðaltal fæst með því að reikna breytingu hvers árs og taka einfalt meðaltal. Rúmfræðilegt meðaltal notar fyrstu og síðustu greiðslu og tekur tillit til vaxtavaxta. Aðferðirnar samsvara því einföldum vöxtum annars vegar og vaxtavöxtum hins vegar.

Gordon-formúlan gerir ráð fyrir arðgreiðslum um ókomna tíð. Fyrir afmarkaðan eignarhaldstíma má laga hana þannig að hún reikni núvirði vaxandi arðgreiðslna fram að sölu. Þá þarf einnig að áætla söluverðið við lok tímabilsins. Endanlegt vaxandi arðgreiðsluflæði er reiknað þannig:

{Verð}_{0} = D_{0} \times \frac{1 + g}{r - g} \times [1 - {(\frac{1 + g}{1 + r})}^{n}]

11.35

Hér er n fjöldi framtíðararðgreiðslna á eignarhaldstímanum.

Hægri liður jöfnunnar ákvarðar þann hluta óendanlega arðgreiðsluflæðisins sem fjárfestir fær áður en hluturinn er seldur í lok árs n. Ef Johnson & Johnson er selt eftir 10 ár fæst eftirfarandi hlutfall af $60.23 heildarvirðinu:

\begin{array}{rcl} 10 ár: Hlutfall & = & 1 - {(\frac{1 + 0 . 1304}{1 + 0.170})}^{10} \\ = & 1 - {0.966154}^{10} = 1 - 0.7087 = 0.2913 \end{array}

11.36

Margföldum hlutfallið með virði óendanlega flæðisins:

\begin{array}{rcl} Verð & = & $ 60.23 \times 0.2913 = $ 17.55 \end{array}

11.37

Til að fá verðið í dag þarf einnig að áætla söluverðið eftir 10 ár, afvaxta það með 17% og leggja það við núvirði arðgreiðslnanna. Söluverðið ræðst af því virði sem eftirstandandi arðgreiðslur hafa fyrir kaupandann á þeim tíma.

Áætlunin krefst arðgreiðslu eftir 10 ár, áframhaldandi vaxtar og ávöxtunarkröfu nýja eigandans. Gerum ráð fyrir að r haldist 17% og g haldist 13.04%. Arðgreiðslan eftir 10 ár er:

\begin{array}{rcl} D_{10} & = & $ 2.11 \times {(1.1304)}^{10} = $ 2.11 \times 3.4066 = $ 7.1879 \end{array}

11.38

Söluverðið eftir 10 ár fæst síðan með Gordon-vaxtarlíkaninu:

Verðið í dag er núvirði vaxandi arðgreiðslna í 10 ár og $258.10 söluverðs í lok tímabilsins, miðað við 17% ávöxtunarkröfu:

\begin{array}{rcl} Verð & = & \frac{$ 205 . 18}{{(1.1700)}^{10}} + \frac{$ 2 . 11 \times (1 + 0.1304)}{(0 . 1700 - 0.1304)} \times [1 - {(\frac{1 + 0 . 1304}{1 + 0 . 1700})}^{10}] \\ = & $ 42.68 + $ 17.55 = $ 60.23 \end{array}

11.39

Bæði óendanlega líkanið og líkanið með 10 ára eignarhaldi gefa $60.23. Ástæðan er að bæði ávöxtunarkrafan, 17%, og vöxtur arðgreiðslna, 13.04%, haldast óbreytt fyrir núverandi og framtíðareigendur. Við þær forsendur jafngildir söluverðið virði arðgreiðsluflæðisins sem kaupandinn tekur við.

Niðurstaðan sýnir kjarnann í arðgreiðslulíkaninu: hlutabréfaverð er núvirði framtíðararðgreiðslna. Við sölu kaupir næsti eigandi þann hluta flæðisins sem eftir er, og sama gildir við hverja síðari sölu.

Hugleiddu þetta

Arðgreiðslur með óstöðugum vexti

11.6.

Ef arðgreiðslur eru hvorki fastar né vaxa með föstu hlutfalli þarf yfirleitt að áætla og afvaxta hverja greiðslu sérstaklega. Stundum má þó greina skeið í flæðinu og nota viðeigandi arðgreiðslulíkan fyrir þann hluta þess. Skoðum dæmi.

JM and Company er lítið sprotafyrirtæki sem greiðir fyrsta arðinn, $0.25, í lok þessa árs. Arðurinn á að verða $0.50 í lok annars árs, $1.50 í lok þess þriðja og $3.00 í lok þess fjórða. Eftir það á hann að vaxa um 5% á ári, eins og tafla 11.6 sýnir. Hvert er virði hlutabréfsins ef arðgreiðslurnar standast og ávöxtunarkrafan er 13%?

T1	T2	T3	T4
$0.25	$0.50	$1.50	$ ⁢ 3 . 0 0 ⁢ $\times ⁠$ ⁢ 1 . 0 5 $ ⁢ 3.00 ⁢ $\times ⁠$ ⁢ 1.05

Lausn

Lausn: Afvöxtum fyrst þrjár óreglulegu arðgreiðslurnar með 13%. Síðan metum við stöðuga vaxtarflæðið við lok fjórða árs og afvöxtum það virði til dagsins í dag:

\begin{array}{rcl} PV & = & \frac{$ 0 . 25}{1.13} + \frac{$ 0 . 50}{1.13} + \frac{$ 1 . 50}{1.13} \\ = & $ 0.22 + $ 0.39 + $ 1.04 = $ 1.65 \end{array}

11.40

Nú reiknum við virði arðgreiðsluflæðisins sem vex um 5% á ári um ókomna tíð:

{P r i c e}_{6} = \frac{$ 3.00 \times (1 + 0.05)}{0.13 - 0.05} = \frac{$ 3.15}{0.08} = $ 39.375

11.41

Niðurstaðan er virði stöðuga vaxtarhlutans við lok fjórða árs. Það þarf því að afvaxta um fjögur tímabil með 13% ávöxtunarkröfu:

Verð = \frac{$ 39.375}{{(1.13)}^{4}} = $ 24.15

11.42

Virði hlutabréfsins með breytilegu arðgreiðslumynstri er því:

Verð = $ 1.65 + $ 24.15 = $ 25.80

11.43

Lokaorð um arðgreiðslulíkön

Verðmatið byggist á væntum framtíðararði og væntum vexti hans. DDM hentar því best félögum með langa og samfellda arðgreiðslusögu.

Sé líkaninu beitt á félag með stutta arðgreiðslusögu eða í atvinnugrein þar sem áhætta getur raskað greiðslugetu verða forsendurnar veikari og reiknað virði óáreiðanlegra.

Öll arðgreiðslulíkön byggjast á sama grunnhugtaki: virði fjáreignar ræðst af framtíðarsjóðstreymi sem eigandinn á rétt á og ávöxtunarkröfunni sem notuð er til að afvaxta það. Helsta óvissan felst í að spá tímasetningu og fjárhæð framtíðargreiðslnanna.