22 Línuleg föll

Lykilatriði

2.1 Línuleg föll

Röðuðu pörin sem línulegt fall gefur samsvara punktum á línu.
Línuleg föll má setja fram með orðum, fallarithætti, töflu og grafi. Sjá dæmi 1.
Breytingarhraði línulegs falls nefnist einnig hallatala.
Jafna á hallatöluformi línu inniheldur hallatölu og upphafsgildi fallsins.
Upphafsgildið, það er y-hnit skurðpunktsins við lóðrétta ásinn, er úttaksgildið þegar inntak línulegs falls er núll. Það er y-gildi punktsins þar sem línan sker y-ásinn.
Vaxandi línulegt fall gefur graf sem hallar upp frá vinstri til hægri og hefur jákvæða hallatölu.
Minnkandi línulegt fall gefur graf sem hallar niður frá vinstri til hægri og hefur neikvæða hallatölu.
Fastafall gefur graf sem er lárétt lína.
Með því að greina hallatöluna í samhengi við verkefnið má sjá hvort línulegt fall er vaxandi, minnkandi eða fast. Sjá dæmi 2.
Hallatölu línulegs falls má reikna með því að deila mismuni y-gilda með mismuni samsvarandi x-gilda tveggja punkta á línunni, hvaða punkta sem er. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Ákvarða má hallatölu og upphafsgildi út frá grafi eða tveimur hvaða punktum sem er á línunni.
Ein gerð fallaritháttar er hallatöluform jöfnu.
Punkthallaformið nýtist til að finna línulega jöfnu þegar hallatala línu og einn punktur eru gefin. Sjá dæmi 5.
Punkthallaformið hentar einnig til að finna línulega jöfnu þegar gefnir eru tveir punktar sem lína fer í gegnum. Sjá dæmi 6.
Skrifa má jöfnu línulegs falls ef hallatalan $m$ og upphafsgildið $b$ eru þekkt. Sjá dæmi 7, dæmi 8 og dæmi 9.
Nota má línulegt fall til að leysa raunhæf viðfangsefni. Sjá dæmi 10 og dæmi 11.
Skrifa má línulegt fall út frá töflu. Sjá dæmi 12.

2.2 Gröf línulegra falla

Teikna má gröf línulegra falla með því að merkja inn punkta eða nota y-skurðpunktinn og hallatöluna. Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
Ummynda má gröf línulegra falla með hliðrun upp, niður, til vinstri eða hægri og einnig með teygju, þjöppun og speglun. Sjá dæmi 3.
Nota má y-skurðpunkt og hallatölu línu til að skrifa jöfnu hennar.
Skurðpunkturinn við x-ás er punkturinn þar sem graf línulegs falls sker x-ásinn. Sjá dæmi 4 og dæmi 5.
Láréttar línur eru skrifaðar á forminu $f (x) = b .$ Sjá dæmi 6.
Lóðréttar línur eru skrifaðar á forminu $x = b .$ Sjá dæmi 7.
Samsíða línur sem eru ekki lóðréttar hafa sömu hallatölu.
Hallatölur hornréttra lína hafa gagnstætt formerki og andhverft tölugildi, að því gefnu að hvorug línan sé lóðrétt. Sjá dæmi 8.
Finna má línu sem er samsíða annarri línu og fer um tiltekinn punkt með því að setja hallatölu línunnar og x- og y-hnit gefna punktsins inn í jöfnuna $f (x) = m x + b,$ og nota gildið $b$ sem fæst. Einnig má nota punkthallaform jöfnu. Sjá dæmi 9.
Finna má línu sem er hornrétt á aðra línu og fer um tiltekinn punkt með sömu aðferð, nema nota þarf hallatölu með gagnstæðu formerki og andhverfu tölugildi. Sjá dæmi 10 og dæmi 11.
Þegar báðar jöfnur hneppis hafa verið leystar fyrir y má setja stæðurnar fyrir y jafnar hvor annarri og leysa fyrir $x .$ Finna má y-gildið með því að reikna gildi annarrar hvorrar upprunalegu jöfnunnar fyrir þetta x-gildi.
Einnig má leysa hneppi línulegra jafna með því að finna skurðpunkt línanna á grafi. Sjá dæmi 12 og dæmi 13.

2.3 Líkanagerð með línulegum föllum

Við getum notað sömu lausnaraðferðir og við myndum nota fyrir hvers konar fall.
Þegar verkefni er sett fram með líkani og leyst skuluð þið skilgreina breyturnar og leita að lykilgildum, þar á meðal hallatölu og y-skurðpunkti. Sjá dæmi 1.
Teiknið skýringarmynd þegar það á við. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
Athugið hvort svarið sé raunhæft.
Byggja má línuleg líkön með því að finna eða reikna hallatöluna og nota y-skurðpunktinn.
Finna má x-skurðpunktinn með því að setja $y = 0,$ sem jafngildir því að setja stæðuna $m x + b$ jafna 0.
Skurðpunktur hneppis línulegra jafna er punkturinn þar sem x- og y-hnitin eru þau sömu fyrir báðar línurnar. Sjá dæmi 4.
Nota má graf hneppisins til að finna hvar önnur línan liggur neðan við eða ofan við hina.

2.4 Aðlögun línulegra líkana að gögnum

Dreifirit sýna samband milli tveggja gagnasafna. Sjá dæmi 1.
Dreifirit geta sýnt línuleg eða ólínuleg líkön.
Áætla eða reikna má línuna sem fellur best að gögnunum með reiknivél eða tölfræðiforriti. Sjá dæmi 2.
Nota má brúun til að spá gildum innan skilgreiningarmengis og myndmengis gagnanna en framreikning til að spá gildum utan þeirra. Sjá dæmi 3.
Fylgnistuðullinn, $r,$ gefur til kynna hve sterk línuleg vensl eru milli gagnanna. Sjá dæmi 5.
Aðhvarfslína fellur best að gögnunum. Sjá dæmi 6.
Aðhvarfslína minnstu kvaðrata fæst með því að lágmarka summu kvaðraðra lóðréttra fjarlægða gagnapunkta frá línu sem liggur um gögnin. Nota má línuna til að spá fyrir um hvora breytu sem er. Sjá dæmi 4.

22 Línuleg föll

Lykilatriði

2.1 Línuleg föll

Röðuðu pörin sem línulegt fall gefur samsvara punktum á línu.
Línuleg föll má setja fram með orðum, fallarithætti, töflu og grafi. Sjá dæmi 1.
Breytingarhraði línulegs falls nefnist einnig hallatala.
Jafna á hallatöluformi línu inniheldur hallatölu og upphafsgildi fallsins.
Upphafsgildið, það er y-hnit skurðpunktsins við lóðrétta ásinn, er úttaksgildið þegar inntak línulegs falls er núll. Það er y-gildi punktsins þar sem línan sker y-ásinn.
Vaxandi línulegt fall gefur graf sem hallar upp frá vinstri til hægri og hefur jákvæða hallatölu.
Minnkandi línulegt fall gefur graf sem hallar niður frá vinstri til hægri og hefur neikvæða hallatölu.
Fastafall gefur graf sem er lárétt lína.
Með því að greina hallatöluna í samhengi við verkefnið má sjá hvort línulegt fall er vaxandi, minnkandi eða fast. Sjá dæmi 2.
Hallatölu línulegs falls má reikna með því að deila mismuni y-gilda með mismuni samsvarandi x-gilda tveggja punkta á línunni, hvaða punkta sem er. Sjá dæmi 3 og dæmi 4.
Ákvarða má hallatölu og upphafsgildi út frá grafi eða tveimur hvaða punktum sem er á línunni.
Ein gerð fallaritháttar er hallatöluform jöfnu.
Punkthallaformið nýtist til að finna línulega jöfnu þegar hallatala línu og einn punktur eru gefin. Sjá dæmi 5.
Punkthallaformið hentar einnig til að finna línulega jöfnu þegar gefnir eru tveir punktar sem lína fer í gegnum. Sjá dæmi 6.
Skrifa má jöfnu línulegs falls ef hallatalan $m$ og upphafsgildið $b$ eru þekkt. Sjá dæmi 7, dæmi 8 og dæmi 9.
Nota má línulegt fall til að leysa raunhæf viðfangsefni. Sjá dæmi 10 og dæmi 11.
Skrifa má línulegt fall út frá töflu. Sjá dæmi 12.

2.2 Gröf línulegra falla

Teikna má gröf línulegra falla með því að merkja inn punkta eða nota y-skurðpunktinn og hallatöluna. Sjá dæmi 1 og dæmi 2.
Ummynda má gröf línulegra falla með hliðrun upp, niður, til vinstri eða hægri og einnig með teygju, þjöppun og speglun. Sjá dæmi 3.
Nota má y-skurðpunkt og hallatölu línu til að skrifa jöfnu hennar.
Skurðpunkturinn við x-ás er punkturinn þar sem graf línulegs falls sker x-ásinn. Sjá dæmi 4 og dæmi 5.
Láréttar línur eru skrifaðar á forminu $f (x) = b .$ Sjá dæmi 6.
Lóðréttar línur eru skrifaðar á forminu $x = b .$ Sjá dæmi 7.
Samsíða línur sem eru ekki lóðréttar hafa sömu hallatölu.
Hallatölur hornréttra lína hafa gagnstætt formerki og andhverft tölugildi, að því gefnu að hvorug línan sé lóðrétt. Sjá dæmi 8.
Finna má línu sem er samsíða annarri línu og fer um tiltekinn punkt með því að setja hallatölu línunnar og x- og y-hnit gefna punktsins inn í jöfnuna $f (x) = m x + b,$ og nota gildið $b$ sem fæst. Einnig má nota punkthallaform jöfnu. Sjá dæmi 9.
Finna má línu sem er hornrétt á aðra línu og fer um tiltekinn punkt með sömu aðferð, nema nota þarf hallatölu með gagnstæðu formerki og andhverfu tölugildi. Sjá dæmi 10 og dæmi 11.
Þegar báðar jöfnur hneppis hafa verið leystar fyrir y má setja stæðurnar fyrir y jafnar hvor annarri og leysa fyrir $x .$ Finna má y-gildið með því að reikna gildi annarrar hvorrar upprunalegu jöfnunnar fyrir þetta x-gildi.
Einnig má leysa hneppi línulegra jafna með því að finna skurðpunkt línanna á grafi. Sjá dæmi 12 og dæmi 13.

2.3 Líkanagerð með línulegum föllum

Við getum notað sömu lausnaraðferðir og við myndum nota fyrir hvers konar fall.
Þegar verkefni er sett fram með líkani og leyst skuluð þið skilgreina breyturnar og leita að lykilgildum, þar á meðal hallatölu og y-skurðpunkti. Sjá dæmi 1.
Teiknið skýringarmynd þegar það á við. Sjá dæmi 2 og dæmi 3.
Athugið hvort svarið sé raunhæft.
Byggja má línuleg líkön með því að finna eða reikna hallatöluna og nota y-skurðpunktinn.
Finna má x-skurðpunktinn með því að setja $y = 0,$ sem jafngildir því að setja stæðuna $m x + b$ jafna 0.
Skurðpunktur hneppis línulegra jafna er punkturinn þar sem x- og y-hnitin eru þau sömu fyrir báðar línurnar. Sjá dæmi 4.
Nota má graf hneppisins til að finna hvar önnur línan liggur neðan við eða ofan við hina.

2.4 Aðlögun línulegra líkana að gögnum

Dreifirit sýna samband milli tveggja gagnasafna. Sjá dæmi 1.
Dreifirit geta sýnt línuleg eða ólínuleg líkön.
Áætla eða reikna má línuna sem fellur best að gögnunum með reiknivél eða tölfræðiforriti. Sjá dæmi 2.
Nota má brúun til að spá gildum innan skilgreiningarmengis og myndmengis gagnanna en framreikning til að spá gildum utan þeirra. Sjá dæmi 3.
Fylgnistuðullinn, $r,$ gefur til kynna hve sterk línuleg vensl eru milli gagnanna. Sjá dæmi 5.
Aðhvarfslína fellur best að gögnunum. Sjá dæmi 6.
Aðhvarfslína minnstu kvaðrata fæst með því að lágmarka summu kvaðraðra lóðréttra fjarlægða gagnapunkta frá línu sem liggur um gögnin. Nota má línuna til að spá fyrir um hvora breytu sem er. Sjá dæmi 4.