Ákvarða hvort línulegt fall sé vaxandi, minnkandi eða fast.
Reikna og túlka hallatölu.
Rita punkthallaform jöfnu.
Rita og túlka línulegt fall.
Mynd 1. Shanghai-segullestin (heimild: „kanegen“/Flickr)
Rétt eins og við vöxt bambusplöntu koma margar aðstæður við sögu þar sem breytingar eru jafnar yfir tíma. Skoðum til dæmis fyrstu segullest heims í farþegaflutningum, Shanghai-segullestina (mynd 1). Hún flytur farþega á þægilegan hátt 30 kílómetra leið frá flugvellinum að neðanjarðarlestarstöðinni á aðeins átta mínútum.2
Gerum ráð fyrir að segullest fari langa vegalengd og haldi jöfnum hraða, 83 metrum á sekúndu, um tíma eftir að hún er komin 250 metra frá stöðinni. Hvernig getum við greint fjarlægð lestarinnar frá stöðinni sem fall af tíma? Í þessum hluta könnum við fallagerð sem nýtist í þessu skyni og notum hana til að rannsaka aðstæður úr raunveruleikanum, svo sem fjarlægð lestarinnar frá stöðinni á tilteknum tíma.
Framsetning línulegra falla
Fallið sem lýsir hreyfingu lestarinnar er línulegt fall. Það er skilgreint sem fall með jöfnum breytingarhraða, það er margliða af stigi 1. Línulegt fall má setja fram á ýmsa vegu, meðal annars með orðum, fallatáknun, töflu og grafi. Við lýsum hreyfingu lestarinnar sem falli með hverri þessara aðferða.
Línulegt fall sett fram með orðum
Byrjum á að lýsa línulega fallinu með orðum. Fallavenslunum í lestarverkefninu hér að framan má lýsa með eftirfarandi setningu.
Fjarlægð lestarinnar frá stöðinni er fall af þeim tíma sem lestin ekur á jöfnum hraða, að viðbættri upphaflegri fjarlægð hennar frá stöðinni þegar hún tók að aka á þessum hraða.
Hraðinn er breytingarhraðinn. Munið að breytingarhraði mælir hversu hratt háða breytan breytist miðað við óháðu breytuna. Breytingarhraðinn í þessu dæmi er jafn, sem merkir að hann er sá sami fyrir hvert inntaksgildi. Þegar tíminn (inntakið) eykst um 1 sekúndu eykst samsvarandi fjarlægð (úttakið) um 83 metra. Lestin tók að aka á þessum jafna hraða þegar hún var 250 metra frá stöðinni.
Línulegt fall sett fram með fallatáknun
Önnur leið til að setja línuleg föll fram er að nota fallatáknun. Dæmi um fallatáknun er jafna rituð á svonefndu hallatöluformi línu, þar sem er inntaksgildið, er breytingarhraðinn og er upphafsgildi háðu breytunnar.
Í dæminu um lestina gætum við notað táknunina
þar sem heildarfjarlægðin
er fall af tímanum
Breytingarhraðinn,
er 83 metrar á sekúndu. Upphafsgildi háðu breytunnar,
, er upphafleg fjarlægð frá stöðinni, 250 metrar. Við getum ritað almenna jöfnu sem lýsir hreyfingu lestarinnar.
Línulegt fall sett fram með töflu
Þriðja leiðin til að setja línulegt fall fram er að nota töflu. Venslin milli fjarlægðarinnar frá stöðinni og tímans eru sýnd á mynd 2. Af töflunni sjáum við að fjarlægðin breytist um 83 metra í hvert sinn sem tíminn eykst um 1 sekúndu.
Mynd 2. Töfluframsetning fallsins D með völdum inntaks- og úttaksgildum
Línulegt fall sett fram með grafi
Enn ein leið til að setja línuleg föll fram er sjónræn, með grafi. Við getum notað fallavenslin hér að framan, til að teikna grafið sem sýnt er á mynd 3. Takið eftir að grafið er lína. Graf línulegs falls er alltaf lína.
Hinn jafni breytingarhraði ákvarðar halla línunnar, það er hallatölu hennar. Punkturinn þar sem inntaksgildið er núll er skurðpunktur línunnar við lóðrétta ásinn, það er y-ásinn. Af grafinu á mynd 3 sjáum við að skurðpunkturinn við y-ás í lestardæminu er
og táknar fjarlægð lestarinnar frá stöðinni þegar hún tók að aka á jöfnum hraða.
Mynd 3. Graf fallsins Gröf línulegra falla eru línur vegna þess að breytingarhraðinn er jafn.
Takið eftir að graf lestardæmisins er takmarkað, en svo er ekki alltaf. Skoðum graf línunnar
Hvaða tölur má setja inn í fallið, það er hvert er skilgreiningarmengi þess? Skilgreiningarmengið er mengi allra rauntalna, því margfalda má hvaða tölu sem er með tveimur og bæta síðan einum við margfeldið.
Dæmi 1
Línulegt fall notað til að finna þrýsting á kafara
Þrýstingurinn,
mældur í pundum á fertommu (PSI), sem verkar á kafarann á mynd 4 er háður dýpi hennar undir vatnsyfirborðinu, mældu í fetum. Líkana má þessi vensl með jöfnunni Lýsið fallinu með orðum.
Mynd 4. (heimild: Ilse Reijs og Jan-Noud Hutten)
Lausn
Til að lýsa fallinu með orðum þurfum við að lýsa hverjum hluta jöfnunnar. Þrýstingurinn sem fall af dýpi fæst með því að margfalda dýpið með 434 þúsundustu hlutum og bæta 14 og 696 þúsundustu hlutum við.
Greining
Upphafsgildið 14,696 er þrýstingurinn í PSI sem verkar á kafarann á 0 feta dýpi, það er við vatnsyfirborðið. Breytingarhraðinn, eða hallatalan, er 0,434 PSI á hvert fet. Það segir okkur að þrýstingurinn á kafarann eykst um 0,434 PSI í hvert sinn sem dýpi hennar eykst um eitt fet.
Ákvörðun um hvort línulegt fall sé vaxandi, minnkandi eða fast
Línulegu föllin í dæmunum tveimur hér að framan jukust yfir tíma, en það á ekki við um öll línuleg föll. Línulegt fall getur verið vaxandi, minnkandi eða fast. Ef um er að ræða vaxandi fall, eins og í lestardæminu, hækka úttaksgildin þegar inntaksgildin hækka. Graf vaxandi falls hefur jákvæða hallatölu. Lína með jákvæða hallatölu hallar upp á við frá vinstri til hægri eins og á mynd 5(a). Ef um er að ræða minnkandi fall er hallatalan neikvæð. Úttaksgildin lækka þegar inntaksgildin hækka. Lína með neikvæða hallatölu hallar niður á við frá vinstri til hægri eins og á mynd 5(b). Ef fallið er fast eru úttaksgildin þau sömu fyrir öll inntaksgildi og hallatalan því núll. Lína með hallatöluna núll er lárétt eins og á mynd 5(c).
Mynd 5. Gröf vaxandi falls, minnkandi falls og fastafalls.
Dæmi 2
Ákvörðun um hvort fall sé vaxandi, minnkandi eða fast
Rannsóknir frá fyrstu árum annars áratugar 21. aldar bentu til þess að unglingar sendu um 60 textaskilaboð á dag, en nýlegri gögn sýna mun meiri skilaboðatíðni meðal allra notenda, einkum þegar tekið er tillit til hinna ýmsu forrita sem fólk notar til samskipta. Finnið fyrir hvert eftirfarandi tilvik línulega fallið sem lýsir venslunum milli inntaks- og úttaksgildis. Ákvarðið síðan hvort graf fallsins sé vaxandi, minnkandi eða fast.
ⓐ Heildarfjöldi textaskilaboða sem unglingur sendir er talinn fall af tíma í dögum. Inntakið er fjöldi daga og úttakið er heildarfjöldi sendra textaskilaboða.
ⓑ Einstaklingur má senda að hámarki 500 textaskilaboð á mánuði samkvæmt farsímaáskrift sinni. Inntakið er fjöldi daga og úttakið er fjöldi textaskilaboða sem eftir má senda þann mánuð.
ⓒ Einstaklingur getur sent ótakmarkaðan fjölda textaskilaboða samkvæmt farsímaáskrift sem kostar 50 dali á mánuði. Inntakið er fjöldi daga og úttakið er heildarkostnaður við sendingu textaskilaboða á mánuði.
Lausn
Greinum hvert fall.
ⓐ Fallið má setja fram sem þar sem er fjöldi daga. Hallatalan, 60, er jákvæð og fallið því vaxandi. Það er rökrétt vegna þess að heildarfjöldi textaskilaboða eykst með hverjum degi.
ⓑ Fallið má setja fram sem þar sem er fjöldi daga. Í þessu tilviki er hallatalan neikvæð og fallið því minnkandi. Það er rökrétt vegna þess að textaskilaboðunum sem eftir má senda fækkar með hverjum degi. Fallið sýnir fjölda textaskilaboða sem eftir má senda samkvæmt farsímaáskriftinni eftir daga.
ⓒ Kostnaðarfallið má setja fram sem vegna þess að fjöldi daga hefur ekki áhrif á heildarkostnaðinn. Hallatalan er 0 og fallið því fast.
Hallatala reiknuð og túlkuð
Í dæmunum hingað til hefur hallatalan verið gefin. Oft þurfum við þó að reikna hallatölu út frá inntaks- og úttaksgildum. Ef við höfum tvö inntaksgildi, og og tvö samsvarandi úttaksgildi,
og —sem setja má fram sem punktana
og —þá má reikna hallatöluna
á eftirfarandi hátt
þar sem er lóðrétta færslan og er lárétta færslan. Takið eftir að í fallatáknun eru samsvarandi úttaksgildi og fyrir fallið og og því mætti með jafngildum hætti rita
Mynd 6 sýnir hvernig hallatala línunnar milli punktanna
og
er reiknuð. Munið að hallatalan mælir bratta. Því stærra sem tölugildi hallatölunnar er, þeim mun brattari er línan.
Mynd 6. Hallatala falls er reiknuð með því að deila breytingunni á með breytingunni á Ekki skiptir máli hvort hnitaparið er notað sem eða svo framarlega sem byrjað er á stökum sama hnitapars í báðum útreikningum.
Dæmi 3
Hallatala línulegs falls fundin
Ef
er línulegt fall og
og
eru punktar á línunni, finnið þá hallatöluna. Er fallið vaxandi eða minnkandi?
Lausn
Hnitapörin eru
og Til að finna breytingarhraðann deilum við breytingu úttaks með breytingu inntaks.
Einnig mætti rita hallatöluna sem Fallið er vaxandi vegna þess að
Greining
Eins og áður kom fram skiptir röð punktanna ekki máli þegar hallatala línunnar er reiknuð, svo framarlega sem fyrra úttaksgildið, það er y-hnitið, samsvarar fyrra inntaksgildinu, það er x-hnitinu.
Dæmi 4
Mannfjöldabreyting fundin út frá línulegu falli
Íbúum borgar fjölgaði úr 23.400 í 27.800 milli áranna 2008 og 2012. Finnið árlega mannfjöldabreytingu að því gefnu að hún hafi verið jöfn frá 2008 til 2012.
Lausn
Breytingarhraðinn tengir mannfjöldabreytinguna við breytinguna á tíma. Íbúunum fjölgaði um manns á fjögurra ára tímabilinu. Til að finna breytingarhraðann deilum við breytingunni á fjölda fólks með fjölda ára.
Íbúunum fjölgaði því um 1.100 manns á ári.
Greining
Þar sem okkur er sagt að íbúunum hafi fjölgað mætti búast við jákvæðri hallatölu. Jákvæða hallatalan sem við reiknuðum kemur því heim og saman við upplýsingarnar.
Punkthallaform línulegrar jöfnu ritað
Hingað til höfum við notað hallatöluform línulegrar jöfnu til að lýsa línulegum föllum. Nú lærum við aðra leið til að rita línulegt fall, svonefnt punkthallaform.
Punkthallaformið er leitt af hallatöluformúlunni.
Hafið í huga að nota má hallatöluform og punkthallaform til að lýsa sama fallinu. Við getum breytt úr öðru forminu í hitt með grunnaðferðum algebru. Gerum til dæmis ráð fyrir að gefin sé jafna á punkthallaformi, . Við getum breytt henni í hallatöluform eins og sýnt er.
Sömu línu má því lýsa á hallatöluformi sem
Jafna línu rituð út frá punkti og hallatölu
Punkthallaformið er sérlega gagnlegt þegar við þekkjum einn punkt og hallatölu línu. Gerum til dæmis ráð fyrir að okkur sé sagt að hallatala línu sé 2 og að hún liggi um punktinn
Við vitum að
og að
og Við getum sett þessi gildi inn í almennu punkthallajöfnuna.
Ef við vildum síðan umrita jöfnuna á hallatöluform beittum við algebruaðferðum.
Báðar jöfnurnar,
og lýsa sömu línunni. Sjá mynd 7.
Mynd 7. Graf línu með þremur merktum punktum.
Dæmi 5
Línuleg jafna rituð út frá punkti og hallatölu
Ritið punkthallaform jöfnu línu sem hefur hallatöluna 3 og liggur um punktinn Umritið hana síðan á hallatöluform.
Lausn
Byrjum á að greina hvað við vitum út frá gefnu upplýsingunum. Hallatalan er 3 og því er Við þekkjum einnig einn punkt og vitum því að og Nú getum við sett þessi gildi inn í almennu punkthallajöfnuna.
Síðan beitum við algebru til að finna hallatöluformið.
Jafna línu rituð út frá tveimur punktum
Punkthallaform jöfnu er einnig gagnlegt þegar við þekkjum tvo punkta sem lína liggur um. Gerum til dæmis ráð fyrir að við vitum að lína liggur um punktana
og Við getum notað hnit punktanna tveggja til að finna hallatöluna.
Nú getum við notað hallatöluna sem við fundum og hnit annars punktsins til að finna jöfnu línunnar. Notum punktinn (0, 1).
Eins og áður getum við beitt algebru til að umrita jöfnuna á hallatöluform.
Báðar jöfnurnar lýsa línunni sem sýnd er á mynd 8.
Mynd 8. Graf línu með merktum skurðpunktum við hnitása.
Dæmi 6
Línuleg jafna rituð út frá tveimur punktum
Ritið punkthallaform jöfnu línu sem liggur um punktana (5, 1) og (8, 7). Umritið hana síðan á hallatöluform.
Lausn
Byrjum á að finna hallatöluna.
Því er Næst setjum við hallatöluna og hnit annars punktsins inn í almennu punkthallajöfnuna. Við getum valið hvorn punktinn sem er, en notum
Punkthallajafna línunnar er Til að umrita jöfnuna á hallatöluform beitum við algebru.
Hallatöluform jöfnu línunnar er
Jafna línulegs falls rituð og túlkuð
Nú þegar við höfum ritað jöfnur línulegra falla bæði á hallatöluformi og punkthallaformi getum við valið aðferð eftir þeim upplýsingum sem gefnar eru. Upplýsingarnar gætu verið gefnar með grafi, punkti og hallatölu, tveimur punktum og svo framvegis. Skoðið graf fallsins á mynd 9.
Mynd 9. Graf línu með tveimur merktum punktum til að reikna hallatöluna.
Hallatala línunnar er ekki gefin en við getum valið hvaða tvo punkta sem er á línunni til að finna hana. Veljum og Við getum notað þessa punkta til að reikna hallatöluna.
Nú getum við sett hallatöluna og hnit annars punktsins inn í punkthallaformið.
Ef við viljum umrita jöfnuna á hallatöluform fáum við
Ef við vildum finna hallatöluformið án þess að rita punkthallaformið fyrst hefðum við getað séð að línan sker y-ásinn þegar úttaksgildið er 7. Því er
Nú þekkjum við upphafsgildið og hallatöluna og getum því sett og inn í hallatöluform línu.
Fallið er því
og línulega jafnan væri
Dæmi 7
Jafna línulegs falls rituð
Ritið jöfnu línulegs falls út frá grafi sem sýnt er á mynd 10.
Mynd 10. Graf línulegs falls í dæmi 7.
Lausn
Veljið tvo punkta á línunni, til dæmis og Notið punktana til að reikna hallatöluna.
Setjið hallatöluna og hnit annars punktsins inn í punkthallaformið.
Við getum beitt algebru til að umrita jöfnuna á hallatöluform.
Greining
Þetta er rökrétt vegna þess að af mynd 11 sjáum við að línan sker y-ásinn í punktinum sem er skurðpunkturinn við y-ás, og því er
Mynd 11. Graf línulegs falls í dæmi 7 með merktum skurðpunkti við y-ás.
Dæmi 8
Jafna línulegs kostnaðarfalls rituð
Gerum ráð fyrir að Ben stofni fyrirtæki og beri fastan rekstrarkostnað upp á 1.250 dali á mánuði, meðal annars vegna leigu á skrifstofu. Framleiðslukostnaður hans er 37,50 dalir á hverja einingu. Ritið línulegt fall þar sem er kostnaðurinn við að framleiða einingar í tilteknum mánuði.
Lausn
Fasti kostnaðurinn, 1.250 dalir, fellur til í hverjum mánuði. Breytilegi kostnaðurinn felur meðal annars í sér framleiðslukostnað hverrar einingar, sem er 37,50 dalir hjá Ben. Breytilegi kostnaðurinn, sem nefnist jaðarkostnaður, er táknaður með Heildarkostnaður Bens er summa þessara tveggja kostnaðarliða og er táknaður með
Greining
Ef Ben framleiðir 100 einingar á mánuði er mánaðarkostnaður hans táknaður með
Mánaðarkostnaður hans væri því 5.000 dalir.
Dæmi 9
Jafna línulegs falls rituð út frá tveimur punktum
Ef er línulegt fall, og , finnið þá jöfnu fallsins á hallatöluformi.
Lausn
Við getum ritað gefnu punktana með hnitum.
Síðan getum við notað punktana til að reikna hallatöluna.
Setjið hallatöluna og hnit annars punktsins inn í punkthallaformið.
Við getum beitt algebru til að umrita jöfnuna á hallatöluform.
Verkefni úr raunveruleikanum líkönuð með línulegum föllum
Í raunveruleikanum eru verkefni ekki alltaf sett fram með beinum hætti út frá falli eða grafi. Sem betur fer getum við greint verkefnið með því að setja það fyrst fram sem línulegt fall og túlka síðan þætti fallsins. Svo framarlega sem við þekkjum, eða getum fundið, upphafsgildi og breytingarhraða línulegs falls getum við leyst margs konar verkefni úr raunveruleikanum.
Dæmi 10
Línulegt fall notað til að ákvarða fjölda laga í tónlistarsafni
Marcus á nú 200 lög í tónlistarsafni sínu. Í hverjum mánuði bætir hann 15 nýjum lögum við. Ritið formúlu fyrir fjölda laga, í safninu sem fall af tímanum, í mánuðum. Hve mörg lög verður hann með eftir eitt ár?
Lausn
Upphafsgildi fallsins er 200 vegna þess að hann á nú 200 lög. Því er sem merkir að
Lögunum fjölgar um 15 á mánuði og breytingarhraðinn er því 15 lög á mánuði. Við vitum þar af leiðandi að Við getum sett upphafsgildið og breytingarhraðann inn í hallatöluform línu.
Við getum ritað formúluna
Með þessari formúlu getum við síðan spáð fyrir um hve mörg lög Marcus verður með eftir 1 ár (12 mánuði). Með öðrum orðum reiknum við gildi fallsins þegar
Marcus verður með 380 lög eftir 12 mánuði.
Greining
Takið eftir að N er vaxandi línulegt fall. Þegar inntakið (fjöldi mánaða) eykst eykst úttakið (fjöldi laga) einnig.
Dæmi 11
Línulegt fall notað til að reikna grunnlaun og söluþóknun
Ilya starfar sem tryggingasölumaður og fær grunnlaun ásamt þóknun fyrir hverja nýja tryggingu. Vikulegar tekjur hans, eru því háðar fjölda nýrra trygginga, sem hann selur í vikunni. Í síðustu viku seldi hann 3 nýjar tryggingar og fékk 760 dali í laun þá viku. Vikuna þar á undan seldi hann 5 nýjar tryggingar og fékk 920 dali. Finnið jöfnu fyrir og túlkið merkingu þátta jöfnunnar.
Lausn
Gefnu upplýsingarnar mynda tvö inntaks- og úttakspör: og Við byrjum á að finna breytingarhraðann.
Einingarnar auðvelda okkur að túlka þessa stærð. Tekjurnar jukust um 160 dali þegar tryggingunum fjölgaði um 2 og breytingarhraðinn er því 80 dalir á hverja tryggingu. Ilya fær þar af leiðandi 80 dala þóknun fyrir hverja tryggingu sem hann selur í vikunni.
Síðan getum við fundið upphafsgildið.
Gildið er upphafsgildi fallsins og táknar tekjur Ilya þegar það er þegar engin ný trygging er seld. Við getum túlkað það sem grunnlaun Ilya fyrir vikuna, sem eru óháð fjölda seldra trygginga.
Nú getum við ritað lokajöfnuna.
Niðurstaðan er sú að grunnlaun Ilya eru 520 dalir á viku og að auki fær hann 80 dala þóknun fyrir hverja selda tryggingu.
Dæmi 12
Töfluform notað til að rita jöfnu línulegs falls
Tafla 1 tengir fjölda rotta í stofni við tíma í vikum. Notið töfluna til að rita línulega jöfnu.
w, fjöldi vikna
0
2
4
6
P(w), fjöldi rotta
1000
1080
1160
1240
Lausn
Af töflunni sjáum við að upphafsgildi rottufjöldans er 1000 og því er
Í stað þess að leysa fyrir sjáum við af töflunni að stofninn stækkar um 80 á hverju 2 vikna tímabili. Breytingarhraðinn er því 80 rottur á 2 vikum, sem einfalda má í 40 rottur á viku.
Ef við hefðum ekki séð breytingarhraðann af töflunni hefðum við samt getað reiknað hallatöluna með hvaða tveimur punktum sem er úr töflunni. Til dæmis með og
Verkefni hluta 2.1
Hugtakaspurningar
1.
Terry skíðar niður bratta brekku. Hæð Terrys yfir sjávarmáli, í fetum eftir sekúndur er gefin með Ritið heila setningu sem lýsir upphafshæð Terrys og hvernig hún breytist yfir tíma.
2.
Maria klífur fjall. Hæð Mariu yfir sjávarmáli, í fetum eftir mínútur er gefin með Ritið heila setningu sem lýsir upphafshæð Mariu og hvernig hún breytist yfir tíma.
3.
Jessica gengur heim frá vinkonu sinni. Eftir 2 mínútur er hún 1,4 mílur að heiman. Tólf mínútum eftir að hún lagði af stað er hún 0,9 mílur að heiman. Hver er hraði hennar í mílum á klukkustund?
4.
Sonya er nú 10 mílur að heiman og gengur fjær heimilinu á 2 mílna hraða á klukkustund. Ritið jöfnu fyrir fjarlægð hennar frá heimilinu eftir t klukkustundir.
5.
Bátur er 100 mílur frá smábátahöfn og siglir beint að henni á 10 mílna hraða á klukkustund. Ritið jöfnu fyrir fjarlægð bátsins frá höfninni eftir t klukkustundir.
6.
Timmy fer í tívolí með 40 dali. Hver ferð í tæki kostar 2 dali. Hve mikla peninga á hann eftir þegar hann hefur farið sinnum í tæki?
Algebruverkefni
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort rita megi jöfnu ferilsins sem línulegt fall.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
Ákvarðið í eftirfarandi verkefnum hvort hvert fall sé vaxandi eða minnkandi.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
Finnið í eftirfarandi verkefnum hallatölu línunnar sem liggur um gefnu punktana tvo.
25.
og
26.
og
27.
og
28.
og
29.
og
Finnið í eftirfarandi verkefnum, ef unnt er, línulega jöfnu sem uppfyllir skilyrðin í hverju tilviki.
30.
og
31.
og
32.
og
33.
Liggur um og
34.
Liggur um og
35.
Liggur um og
36.
x-ásinn er skorinn í og y-ásinn í
37.
x-ásinn er skorinn í og y-ásinn í
Grafísk verkefni
Finnið í eftirfarandi verkefnum hallatölu línanna sem sýndar eru á gröfunum.
38.
39.
40.
Ritið í eftirfarandi verkefnum jöfnu fyrir línurnar sem sýndar eru á gröfunum.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
Töluleg verkefni
Hverjar af töflunum í eftirfarandi verkefnum gætu lýst línulegu falli? Finnið jöfnu sem lýsir gögnunum í hverri töflu sem gæti lýst línulegu falli.
47.
x
0
5
10
15
g(x)
5
–10
–25
–40
48.
x
0
5
10
15
h(x)
5
30
105
230
49.
x
0
5
10
15
f(x)
–5
20
45
70
50.
x
5
10
20
25
k(x)
13
28
58
73
51.
x
0
2
4
6
g(x)
6
–19
–44
–69
52.
x
2
4
6
8
f(x)
–4
16
36
56
53.
x
2
4
6
8
f(x)
–4
16
36
56
54.
x
0
2
6
8
k(x)
6
31
106
231
Tækniverkefni
55.
Ef er línulegt fall, finnið þá jöfnu fallsins.
56.
Teiknið graf fallsins á skilgreiningarmenginu Sláið fallið inn í grafteikniforrit. Stillið minnsta gildi í skoðunarglugganum á og stærsta gildi á
57.
Teiknið graf fallsins á skilgreiningarmenginu
58.
Tafla 3 sýnir inntakið, og úttakið, fyrir línulegt fall a. Fyllið inn í eyðurnar í töflunni. b. Ritið línulega fallið og námundið að 3 aukastöfum.
–10
5,5
67,5
b
30
–26
a
–44
59.
Tafla 4 sýnir inntakið, og úttakið, fyrir línulegt fall a. Fyllið inn í eyðurnar í töflunni. b. Ritið línulega fallið
0,5
0,8
12
b
400
700
a
1.000.000
60.
Teiknið graf línulega fallsins á skilgreiningarmenginu þegar hallatalan er og skurðpunkturinn við y-ás er . Merkið punktana fyrir inntaksgildin og
61.
Teiknið graf línulega fallsins á skilgreiningarmenginu þegar hallatalan er 75 og skurðpunkturinn við y-ás er . Merkið punktana fyrir inntaksgildin og
62.
Teiknið graf línulega fallsins þar sem í sama hnitakerfi á skilgreiningarmenginu fyrir eftirfarandi gildi og
Viðbótarverkefni
63.
Finnið gildi ef línulegt fall liggur um eftirfarandi punkta og hefur eftirfarandi hallatölu:
64.
Finnið gildi y ef línulegt fall liggur um eftirfarandi punkta og hefur eftirfarandi hallatölu:
65.
Finnið jöfnu línunnar sem liggur um eftirfarandi punkta: og
66.
Finnið jöfnu línunnar sem liggur um eftirfarandi punkta: og
67.
Finnið jöfnu línunnar sem liggur um eftirfarandi punkta: og
Viðfangsefni úr raunveruleikanum
68.
Um hádegi tekur kaffibarþjónn eftir að 20 dalir eru í þjórféskrukkunni. Ef hann fær að meðaltali 0,50 dali frá hverjum viðskiptavini, hve mikið verður í krukkunni ef hann þjónustar viðskiptavini til viðbótar á vaktinni?
69.
Líkamsræktaráskrift með tveimur einkaþjálfunartímum kostar 125 dali en áskrift með fimm einkaþjálfunartímum kostar 260 dali. Hver er kostnaðurinn á hvern tíma?
70.
Fatafyrirtæki kemst að því að línuleg vensl eru milli fjölda skyrta, sem það getur selt og verðsins, sem það getur innheimt fyrir hverja skyrtu. Sölugögn sýna nánar tiltekið að selja má 1.000 skyrtur á verðinu en 3.000 skyrtur fyrir 22 dali. Finnið línulega jöfnu á forminu sem gefur verðið sem fyrirtækið getur innheimt fyrir skyrtur.
71.
Símafyrirtæki reiknar þjónustugjald samkvæmt formúlunni þar sem er fjöldi mínútna sem talað er í síma og
er mánaðargjaldið í dölum. Finnið og túlkið breytingarhraðann og upphafsgildið.
72.
Bóndi kemst að því að línuleg vensl eru milli fjölda baunaplantna, sem hún plantar og uppskerunnar, af hverri plöntu. Þegar hún plantar 30 plöntum gefur hver planta 30 únsur af baunum. Þegar hún plantar 34 plöntum gefur hver planta 28 únsur. Finnið línuleg vensl á forminu sem gefa uppskeruna þegar plöntum er plantað.
73.
Íbúafjöldi borgar árið 1960 var 287.500. Árið 1989 var hann 275.900. Reiknið breytingarhraða mannfjöldans og lýsið honum í fjölda fólks á ári.
74.
Íbúum bæjar hefur fjölgað línulega. Árið 2003 voru íbúarnir 45.000 og þeim hefur fjölgað um 1.700 á ári. Ritið jöfnu, fyrir íbúafjöldann árum eftir 2003.
75.
Gerum ráð fyrir að meðalárstekjur (í dölum) á árunum 1990 til 1999 séu gefnar með línulega fallinu þar sem er fjöldi ára eftir 1990. Hver eftirfarandi fullyrðinga túlkar hallatöluna í samhengi verkefnisins?
Árið 1990 voru meðalárstekjur 23.286 dalir.
Á tíu ára tímabilinu 1990–1999 jukust meðalárstekjur samtals um 1.054 dali.
Á hverju ári tíunda áratugarins jukust meðalárstekjur um 1.054 dali.
Í lok árs 1999 höfðu meðalárstekjur hækkað í 23.286 dali.
76.
Þegar hitinn er 0 gráður á Celsíus er Fahrenheit-hitinn 32 gráður. Þegar Celsíus-hitinn er 100 gráður er samsvarandi Fahrenheit-hiti 212 gráður. Setjið Fahrenheit-hitann fram sem línulegt fall af Celsíus-hitanum,
Finnið breytingarhraða Fahrenheit-hitans fyrir hverja einingu sem Celsíus-hitinn breytist um.
