2.4 Aðlögun línulegra líkana að gögnum

Dreifirit er graf punkta sem getur sýnt samband milli tveggja gagnasafna. Ef sambandið kemur frá línulegu líkani, eða líkani sem er nærri því línulegt, getur prófessorinn dregið ályktanir með þekkingu sinni á línulegum föllum. Mynd 1 sýnir dæmi um dreifirit.

Takið eftir að dreifiritið sýnir ekki línulegt samband. Punktarnir virðast ekki fylgja neinni leitni. Með öðrum orðum virðist ekkert samband vera milli aldurs nemanda og lokaprófseinkunnar hans.

Þegar við höfum áttað okkur á að nota þarf línulegt fall til að setja gögnin fram með líkani vaknar eðlilega næsta spurning: „Hvert er línulega fallið?“ Ein leið til að nálga línulega fallið er að skissa línuna sem virðist falla best að gögnunum. Síðan getum við framlengt línuna þar til unnt er að staðfesta skurðpunkt hennar við y-ás. Við getum nálgað hallatöluna með því að framlengja línuna þar til við getum áætlað kvótann $\frac{\text{lóðrétt breyting}}{\text{lárétt breyting}}.$

Í flestum dæmum liggja gögnin ekki fullkomlega á línunni en jafnan er besta mat okkar á því hvernig sambandið hegðar sér utan þeirra gilda sem gögn eru til um. Við notum aðferð sem nefnist brúun þegar við spáum gildi innan skilgreiningarmengis og myndmengis gagnanna. Framreikningur er notaður þegar við spáum gildi utan skilgreiningarmengis og myndmengis gagnanna.

Á mynd 4 eru aðferðirnar tvær bornar saman fyrir gögnin um tíst krybba úr dæmi 2. Brúun ætti sér stað ef líkanið væri notað til að spá fyrir um hitastig þegar fjöldi tísta væri á bilinu 18,5 til 44. Framreikningur ætti sér stað ef líkanið væri notað til að spá fyrir um hitastig þegar fjöldi tísta væri minni en 18,5 eða meiri en 44.

Það er munur á því að spá gildi innan skilgreiningarmengis og myndmengis þeirra gilda sem gögn eru til um og utan þeirra. Spá um gildi utan þessara mengja hefur sínar takmarkanir. Þegar líkanið á ekki lengur við eftir tiltekinn punkt er stundum sagt að líkanið hætti að gilda. Til dæmis mætti spá fyrir um kostnaðarfall yfir tveggja ára tímabil með því að skoða gögn þar sem inntakið er tími í árum og úttakið kostnaður. Ef við reynum hins vegar að framreikna kostnað þegar $x=\mathrm{50,}$ það er eftir 50 ár, á líkanið ekki við því ekki er unnt að gera ráð fyrir öllum þáttum sem kunna að hafa áhrif svo langt fram í tímann.

Þótt sjónmat á línu virki sæmilega vel eru til tölfræðilegar aðferðir við að aðlaga línu að gögnum sem lágmarka summu kvaðrata lóðréttra frávika gagnapunktanna frá línunni ⁵. Ein slík aðferð nefnist aðhvarfsgreining með minnstu kvaðrötum og hana má reikna með mörgum grafreiknivélum, töflureiknum, tölfræðiforritum og reiknivélum á vefnum ⁶. Aðhvarfsgreining með minnstu kvaðrötum er ein leið til að ákvarða línuna sem fellur best að gögnunum. Hér köllum við aðferðina línulega aðhvarfsgreiningu.

Eins og við sáum í líkaninu fyrir tíst krybba sýna sum gögn sterka línulega leitni en önnur gögn, svo sem lokaprófseinkunnir eftir aldri, sýna ekki skýra línulega leitni. Flestar reiknivélar og flest tölvuforrit geta einnig gefið fylgnistuðul, sem mælir styrk og stefnu línulegs sambands breytanna. Í mörgum grafreiknivélum þarf notandinn að kveikja á greiningarstillingu til að finna fylgnistuðulinn, sem stærðfræðingar tákna með $r.$ Fylgnistuðullinn gefur einfalda vísbendingu um hve nálægt línu gögnin liggja.

Fylgnistuðullinn mælir styrk og stefnu línulegs sambands. Hann lýsir ekki styrk ólínulegs sambands og getur verið nálægt núlli þótt breyturnar tengist með skýru ólínulegu mynstri. Því þarf einnig að skoða dreifirit gagnanna. Sambandið milli gildisins $r$ og grafs gagnanna sést á mynd 7, þar sem sýnd eru nokkur stór gagnasöfn ásamt fylgnistuðlum þeirra. Munið að á öllum ritunum sýnir lárétti ásinn inntakið og lóðrétti ásinn úttakið.

Parið hvert dreifirit í eftirfarandi æfingum við eina af fjórum tilgreindum fylgnum á mynd 9 og mynd 10.