99 Stærðfræðilíkön og rúmfræði

9.6 Leysa rúmfræðiverkefni: rúmmál og yfirborðsflatarmál

Námsmarkmið

Í lok þessa kafla eigið þið að geta:

Fundið rúmmál og yfirborðsflatarmál rétthyrndra strendinga
Fundið rúmmál og yfirborðsflatarmál kúlna
Fundið rúmmál og yfirborðsflatarmál sívalninga
Fundið rúmmál keilna

Í þessum kafla ljúkum við umfjöllun okkar um rúmfræðiverkefni. Við finnum rúmmál og yfirborðsflatarmál nokkurra þrívíðra forma. Þar sem við leysum verkefni sýnum við aftur verkefnalausnaraðferðina fyrir rúmfræðiverkefni.

Verkefnalausnaraðferð fyrir rúmfræðiverkefni

Skref 1. Lesið verkefnið og gangið úr skugga um að þið skiljið öll orð og hugmyndir. Teiknið mynd og merkið gefnar upplýsingar inn á hana.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.
Skref 3. Gefið því sem leitað er að heiti. Veljið breytu til að tákna stærðina.
Skref 4. Setjið upp jöfnu með því að skrifa viðeigandi formúlu eða líkan fyrir aðstæðurnar. Setjið gefnar upplýsingar inn.
Skref 5. Leysið jöfnuna með vönduðum algebruaðferðum.
Skref 6. Sannreynið svarið í dæminu og gangið úr skugga um að það sé raunhæft.
Skref 7. Svarið spurningunni með heilli setningu.

Finna rúmmál og yfirborðsflatarmál rétthyrndra strendinga

Þjálfari klappliðs lætur liðið mála trékassa í skólalitunum til að standa á á leikjum. (Sjá mynd 9.28 .) Málningarmagnið sem þarf til að þekja ytra byrði hvers kassa ræðst af yfirborðsflatarmálinu, flatarmálsmælingu á samanlögðu flatarmáli allra flata hans. Rýmið inni í kassanum er rúmmálið, sem er rúmmálsmæling.

Þetta er mynd af trékassa. — **Mynd 9.28.** Þessi trékassi er í laginu eins og rétthyrndur strendingur.

Hver kassi er í laginu eins og rétthyrndur strendingur. Mál hans eru lengd, breidd og hæð. Rétthyrndi strendingurinn á mynd 9.29 hefur lengdina $4$ einingar, breiddina $2$ einingar og hæðina $3$ einingar. Getið þið séð hve margar rúmeiningar eru samtals? Skoðum eitt lag í einu.

Rétthyrndur strendingur er sýndur. Hvert lag er samsett úr 8 teningum og mælist 2 sinnum 4. Efsta lagið er bleikt, miðlagið appelsínugult og neðsta lagið grænt. Við hliðina er mynd af efsta laginu þar sem stendur „Efsta lagið hefur 8 rúmeiningar.“ Appelsínugula lagið er sýnt og þar stendur „Miðlagið hefur 8 rúmeiningar.“ Græna lagið er sýnt og þar stendur „Neðsta lagið hefur 8 rúmeiningar.“ — **Mynd 9.29.** Auðveldara er að sjá fyrir sér fjölda rúmeininga í rétthyrndum strendingi ef honum er skipt í lög. Þessi $4$ sinnum $2$ sinnum $3$ rétthyrndi strendingur hefur $24$ rúmeiningar.

Samtals eru 2 4 24 rúmeiningar. Takið eftir að 2 4 24 er l e $24$ n g d $\times ⁠$ b r e i d d $\times ⁠$ ⁢ h æ ð . lengd $\times ⁠$ $24$ breidd $\times ⁠$ ⁢ hæð . $lengd \times breidd \times hæð .$

Rúmmál, $V,$ sérhvers rétthyrnds strendings er margfeldi lengdar, breiddar og hæðar.

V = L W H

Við getum einnig ritað formúluna fyrir rúmmál rétthyrnds strendings með flatarmáli grunnflatarins. Flatarmál grunnflatarins, 𝐵 , B , er jafnt l e n g d $\times ⁠$ b r e i d d . lengd $B,$ $\times ⁠$ breidd . $lengd \times breidd .$

B = L \cdot W

Við getum sett $B$ í stað $L \cdot W$ í rúmmálsformúlunni og þannig fengið aðra gerð hennar.

Í efstu línunni stendur V jafnt og rautt L sinnum rautt W sinnum H. Fyrir neðan stendur V jafnt og rauður svigi L sinnum W sinnum H. Þar fyrir neðan stendur V jafnt og rautt stórt B sinnum h.

Nú höfum við aðra gerð rúmmálsformúlunnar fyrir rétthyrnda strendinga. Skoðum hvernig hún virkar fyrir $4 \times 2 \times 3$ rétthyrnda strendinginn sem við byrjuðum með. Sjá mynd 9.29 .

Mynd af rétthyrndum strendingi er sýnd. Hann er gerður úr teningum og merktur 2 sinnum 4 sinnum 3. Við hlið hans stendur V jafnt og Bh. Fyrir neðan stendur V jafnt grunnflötur sinnum hæð. Undir grunnfleti stendur innan sviga 4 sinnum 2. Í næstu línu stendur V jafnt svigi 4 sinnum 2 sinnum 3. Þar fyrir neðan stendur V jafnt og 8 sinnum 3 og síðan V jafnt og 24 rúmeiningar.

Til að finna yfirborðsflatarmál rétthyrnds strendings skuluð þið hugsa um að finna flatarmál hvers flatar hans. Hve marga fleti hefur rétthyrndi strendingurinn hér fyrir ofan? Þið sjáið þrjá þeirra.

\begin{matrix} A_{framhlið} = L \times W & A_{hlið} = L \times W & A_{toppur} = L \times W \\ A_{framhlið} = 4 \cdot 3 & A_{hlið} = 2 \cdot 3 & A_{toppur} = 4 \cdot 2 \\ A_{framhlið} = 12 & A_{hlið} = 6 & A_{toppur} = 8 \end{matrix}

Takið eftir að á móti hverjum hinna þriggja sýnilegu flata er nákvæmlega eins flötur sem sést ekki.

\begin{array}{l} S = (framhlið + bakhlið) + (vinstri hlið + hægri hlið) + (toppur + botn) \\ S = (2 \cdot framhlið) + (2 \cdot vinstri hlið) + (2 \cdot toppur) \\ S = 2 \cdot 12 + 2 \cdot 6 + 2 \cdot 8 \\ S = 24 + 12 + 16 \\ S = 52 ferningseiningar \end{array}

Yfirborðsflatarmál $S$ rétthyrnda strendingsins á mynd 9.30 er $52$ ferningseiningar.

Almennt má finna yfirborðsflatarmál rétthyrnds strendings með því að muna að hver flötur er rétthyrningur og flatarmál hans því margfeldi tveggja mála hans: lengdar og breiddar, lengdar og hæðar eða breiddar og hæðar (sjá mynd 9.31 ). Finnið flatarmál hvers sýnilegs flatar og margfaldið síðan hvert flatarmál með tveimur til að taka með flötinn hinum megin.

S = 2 L H + 2 L W + 2 W H

Rétthyrndur strendingur er sýndur. Hliðarnar eru merktar L, W og H. Einn flötur er merktur LW og annar WH. — **Mynd 9.31.** Á móti hverjum fleti rétthyrnda strendingsins sem snýr að ykkur er annar flötur hinum megin. Fletirnir eru alls $6$ .

Dæmi 9.47

Fyrir rétthyrndan strending með lengdina $14$ cm, hæðina $17$ cm og breiddina $9$ cm skuluð þið finna ⓐ rúmmálið og ⓑ yfirborðsflatarmálið.

Lausn

Skref 1 er eins fyrir bæði ⓐ og ⓑ og því sýnum við það aðeins einu sinni.

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli rétthyrnda strendingsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum V = rúmmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.	𝑉 = 𝐿 ⁢ 𝑊 ⁢ 𝐻 V = L ⁢ W ⁢ H 𝑉 = 1 4 ⋅ 9 ⋅ 1 7 V = 14 ⋅ 9 ⋅ 17
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑉 = 2 , 1 4 2 V = 2,142
Skref 6. Sannreynið. Við felum ykkur að sannreyna útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er 2,142 rúmsentímetrar.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli strendingsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	Látum S = yfirborðsflatarmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.	𝑆 = 2 ⁢ 𝐿 ⁢ 𝐻 + 2 ⁢ 𝐿 ⁢ 𝑊 + 2 ⁢ 𝑊 ⁢ 𝐻 S = 2 ⁢ L ⁢ H + 2 ⁢ L ⁢ W + 2 ⁢ W ⁢ H 𝑆 = 2 ⁢ ( 1 4 ⋅ 1 7 ) + 2 ⁢ ( 1 4 ⋅ 9 ) + 2 ⁢ ( 9 ⋅ 1 7 ) S = 2 ⁢ ( 14 ⋅ 17 ) + 2 ⁢ ( 14 ⋅ 9 ) + 2 ⁢ ( 9 ⋅ 17 )
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑆 = 1 , 0 3 4 S = 1,034
Skref 6. Sannreynið: Farið aftur yfir útreikningana með reiknivél.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er 1,034 fersentímetrar.

Dæmi 9.48

Rétthyrndur kassi hefur lengdina $30$ tommur, breiddina $25$ tommur og hæðina $20$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Lausn

Skref 1 er eins fyrir bæði ⓐ og ⓑ og því sýnum við það aðeins einu sinni.

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli kassans
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	látum V = rúmmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.	𝑉 = 𝐿 ⁢ 𝑊 ⁢ 𝐻 V = L ⁢ W ⁢ H 𝑉 = 3 0 ⋅ 2 5 ⋅ 2 0 V = 30 ⋅ 25 ⋅ 20
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑉 = 1 5 , 0 0 0 V = 15,000
Skref 6. Sannreynið: Farið aftur yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er 15,000 rúmtommur.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli kassans
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu til að tákna hana.	látum S = yfirborðsflatarmálið
Skref 4. Setjið upp jöfnu. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin.	𝑆 = 2 ⁢ 𝐿 ⁢ 𝐻 + 2 ⁢ 𝐿 ⁢ 𝑊 + 2 ⁢ 𝑊 ⁢ 𝐻 S = 2 ⁢ L ⁢ H + 2 ⁢ L ⁢ W + 2 ⁢ W ⁢ H 𝑆 = 2 ⁢ ( 3 0 ⋅ 2 0 ) + 2 ⁢ ( 3 0 ⋅ 2 5 ) + 2 ⁢ ( 2 5 ⋅ 2 0 ) S = 2 ⁢ ( 30 ⋅ 20 ) + 2 ⁢ ( 30 ⋅ 25 ) + 2 ⁢ ( 25 ⋅ 20 )
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑆 = 3 , 7 0 0 S = 3,700
Skref 6. Sannreynið: Athugið útreikningana sjálf.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er 3,700 fertommur.

Rúmmál og yfirborðsflatarmál tenings

Teningur er rétthyrndur strendingur þar sem lengd, breidd og hæð eru jafnar. Sjá Rúmmál og yfirborðsflatarmál tenings hér fyrir neðan. Ef s er sett í stað lengdar, breiddar og hæðar í formúlunum fyrir rúmmál og yfirborðsflatarmál rétthyrnds strendings fæst:

\begin{matrix} V = L W H & S = 2 L H + 2 L W + 2 W H \\ V = s \cdot s \cdot s & S = 2 s \cdot s + 2 s \cdot s + 2 s \cdot s \\ V = s^{3} & S = 2 s^{2} + 2 s^{2} + 2 s^{2} \\ S = 6 s^{2} \end{matrix}

Fyrir tening eru formúlurnar fyrir rúmmál og yfirborðsflatarmál því $V = s^{3}$ og $S = 6 s^{2} .$

Dæmi 9.49

Teningur er $2.5$ tommur á hverri hlið. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Lausn

Skref 1 er eins fyrir bæði ⓐ og ⓑ og því sýnum við það aðeins einu sinni.

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli teningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu.	𝑉 = 𝑠 3 V = s³
Skref 5. Leysið. Setjið inn gildin og leysið.	𝑉 = ( 2 . 5 ) 3 V = ( 2.5 ) 3 𝑉 = 1 5 . 6 2 5 V = 15.625
Skref 6. Athugið: Farið yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er 15.625 rúmtommur.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli teningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum S = yfirborðsflatarmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu.	𝑆 = 6 ⁢ 𝑠 2 S = 6 ⁢ s²
Skref 5. Leysið. Setjið inn gildin og leysið.	𝑆 = 6 ⋅ ( 2 . 5 ) 2 S = 6 ⋅ ( 2.5 ) 2 𝑆 = 3 7 . 5 S = 37.5
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að framkvæma athugunina.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er 37.5 fertommur.

Dæmi 9.50

Teningslaga minnismiðakubbur er $2$ tommur á hverri hlið. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli teningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu.	𝑉 = 𝑠 3 V = s³
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑉 = 2 3 V = 2 3 𝑉 = 8 V = 8
Skref 6. Athugið: Gangið úr skugga um að útreikningarnir séu réttir.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er 8 rúmtommur.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli teningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum S = yfirborðsflatarmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu.	𝑆 = 6 ⁢ 𝑠 2 S = 6 ⁢ s²
Skref 5. Leysið jöfnuna.	𝑆 = 6 ⋅ 2 2 S = 6 ⋅ 2 2 𝑆 = 2 4 S = 24
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að framkvæma athugunina.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er 24 fertommur.

Finna rúmmál og yfirborðsflatarmál kúlna

Kúla hefur sama lögun og körfubolti og má líta á hana sem þrívíðan hring. Líkt og hjá hring ákvarðast stærð kúlu af geisla hennar, sem er fjarlægðin frá miðju kúlunnar að hvaða punkti sem er á yfirborði hennar. Formúlurnar fyrir rúmmál og yfirborðsflatarmál kúlu eru gefnar hér fyrir neðan.

Það er utan efnis þessa áfanga að sýna hvernig þessar formúlur eru leiddar út, eins og við gerðum fyrir rétthyrndan strending. Við nálgum $π$ með $3.14 .$

Dæmi 9.51

Kúla hefur geislann $6$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Lausn

Skref 1 er eins fyrir bæði ⓐ og ⓑ og því sýnum við það aðeins einu sinni.

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli kúlunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu.	𝑉 = 4 3 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 3 V = 4/3 ⁢ π ⁢ r³
Skref 5. Leysið.	𝑉 ≈ 4 3 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 6 3 V ≈ $\frac{4}{3}$ ⁢ ( 3.14 ) ⁢ 6 3 𝑉 ≈ 9 0 4 . 3 2 c u b i c i n c h e s V ≈ 904.32 cubic inches
Skref 6. Athugið: Farið vandlega yfir útreikningana með reiknivél.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er um það bil 904.32 rúmtommur.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli kúlunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum S = yfirborðsflatarmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu.	𝑆 = 4 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 2 S = 4 ⁢ π ⁢ r²
Skref 5. Leysið.	𝑆 ≈ 4 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 6 2 S ≈ 4 ⁢ ( 3.14 ) ⁢ 6 2 𝑆 ≈ 4 5 2 . 1 6 S ≈ 452.16
Skref 6. Athugið: Farið vandlega yfir útreikningana með reiknivél.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er um það bil 452.16 fertommur.

Dæmi 9.52

Hnattlíkan af jörðinni er kúlulaga með geislann $14$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál þess og ⓑ yfirborðsflatarmál. Námundið svarið að næsta hundraðshluta.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd með gefnum upplýsingum og merkið þær inn á hana.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli kúlunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑉 = 4 3 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 3 V = $\frac{4}{3}$ ⁢ π ⁢ r 3 𝑉 ≈ 4 3 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 1 4 3 V ≈ $\frac{4}{3}$ ⁢ ( 3.14 ) ⁢ 14 3
Skref 5. Leysið.	𝑉 ≈ 1 1 , 4 8 8 . 2 1 V ≈ 11,488.21
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er um það bil 11,488.21 rúmtommur.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli kúlunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum S = yfirborðsflatarmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑆 = 4 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 2 S = 4 ⁢ π ⁢ r 2 𝑆 ≈ 4 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 1 4 2 S ≈ 4 ⁢ ( 3.14 ) ⁢ 14 2
Skref 5. Leysið.	𝑆 ≈ 2 4 6 1 . 7 6 S ≈ 2461.76
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er um það bil 2461.76 fertommur.

Finna rúmmál og yfirborðsflatarmál sívalnings

Ef þið hafið einhvern tíma séð gosdós vitið þið hvernig sívalningur lítur út. Sívalningur er rúmmynd með tvo samsíða og jafn stóra hringi efst og neðst. Efri og neðri hringur sívalnings nefnast grunnfletir. Hæð $h$ sívalnings er fjarlægðin milli grunnflatanna tveggja. Í öllum sívalningum sem við fjöllum um hér eru hliðar og hæð, $h$ , hornréttar á grunnfletina.

Mynd af sívalningi er sýnd. Rauð ör bendir á geisla efri grunnflatarins og merkir hann r, geisli. Rauð ör bendir á hæð sívalningsins og merkir hana h, hæð. — **Mynd 9.32.** Sívalningur hefur tvo jafn stóra hringlaga grunnfleti. Hæðin er fjarlægðin milli grunnflatanna.

Rétthyrndir strendingar og sívalningar eru að nokkru leyti líkir því að báðar rúmmyndir hafa tvo grunnfleti og hæð. Formúluna fyrir rúmmál rétthyrnds strendings, $V = B h$ , má einnig nota til að finna rúmmál sívalnings.

Fyrir rétthyrndan strending er flatarmál grunnflatarins, $B$ , flatarmál rétthyrnda grunnflatarins, lengd $\times ⁠$ breidd. Fyrir sívalning er flatarmál grunnflatarins, $B,$ flatarmál hringlaga grunnflatarins, $π r^{2} .$ Mynd 9.33 ber saman hvernig formúlan $V = B h$ er notuð fyrir rétthyrnda strendinga og sívalninga.

Í (a) er sýndur rétthyrndur strendingur. Hliðarnar eru merktar L, W og H. Fyrir neðan stendur V jafnt og stórt B sinnum h, síðan V jafnt og grunnflötur sinnum h, síðan V jafnt og svigi l sinnum w loka sviga sinnum h og loks V jafnt l sinnum w sinnum h. Í (b) er sýndur sívalningur. Geisli efri grunnflatarins er merktur r og hæðin er merkt h. Fyrir neðan stendur V jafnt og stórt B sinnum h, síðan V jafnt og grunnflötur sinnum h, síðan V jafnt og svigi pí sinnum r í öðru veldi loka sviga sinnum h og loks V jafnt pí sinnum r í öðru veldi sinnum h. — **Mynd 9.33.** Með því að sjá hvernig sívalningur líkist rétthyrndum strendingi getur verið auðveldara að skilja formúluna fyrir rúmmál sívalnings.

Til að skilja formúluna fyrir yfirborðsflatarmál sívalnings getið þið hugsað um niðursuðudós. Hún hefur þrjá fleti: toppinn, botninn og flötinn sem myndar hlið dósarinnar. Ef merkimiðinn er tekinn varlega af hlið dósarinnar og rúllað út sést að hann er rétthyrningur. Sjá Mynd 9.34 .

Sívalningslaga dós af grænum baunum er sýnd. Hæðin er merkt h. Við hliðina eru myndir af hringjum fyrir topp og botn dósarinnar og rétthyrningi fyrir hinn hluta hennar. Fyrir ofan hringina stendur C jafnt 2 sinnum pí sinnum r. Efst á rétthyrningnum stendur l jafnt 2 sinnum pí sinnum r. Vinstri hlið rétthyrningsins er merkt h og hægri hliðin w. — **Mynd 9.34.** Með því að klippa merkimiða af niðursuðudós og rúlla honum út sjáum við að hliðaryfirborð sívalnings er rétthyrningur. Lengd rétthyrningsins er ummál grunnflatar sívalningsins og breidd hans er hæð sívalningsins.

Fjarlægðin umhverfis brún dósarinnar er ummál grunnflatar sívalningsins og jafnframt lengd $L$ rétthyrnda merkimiðans. Hæð sívalningsins er breidd $W$ rétthyrnda merkimiðans. Flatarmál merkimiðans má því tákna sem

Í efstu línu stendur A jafnt l sinnum rautt w. Fyrir neðan l stendur 2 sinnum pí sinnum r. Fyrir neðan w stendur rautt h.

Til að finna heildaryfirborðsflatarmál sívalnings leggjum við flatarmál hringjanna tveggja við flatarmál rétthyrningsins.

Rétthyrningur er sýndur með hring sem tengist efri brún hans og öðrum sem tengist neðri brún.

Yfirborðsflatarmál sívalnings með geislann $r$ og hæðina $h,$ er

S = 2 π r^{2} + 2 π r h

Dæmi 9.53

Sívalningur hefur hæðina $5$ tommur og geislann $3$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli sívalningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑉 = 𝜋 ⁢ 𝑟 2 ⁢ ℎ V = π ⁢ r 2 ⁢ h 𝑉 ≈ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 3 2 ⋅ 5 V ≈ ( 3.14 ) ⁢ 3 2 ⋅ 5
Skref 5. Leysið.	𝑉 ≈ 1 4 1 . 3 V ≈ 141.3
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er um það bil 141.3 rúmtommur.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli sívalningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum S = yfirborðsflatarmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑆 = 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 2 + 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 ⁢ ℎ S = 2 ⁢ π ⁢ r² + 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ h 𝑆 ≈ 2 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 3 2 + 2 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ ( 3 ) ⁢ 5 S ≈ 2 ⁢ ( 3.14 ) ⁢ 3 2 + 2 ⁢ ( 3.14 ) ⁢ ( 3 ) ⁢ 5
Skref 5. Leysið.	𝑆 ≈ 1 5 0 . 7 2 S ≈ 150.72
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er um það bil 150.72 fertommur.

Dæmi 9.54

Finnið ⓐ rúmmál og ⓑ yfirborðsflatarmál gosdósar. Geisli grunnflatarins er $4$ sentímetrar og hæðin er $13$ sentímetrar. Gerið ráð fyrir að dósin sé nákvæmlega sívalningslaga.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar.

ⓐ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli sívalningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑉 = 𝜋 ⁢ 𝑟 2 ⁢ ℎ V = π ⁢ r 2 ⁢ h 𝑉 ≈ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 4 2 ⋅ 1 3 V ≈ ( 3.14 ) ⁢ 4 2 ⋅ 13
Skref 5. Leysið.	𝑉 ≈ 6 5 3 . 1 2 V ≈ 653.12
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að framkvæma athugunina.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er um það bil 653.12 rúmsentímetrar.

ⓑ
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	yfirborðsflatarmáli sívalningsins
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum S = yfirborðsflatarmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑆 = 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 2 + 2 ⁢ 𝜋 ⁢ 𝑟 ⁢ ℎ S = 2 ⁢ π ⁢ r² + 2 ⁢ π ⁢ r ⁢ h 𝑆 ≈ 2 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ 4 2 + 2 ⁢ ( 3 . 1 4 ) ⁢ ( 4 ) ⁢ 1 3 S ≈ 2 ⁢ ( 3.14 ) ⁢ 4 2 + 2 ⁢ ( 3.14 ) ⁢ ( 4 ) ⁢ 13
Skref 5. Leysið.	𝑆 ≈ 4 2 7 . 0 4 S ≈ 427.04
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Yfirborðsflatarmálið er um það bil 427.04 fersentímetrar.

Finna rúmmál keilna

Fyrsta myndin sem kemur mörgum okkar í hug þegar við heyrum orðið „keila“ er ískeila. Keilur koma þó víða annars staðar fyrir, en fæstar eru jafn bragðgóðar og ískeilur. Í þessum hluta sjáum við hvernig rúmmál keilu er fundið.

Í rúmfræði er keila rúmmynd með einum hringlaga grunnfleti og toppi. Hæð keilu er fjarlægðin milli grunnflatarins og toppsins. Keilurnar sem við skoðum í þessum hluta hafa alltaf hæð sem er hornrétt á grunnflötinn. Sjá Mynd 9.35 .

Mynd af keilu er sýnd. Efst er merkt toppur. Hæðin er merkt h. Geisli grunnflatarins er merktur r. — **Mynd 9.35.** Hæð keilu er fjarlægðin milli grunnflatarins og toppsins.

Fyrr í þessum hluta sáum við að rúmmál sívalnings er $V = π r^{2} h .$ Við getum litið á keilu sem hluta af sívalningi. Mynd 9.36 sýnir keilu inni í sívalningi með sömu hæð og sama grunnflöt. Þegar rúmmál keilunnar og sívalningsins eru borin saman sést að rúmmál keilunnar er minna en rúmmál sívalningsins.

Mynd af keilu er sýnd. Sívalningur er teiknaður utan um hana. — **Mynd 9.36.** Rúmmál keilu er minna en rúmmál sívalnings með sama grunnflöt og sömu hæð.

Rúmmál keilu er raunar nákvæmlega þriðjungur af rúmmáli sívalnings með sama grunnflöt og sömu hæð. Rúmmál keilu er

Þar sem grunnflötur keilu er hringur getum við sett formúluna fyrir flatarmál hrings, $π r^{2}$ , í stað $B$ og fengið formúluna fyrir rúmmál keilu.

Í þessari bók finnum við aðeins rúmmál keilu en ekki yfirborðsflatarmál hennar.

Dæmi 9.55

Finnið rúmmál keilu með hæðina $6$ tommur og geisla grunnflatarins $2$ tommur.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli keilunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π )	𝑉 = 1 3 𝜋 𝑟 2 ℎ V = 1/3 π r² h 𝑉 ≈ 1 3 3 . 1 4 ( 2 ) 2 ( 6 ) V ≈ 1/3 3.14 ( 2 ) 2 ( 6 )
Skref 5. Leysið.	𝑉 ≈ 2 5 . 1 2 V ≈ 25.12
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmálið er um það bil 25.12 rúmtommur.

Dæmi 9.56

Uppáhaldskrá Martys framreiðir franskar kartöflur í keilulaga pappírshulsu. Hvert er rúmmál hulsunnar, sem er $8$ tommur á hæð og $5$ tommur í þvermál? Námundið svarið að næsta hundraðshluta.

Lausn

Skref 1. Lesið dæmið. Teiknið mynd og merkið inn á hana gefnar upplýsingar. Takið eftir að grunnflöturinn er hringurinn efst á keilunni.
Skref 2. Ákveðið að hverju er leitað.	rúmmáli keilunnar
Skref 3. Gefið stærðinni heiti. Veljið breytu sem táknar hana.	látum V = rúmmál
Skref 4. Setjið upp. Skrifið viðeigandi formúlu. Setjið inn gildin. (Notið 3.14 fyrir π og takið eftir að gefin er fjarlægðin þvert yfir hringinn, það er þvermálið. Geislinn er 2.5 tommur.)	𝑉 = 1 3 𝜋 𝑟 2 ℎ V = 1/3 π r² h 𝑉 ≈ 1 3 3 . 1 4 ( 2 . 5 ) 2 ( 8 ) V ≈ 1/3 3.14 ( 2.5 ) 2 ( 8 )
Skref 5. Leysið.	𝑉 ≈ 5 2 . 3 3 V ≈ 52.33
Skref 6. Athugið: Ykkur er falið að fara yfir útreikningana.
Skref 7. Svarið spurningunni.	Rúmmál umbúðanna er um það bil 52.33 rúmtommur.

Samantekt á rúmfræðiformúlum

Eftirfarandi töflur draga saman allar formúlurnar sem fjallað var um í þessum kafla.

Tafla er sýnd sem dregur saman allar formúlur kaflans. Fyrsti reiturinn fjallar um grannhorn og fyllihorn og segir að hornmál A plús hornmál B sé jafnt 180 gráðum fyrir grannhornin A og B og að hornmál C plús hornmál D sé jafnt 90 gráðum fyrir fyllihornin C og D. Þar er mynd af hornunum A og B sem saman mynda beina línu og hornunum C og D sem saman mynda rétt horn. Næsti reitur nefnist Rétthyrndur strendingur og sýnir formúlurnar Rúmmál jafnt LWH og Yfirborðsflatarmál jafnt 2LH plús 2LW plús 2WH. Mynd af rétthyrndum strendingi með hliðarnar L, W og H er sýnd. Næsti reitur nefnist Þríhyrningur. Mynd af þríhyrningi með hliðarnar a, b og c, hornpunktana A, B og C og hæðina h er sýnd. Þar stendur: „Fyrir þríhyrning ABC er hornmál A plús hornmál B plús hornmál C jafnt 180 gráðum.“ Fyrir neðan stendur Ummál, P jafnt a plús b plús c. Þar fyrir neðan stendur Flatarmál, A jafnt einum helmingi sinnum b sinnum h. Næsti reitur nefnist Teningur og sýnir mynd af teningi með hliðarnar s. Þar stendur Rúmmál V jafnt s í þriðja veldi og Yfirborðsflatarmál S jafnt 6 sinnum s í öðru veldi. Næsti reitur nefnist Líkir þríhyrningar. Þar sjást tveir líkir þríhyrningar ABC og XYZ. Þar stendur að ef þríhyrningur ABC er líkur þríhyrningi XYZ þá sé hornmál A jafnt hornmáli X, hornmál B jafnt hornmáli Y og hornmál C jafnt hornmáli Z. Síðan stendur a deilt með x jafnt b deilt með y jafnt c deilt með z. Næsti reitur nefnist Kúla og sýnir mynd af kúlu með geislann r. Þar stendur rúmmál V jafnt fjórum þriðju sinnum pí sinnum r í þriðja veldi og Yfirborðsflatarmál S jafnt 4 sinnum pí sinnum r í öðru veldi. Næsti reitur nefnist Hringur. Þar er mynd með tvo geisla merkta r og þvermál merkt d. Þar stendur Ummál C jafnt 2 sinnum pí sinnum r og C jafnt pí sinnum d. Þar stendur Flatarmál jafnt pí sinnum r í öðru veldi. Næsti reitur nefnist Sívalningur og sýnir mynd af sívalningi með hæðina h og geisla grunnflatarins r. Þar stendur Rúmmál V jafnt pí sinnum r í öðru veldi sinnum h. Fyrir neðan stendur V jafnt Bh. Þar fyrir neðan stendur Yfirborðsflatarmál S jafnt 2 sinnum pí sinnum r í öðru veldi plús 2 sinnum pí sinnum r sinnum h. Næsti reitur nefnist Rétthyrningur og sýnir mynd af rétthyrningi með hliðarnar W og L. Þar stendur Ummál P jafnt 2L plús 2W og síðan Flatarmál A jafnt LW. Næsti reitur nefnist Keila og sýnir mynd af keilu með hæðina h og geisla grunnflatarins r. Þar stendur Rúmmál V jafnt einum þriðja sinnum pí sinnum r í öðru veldi sinnum h. Síðasti reiturinn nefnist Trapisa og sýnir mynd af trapisu með grunnlínurnar litla b og stóra B og hæðina h. Þar stendur Flatarmál A jafnt einum helmingi sinnum h sinnum svigi litla b plús stóra B loka sviga.

Myndin sýnir röð með þremur dálkum. Í fyrsta dálki stendur Rétthyrndur strendingur og fyrir neðan er formúlan rúmmál: V jafnt LWH. Þar fyrir neðan stendur Yfirborðsflatarmál: S jafnt 2LH plús 2LW plús 2WH. Mynd sýnir rétthyrndan strending með hliðarnar merktar L, W og H. Í miðdálkinum stendur Rétthyrningur. Þar fyrir neðan stendur Ummál P jafnt 2L plús 2W og síðan Flatarmál A jafnt LW. Þar er mynd af rétthyrningi með hliðarnar W og L. Í hægri dálkinum stendur Teningur. Þar fyrir neðan stendur „Rúmmál: V jafnt s í þriðja veldi.“ Þar fyrir neðan stendur „Yfirborðsflatarmál: S jafnt 6 sinnum s í öðru veldi.“ Neðst er mynd af teningi með þrjár hliðar merktar „s“.

Æfingar úr kafla 9.6

Æfingin skapar meistarann

Finna rúmmál og yfirborðsflatarmál rétthyrndra strendinga

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ rúmmál og ⓑ yfirborðsflatarmál rétthyrnds strendings með gefnar stærðir.

263.

lengd $2$ metrar, breidd $1.5$ metrar, hæð $3$ metrar

264.

lengd $5$ fet, breidd $8$ fet, hæð $2.5$ fet

265.

lengd $3.5$ jardar, breidd $2.1$ jardar, hæð $2.4$ jardar

266.

lengd $8.8$ sentímetrar, breidd $6.5$ sentímetrar, hæð $4.2$ sentímetrar

Leysið eftirfarandi dæmi.

267.

Flutningabíll Rétthyrndur flutningabíll hefur lengdina $16$ fet, breiddina $8$ fet og hæðina $8$ fet. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

268.

Gjafakassi Rétthyrndur gjafakassi hefur lengdina $26$ tommur, breiddina $16$ tommur og hæðina $4$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

269.

Askja Rétthyrnd askja hefur lengdina $21.3$ cm, breiddina $24.2$ cm og hæðina $6.5$ cm. Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

270.

Flutningsgámur Rétthyrndur flutningsgámur hefur lengdina $22.8$ fet, breiddina $8.5$ fet og hæðina $8.2$ fet. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ rúmmál og ⓑ yfirborðsflatarmál tenings með gefna hliðarlengd.

271.

$5$ sentímetrar

272.

$6$ tommur

273.

$10.4$ fet

274.

$12.5$ metrar

Leysið eftirfarandi dæmi.

275.

Vísindamiðstöð Hver hlið teningsins við Discovery Science Center í Santa Ana er $64$ fet að lengd. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

276.

Safn Teningslaga safn hefur $45$ metra langar hliðar. Finnið ⓐ rúmmál þess og ⓑ yfirborðsflatarmál.

277.

Undirstaða styttið Undirstaða styttið er teningur með $2.8$ metra langar hliðar. Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

278.

Pappírsþurrkukassi Kassi af pappírsþurrkum er teningur með 4.5 tommu langar hliðar. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Finna rúmmál og yfirborðsflatarmál kúlna

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ rúmmál og ⓑ yfirborðsflatarmál kúlu með gefinn geisla. Námundið svör að næsta hundraðshluta.

279.

$3$ sentímetrar

280.

$9$ tommur

281.

$7.5$ fet

282.

$2.1$ jardar

Leysið eftirfarandi æfingar. Námundið svör að næsta hundraðshluta.

283.

Æfingabolti Æfingabolti hefur geislann $15$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

284.

Loftbelgsferð Great Park Balloon er stór appelsínugul kúla með geislann $36$ fet . Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

285.

Golfbolti Golfbolti hefur geislann $4.5$ sentímetrar. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

286.

Hafnabolti Hafnabolti hefur geislann $2.9$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Finna rúmmál og yfirborðsflatarmál sívalnings

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna ⓐ rúmmál og ⓑ yfirborðsflatarmál sívalnings með gefinn geisla og gefna hæð. Námundið svör að næsta hundraðshluta.

287.

geisli $3$ fet, hæð $9$ fet

288.

geisli $5$ sentímetrar, hæð $15$ sentímetrar

289.

geisli $1.5$ metrar, hæð $4.2$ metrar

290.

geisli $1.3$ jardar, hæð $2.8$ jardar

Leysið eftirfarandi æfingar. Námundið svör að næsta hundraðshluta.

291.

Kaffidós Kaffidós hefur $5$ cm geisla og $13$ cm hæð. Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

292.

Kexpakki Kexpakki er sívalningslaga með $4$ cm geisla og $3$ cm hæð. Finnið ⓐ rúmmál hans og ⓑ yfirborðsflatarmál.

293.

Rakarastöng Sívalningslaga rakarastöng hefur þvermálið $6$ tommur og hæðina $24$ tommur. Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

294.

Byggingarlist Sívalningslaga súla hefur þvermálið $8$ fet og hæðina $28$ fet. Finnið ⓐ rúmmál hennar og ⓑ yfirborðsflatarmál.

Finna rúmmál keilna

Í eftirfarandi æfingum skuluð þið finna rúmmál keilu með gefnar stærðir. Námundið svör að næsta hundraðshluta.

295.

hæð $9$ fet og geisli $2$ fet

296.

hæð $8$ tommur og geisli $6$ tommur

297.

hæð $12.4$ sentímetrar og geisli $5$ cm

298.

hæð $15.2$ metrar og geisli $4$ metrar

Leysið eftirfarandi æfingar. Námundið svör að næsta hundraðshluta.

299.

Típí-tjald Hvert er rúmmál keilulaga típí-tjalds sem er $10$ fet á hæð og $10$ fet þvert yfir grunnflötinn?

300.

Poppkornsbikar Hvert er rúmmál keilulaga poppkornsbikars sem er $8$ tommur á hæð og $6$ tommur þvert yfir grunnflötinn?

301.

Síló Hvert er rúmmál keilulaga sílós sem er $50$ fet á hæð og $70$ fet þvert yfir grunnflötinn?

302.

Sandhaugur Hvert er rúmmál keilulaga sandhaugs sem er $12$ metrar á hæð og $30$ metrar þvert yfir grunnflötinn?

Stærðfræði daglegs lífs

303.

Ljósastaur Stólpi götuljóss er eins og stýfð keila að lögun, eins og sýnt er á myndinni hér fyrir neðan. Hann er stór keila að frádreginni minni keilu efst. Stóra keilan er $30$ fet á hæð með grunnflöt sem hefur geislann $1$ fet. Minni keilan er $10$ fet á hæð með grunnflöt sem hefur geislann $0.5$ fet. Námundið að næsta tíundarhluta og

ⓐ finnið rúmmál stóru keilunnar.
ⓑ finnið rúmmál litlu keilunnar.

304.

Ískeilur Venjuleg ískeila er 4 tommur á hæð og hefur þvermálið $2.5$ tommur. Vöfflukeila er $7$ tommur á hæð og hefur þvermálið $3.25$ tommur. Námundið að næsta hundraðshluta og

ⓐ finnið rúmmál venjulegu ískeilunnar.
ⓑ finnið rúmmál vöfflukeilunnar.

Ritunaræfingar

305.

Formúlurnar fyrir rúmmál sívalnings og keilu eru líkar. Útskýrið hvernig þið getið munað hvor formúlan á við hvora rúmmynd.

306.

Hvort hefur meira rúmmál, teningur með $8$ feta hliðar eða kúla með $8$ feta þvermál? Útskýrið röksemdafærsluna.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið æfingunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum þessa hluta.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir að hafa farið yfir gátlistann til að öðlast öryggi í öllum markmiðunum?