22 Línuleg föll
2.2 Gröf línulegra falla
Námsmarkmið
Í þessum hluta lærið þið að:
- Teikna gröf línulegra falla.
- Rita jöfnu línulegs falls út frá grafi línu.
- Ákvarða út frá jöfnum tveggja lína hvort gröf þeirra séu samsíða eða hornrétt.
- Rita jöfnu línu sem er samsíða eða hornrétt á gefna línu.
- Leysa kerfi línulegra jafna.
Tvö símafyrirtæki í samkeppni bjóða ólíkar greiðsluáætlanir. Sama mínútuverð gildir í báðum áætlunum fyrir langlínusímtöl en fasta mánaðargjaldið er ólíkt. Neytandi vill ákvarða hvort áætlanirnar tvær muni einhvern tíma kosta jafnmikið fyrir tiltekinn fjölda mínútna í langlínusímtölum. Heildarkostnað hvorrar greiðsluáætlunar má setja fram með línulegu falli. Til að leysa verkefnið þurfum við að bera föllin saman. Í þessum hluta skoðum við aðferðir til að bera saman föll með gröfum.
Gröf línulegra falla teiknuð
Í Línulegum föllum sáum við að graf línulegs falls er bein lína. Af grafi gátum við einnig séð punkta fallsins og upphafsgildi þess. Með því að teikna gröf tveggja falla getum við því borið eiginleika þeirra saman á auðveldari hátt.
Þrjár grunnaðferðir eru notaðar til að teikna gröf línulegra falla. Sú fyrsta felst í að merkja punkta og draga síðan línu um þá. Önnur aðferðin notar skurðpunktinn við y-ás og hallatöluna. Sú þriðja notar ummyndanir samsemdarfallsins
Graf falls teiknað með því að merkja punkta
Til að finna punkta falls getum við valið inntaksgildi, reiknað gildi fallsins við þessi inntaksgildi og þannig fundið úttaksgildin. Inntaksgildin og samsvarandi úttaksgildi mynda hnitapör. Síðan merkjum við hnitapörin inn í hnitanet. Almennt ættum við að reikna fallgildið fyrir að minnsta kosti tvö inntaksgildi til að finna að minnsta kosti tvo punkta á grafinu. Ef fallið er til dæmis gefið gætum við notað inntaksgildin 1 og 2. Þegar fallgildið er reiknað fyrir inntaksgildið 1 fæst úttaksgildið 2, sem er táknað með punktinum Fyrir inntaksgildið 2 fæst úttaksgildið 4, sem er táknað með punktinum Oft er ráðlegt að velja þrjá punkta því ef þeir liggja ekki allir á sömu línu vitum við að villa hefur orðið.
Dæmi 1
Graf teiknað með því að merkja punkta
Lausn
Byrjið á að velja inntaksgildi. Fallið inniheldur brot með nefnarann 3 og því skulum við velja margfeldi af 3 sem inntaksgildi. Við veljum 0, 3 og 6.
Reiknið gildi fallsins við hvert inntaksgildi og notið úttaksgildið til að ákvarða hnitapör.
Merkið hnitapörin og dragið línu um punktana. Mynd 1 sýnir graf fallsins
Greining
Graf fallsins er lína eins og búast má við fyrir línulegt fall. Auk þess hallar grafið niður á við, sem sýnir neikvæða hallatölu. Það kemur einnig heim og saman við neikvæðan jafnan breytingarhraða í jöfnu fallsins.
Graf falls teiknað með skurðpunkti við y-ás og hallatölu
Önnur leið til að teikna gröf línulegra falla er að nota tiltekna eiginleika fallsins í stað þess að merkja punkta. Fyrri eiginleikinn er skurðpunkturinn við y-ás, það er punkturinn þar sem inntaksgildið er núll. Til að finna skurðpunktinn við y-ás getum við sett inn í jöfnuna.
Hinn eiginleiki línulega fallsins er hallatalan sem mælir bratta þess. Munið að hallatalan er breytingarhraði fallsins. Hallatala falls er jöfn kvóta breytingar úttaks og breytingar inntaks. Einnig má líta á hallatöluna sem lóðréttu breytinguna deilda með láréttu breytingunni. Við kynntumst bæði skurðpunktinum við y-ás og hallatölunni í Línulegum föllum.
Skoðum eftirfarandi fall.
Hallatalan er Þar sem hallatalan er jákvæð vitum við að grafið hallar upp á við frá vinstri til hægri. Skurðpunkturinn við y-ás er punkturinn á grafinu þar sem Grafið sker y-ásinn í Nú þekkjum við hallatöluna og skurðpunktinn við y-ás. Við getum byrjað að teikna grafið með því að merkja punktinn . Við vitum að hallatalan er lóðrétt breyting deild með láréttri breytingu, Í dæminu okkar er sem merkir að lóðrétta breytingin er 1 og lárétta breytingin 2. Frá skurðpunktinum við y-ás, getum við því farið 1 upp og síðan 2 til hægri, eða 2 til hægri og síðan 1 upp. Við endurtökum þetta þar til við höfum nokkra punkta og drögum síðan línu um þá eins og sýnt er á mynd 2.
Dæmi 2
Graf teiknað með skurðpunkti við y-ás og hallatölu
Lausn
Reiknið gildi fallsins þegar til að finna skurðpunktinn við y-ás. Úttaksgildið þegar er 5 og grafið sker því y-ásinn í
Samkvæmt jöfnu fallsins er hallatala línunnar Það segir okkur að fyrir hverja lóðrétta breytingu um einingar eykst lárétta breytingin um 3 einingar til hægri. Nú getum við teiknað graf fallsins með því að merkja fyrst skurðpunktinn við y-ás á grafinu á mynd 3. Frá upphafsgildinu færum við okkur 2 einingar niður og 3 einingar til hægri. Við getum framlengt línuna til vinstri og hægri með því að endurtaka þetta og síðan dregið línu um punktana.
Greining
Grafið hallar niður á við frá vinstri til hægri og hefur því neikvæða hallatölu eins og búist var við.
Graf falls teiknað með ummyndunum
Önnur leið til að teikna graf er að nota ummyndanir samsemdarfallsins . Ummynda má fall með hliðrun upp, niður, til vinstri eða til hægri. Einnig má ummynda fall með speglun, teygju eða samþjöppun.
Lóðrétt teygja eða samþjöppun
Í jöfnunni ákvarðar lóðrétta teygju eða samþjöppun samsemdarfallsins. Þegar er neikvætt speglast grafið einnig lóðrétt. Takið eftir á mynd 4 að þegar jafna er margfölduð með teygist graf lóðrétt um stuðulinn ef en graf þjappast lóðrétt saman um stuðulinn ef Þetta merkir að því stærra sem tölugildi er þeim mun brattari er línan.
Lóðrétt hliðrun
Í ákvarðar hina lóðréttu hliðrun og færir grafið upp eða niður án þess að breyta hallatölu línunnar. Takið eftir á mynd 5 að þegar gildinu er bætt við jöfnu hliðrast graf um samtals einingar upp ef er jákvætt og einingar niður ef er neikvætt.
Lóðréttar teygjur eða samþjappanir ásamt lóðréttum hliðrunum veita aðra leið til að greina mismunandi gerðir línulegra falla. Þótt það sé ef til vill ekki auðveldasta leiðin til að teikna graf falls af þessu tagi er samt mikilvægt að æfa hverja aðferð.
Dæmi 3
Graf teiknað með ummyndunum
Lausn
Jafna fallsins sýnir að og samsemdarfallinu er því þjappað saman lóðrétt um Jafnan sýnir einnig að og samsemdarfallinu er því hliðrað lóðrétt niður um 3 einingar. Teiknið fyrst graf samsemdarfallsins og sýnið lóðréttu samþjöppunina eins og á mynd 6.
Sýnið síðan lóðréttu hliðrunina eins og á mynd 7.
Jafna falls rituð út frá grafi línu
Munið að í Línulegum föllum rituðum við jöfnu línulegs falls út frá grafi. Nú getum við byggt á þekkingu okkar á teikningu grafa línulegra falla og greint gröfin nánar. Byrjum á að skoða mynd 8. Við sjáum strax að grafið sker y-ásinn í punktinum og því er þetta skurðpunkturinn við y-ás.
Síðan getum við reiknað hallatöluna með því að finna lóðréttu og láréttu breytinguna. Við getum valið hvaða tvo punkta sem er en skoðum punktinn Til að komast frá honum að skurðpunktinum við y-ás þurfum við að fara 4 einingar upp (lóðrétt breyting) og 2 einingar til hægri (lárétt breyting). Hallatalan hlýtur því að vera
Þegar hallatalan og skurðpunkturinn við y-ás eru sett inn í hallatöluform línu fæst
Dæmi 4
Línuleg föll pöruð við gröf sín
Parið hverja jöfnu línulegu fallanna við eina línu á mynd 9.
- ⓐ
- ⓑ
- ⓒ
- ⓓ
Lausn
Greinum upplýsingarnar um hvert fall.
- ⓐ Þetta fall hefur hallatöluna 2 og skurðpunktinn 3 við y-ás. Graf þess hlýtur að liggja um punktinn (0, 3) og halla upp frá vinstri til hægri. Við getum fundið hallatöluna út frá tveimur punktum eða borið grafið saman við gröf hinna fallanna. Fallið hefur sömu hallatölu en annan skurðpunkt við y-ás. Línur I og III halla eins vegna þess að þær hafa sömu hallatölu. Lína III liggur ekki um og því hlýtur lína I að vera graf .
- ⓑ Þetta fall hefur einnig hallatöluna 2 en skurðpunkturinn við y-ás er Graf þess hlýtur að liggja um punktinn og halla upp frá vinstri til hægri. Lína III hlýtur því að vera graf fallsins.
- ⓒ Þetta fall hefur hallatöluna –2 og skurðpunktinn 3 við y-ás. Þetta er eina fallið á listanum sem hefur neikvæða hallatölu. Því hlýtur lína IV að vera graf þess, enda hallar hún niður frá vinstri til hægri.
- ⓓ Þetta fall hefur hallatöluna og skurðpunktinn 3 við y-ás. Graf þess hlýtur að liggja um punktinn (0, 3) og halla upp frá vinstri til hægri. Línur I og II liggja um en hallatala er minni en hallatala og því hlýtur graf að vera flatara. Lína II er graf þessa falls.
Nú getum við merkt línurnar upp á nýtt eins og sýnt er á mynd 10.
Skurðpunktur línu við x-ás fundinn
Hingað til höfum við fundið skurðpunkta falls við y-ás, það er punktana þar sem graf fallsins sker y-ásinn. Fall getur einnig haft x-skurðpunkt, sem er x-hnit punktsins þar sem graf fallsins sker x-ásinn. Með öðrum orðum er það inntaksgildið þegar úttaksgildið er núll.
Til að finna skurðpunktinn við x-ás setjum við fallið jafnt og núll og leysum fyrir Skoðum til dæmis fallið sem hér er sýnt.
Setjið fallið jafnt og 0 og leysið fyrir
Graf fallsins sker x-ásinn í punktinum
Dæmi 5
Finna x-skurðpunkt
Lausn
Setjið fallið jafnt og núll og leysið fyrir
Grafið sker x-ásinn í punktinum
Greining
Graf fallsins er sýnt á mynd 12. Við sjáum að skurðpunkturinn við x-ás er eins og við áttum von á.
Láréttum og lóðréttum línum lýst
Tvö sértilvik lína koma fyrir í gröfum: láréttar og lóðréttar línur. Lárétt lína táknar fast úttak, eða y-gildi. Á mynd 13 sjáum við að úttaksgildið er 2 fyrir hvert inntaksgildi. Breyting úttaksgilda milli hvaða tveggja punkta sem er nemur því 0. Teljarinn í hallatöluformúlunni er 0 og hallatalan því einnig 0. Ef við setjum í jöfnuna einfaldast hún í Gildi fallsins er með öðrum orðum fasti. Grafið táknar fallið
Lóðrétt lína táknar fast inntak, eða x-gildi. Við sjáum að inntaksgildi allra punkta á línunni er 2 en úttaksgildið breytist. Þar sem þessu inntaksgildi er varpað á fleiri en eitt úttaksgildi táknar lóðrétt lína ekki fall. Takið eftir að breyting inntaksgilda milli hvaða tveggja punkta sem er nemur núlli. Nefnarinn í hallatöluformúlunni verður því núll og hallatala lóðréttrar línu er óskilgreind.
Takið eftir að lóðrétt lína, eins og sú sem sýnd er á mynd 14, hefur skurðpunkt við x-ás en engan skurðpunkt við y-ás nema hún sé línan Grafið táknar línuna
Dæmi 6
Jafna láréttrar línu rituð
Ritið jöfnu línunnar sem sýnd er á mynd 15.
Lausn
Dæmi 7
Jafna lóðréttrar línu rituð
Ritið jöfnu línunnar sem sýnd er á mynd 16.
Lausn
Ákvarðað hvort línur séu samsíða eða hornréttar
Línurnar tvær á mynd 17 eru samsíða línur; þær skerast aldrei. Takið eftir að þær eru nákvæmlega jafn brattar, sem merkir að hallatölur þeirra eru eins. Eini munurinn á línunum er skurðpunkturinn við y-ás. Ef við hliðruðum annarri línunni lóðrétt í átt að skurðpunkti hinnar við y-ás féllu þær saman.
Með því að bera saman hallatölur tveggja lína getum við ákvarðað út frá jöfnum þeirra hvort línurnar séu samsíða. Ef hallatölurnar eru eins en skurðpunktarnir við y-ás ólíkir eru línurnar samsíða. Ef hallatölurnar eru ólíkar eru línurnar ekki samsíða.
Ólíkt samsíða línum skerast hornréttar línur. Við skurðpunktinn myndast rétt horn, eða 90 gráðu horn. Línurnar tvær á mynd 18 eru hornréttar.
Hornréttar línur hafa ekki sömu hallatölu. Hallatölur þeirra tengjast með sérstökum hætti: hallatala annarrar línunnar er neikvætt gagnhverft gildi hallatölu hinnar. Margfeldi tölu og gagnhverfs gildis hennar er 1. Ef og eru neikvætt gagnhverf gildi hvors annars er margfeldi þeirra því –1.
Til að finna gagnhverft gildi tölu deilum við 1 með tölunni. Gagnhverft gildi 8 er því og gagnhverft gildi er 8. Til að finna neikvætt gagnhverft gildi finnum við fyrst gagnhverfa gildið og skiptum síðan um formerki.
Líkt og um samsíða línur getum við ákvarðað hvort tvær línur séu hornréttar með því að bera saman hallatölur þeirra, að því gefnu að hvorug línan sé lárétt eða lóðrétt. Hallatala hvorrar línu hér fyrir neðan er neikvætt gagnhverft gildi hallatölu hinnar og því eru línurnar hornréttar.
Margfeldi hallatalnanna er –1.
Dæmi 8
Borið kennsl á samsíða og hornréttar línur
Lausn
Samsíða línur hafa sömu hallatölu. Þar sem föllin og hafa bæði hallatöluna 2 tákna þau samsíða línur. Hallatölur hornréttra lína eru neikvætt gagnhverf gildi. Þar sem −2 og eru neikvætt gagnhverf gildi tákna jöfnurnar og hornréttar línur.
Greining
Gröf línanna eru sýnd á mynd 19.
Grafið sýnir að línurnar og eru samsíða og að línurnar og eru hornréttar.
Jafna línu sem er samsíða eða hornrétt á gefna línu rituð
Ef við þekkjum jöfnu línu getum við nýtt þekkingu okkar á hallatölum til að rita jöfnu línu sem er annaðhvort samsíða eða hornrétt á gefna línuna.
Jöfnur samsíða lína ritaðar
Gerum til dæmis ráð fyrir að eftirfarandi jafna sé gefin.
Við vitum að hallatala línunnar sem fallið myndar er 3. Við vitum einnig að skurðpunkturinn við y-ás er Sérhver önnur lína með hallatöluna 3 er samsíða Línurnar sem öll eftirfarandi föll mynda eru því samsíða
Gerum nú ráð fyrir að við viljum rita jöfnu línu sem er samsíða og liggur um punktinn Við vitum þegar að hallatalan er 3. Við þurfum aðeins að ákvarða hvaða gildi gefur réttu línuna. Við getum byrjað á punkthallaformi jöfnu línu og umritað hana síðan á hallatöluform.
Því er samsíða og liggur um punktinn
Dæmi 9
Lína sem er samsíða gefinni línu fundin
Lausn
Hallatala gefnu línunnar er 3. Ef við veljum hallatöluform getum við sett og inn í formið til að finna skurðpunktinn við y-ás.
Línan sem er samsíða og liggur um er
Greining
Við getum staðfest að línurnar tvær séu samsíða með því að teikna gröf þeirra. Mynd 20 sýnir að línurnar skerast aldrei.
Jöfnur hornréttra lína ritaðar
Við getum ritað jöfnu línu sem er hornrétt á gefna línu með mjög svipaðri aðferð. Í stað sömu hallatölu notum við þó neikvætt gagnhverft gildi gefnu hallatölunnar. Gerum ráð fyrir að eftirfarandi fall sé gefið:
Hallatala línunnar er 2 og neikvætt gagnhverft gildi hennar er Sérhvert fall með hallatöluna er hornrétt á Línurnar sem öll eftirfarandi föll mynda eru því hornréttar á
Líkt og áður getum við þrengt valið að tiltekinni hornréttri línu ef við vitum að hún liggur um gefinn punkt. Gerum ráð fyrir að við viljum rita jöfnu línu sem er hornrétt á og liggur um punktinn Við vitum þegar að hallatalan er Nú getum við fundið skurðpunktinn við y-ás með því að setja gefnu gildin inn í hallatöluform línu og leysa fyrir
Jafna fallsins sem hefur hallatöluna og skurðpunktinn 2 við y-ás er
Því er hornrétt á og liggur um punktinn Hafið í huga að hornréttar línur virðast ekki endilega hornréttar á grafreikni nema kvarðarnir á ásunum séu jafnir.
Dæmi 10
Jafna hornréttrar línu fundin
Lausn
Upprunalega línan hefur hallatöluna svo hallatala hornréttu línunnar verður neikvætt gagnhverft gildi hennar, eða Með þessari hallatölu og gefna punktinum getum við fundið jöfnu línunnar.
Línan sem er hornrétt á og liggur um er
Greining
Gröf línanna tveggja eru sýnd á mynd 21 hér fyrir neðan.
Dæmi 11
Jafna línu sem er hornrétt á gefna línu og liggur um punkt fundin
Lausn
Kerfi línulegra jafna leyst með grafi
Kerfi línulegra jafna inniheldur tvær eða fleiri línulegar jöfnur. Gröf tveggja lína skerast í einum punkti ef línurnar eru ekki samsíða. Tvær samsíða línur geta þó einnig skorist ef þær falla saman, það er ef þær eru ein og sama línan og skerast því í sérhverjum punkti. Ef línurnar tvær eru ekki samsíða uppfyllir eini skurðpunktur þeirra báðar jöfnurnar og táknar því lausn kerfisins.
Til að finna þennan punkt þegar jöfnurnar eru gefnar sem föll getum við leyst fyrir inntaksgildi þannig að Með öðrum orðum getum við sett formúlur línanna jafnar og leyst fyrir inntakið sem uppfyllir jöfnuna.
Dæmi 12
Skurðpunktur fundinn með algebru
Lausn
Setjið
Þetta segir okkur að línurnar skerast þegar inntakið er
Síðan getum við fundið úttaksgildi skurðpunktsins með því að reikna gildi annars hvors fallsins fyrir þetta inntak.
Línurnar skerast í punktinum
Greining
Niðurstaðan virðist eðlileg þegar mynd 22 er skoðuð.
Dæmi 13
Núllpunktur rekstrar fundinn
Lausn
- ⓐ Kostnaðarfallið er summa fasta kostnaðarins, 250.000 Bandaríkjadala, og breytilega kostnaðarins, 120 Bandaríkjadala á hvern hjálm.
- ⓑ Tekjufallið gefur heildartekjur af sölu hjálma,
- ⓒ Núllpunktur rekstrarins er skurðpunktur grafa kostnaðar- og tekjufallanna. Til að finna x-hnit skurðpunktsins setjum við jöfnurnar tvær jafnar og leysum fyrir
Til að finna reiknum við gildi tekjufallsins eða kostnaðarfallsins þegar inntakið er 12.500.
Núllpunktur rekstrarins er
Greining
Þetta merkir að reksturinn stendur á núlli ef fyrirtækið selur 12.500 hjálma; bæði sölutekjur og kostnaður nema þá 1,75 milljónum Bandaríkjadala. Sjá mynd 23.
Verkefni hluta 2.2
Hugtakaspurningar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
Gröf
Parið hverja gefna línulega jöfnu í eftirfarandi verkefnum við graf hennar á mynd 24.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.