7.1 Lögmál Keplers um hreyfingu reikistjarna

Hæfniviðmið

Í lok þessa kafla muntu geta gert eftirfarandi:

• Útskýrt lögmálin þrjú sem Kepler setti fram um hreyfingu reikistjarna
• Beitt lögmálum Keplers til að reikna út eiginleika brauta

Stuðningur við kennara

Hæfniviðmiðin í þessum kafla munu hjálpa nemendum þínum að ná tökum á eftirfarandi stöðlum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandinn þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu í margvíslegum aðstæðum. Ætlast er til að nemandinn: (C) greini og lýsi hreyfingu með hröðun í tveimur víddum með því að nota jöfnur, þar með talið dæmi um skuthreyfingu og hringhreyfingu.

Í þessum kafla munu nemendur beita lögmálum Keplers um hreyfingu reikistjarna á fyrirbæri í sólkerfinu.

[BL] [OL] Ræðið sögulega umhverfið sem Kepler starfaði í. Flestir töldu enn að jörðin væri miðja alheimsins, en samt vissi Kepler ekki aðeins að reikistjörnurnar gengu umhverfis sólina, heldur fann hann mynstur í brautum þeirra. Hvernig ætli það sé að vera svona langt á undan næstum öllum öðrum? Heillandi lýsing á þessu er gefin í þáttunum Cosmos með Carl Sagan (Þáttur³, Harmony of the Worlds).

[AL] Útskýrið að lögmál Keplers voru lögmál en ekki kenningar. Lögmál lýsa mynstrum í náttúrunni sem endurtaka sig alltaf við sömu aðstæður. Kenningar veita skýringu á mynstrunum. Kepler veitti enga skýringu.

Lykilhugtök

• sólfirrð
• Kópernikusarlíkan
• miðskekkja
• lögmál Keplers um hreyfingu reikistjarna
• sólnánd
• Ptólemaíosarlíkan

Hugtök tengd lögmálum Keplers um hreyfingu reikistjarna

Dæmi um brautir eru allt í kringum okkur. Hundruð gervihnatta ganga á braut um jörðu ásamt þúsundum brakparta. Braut tunglsins um jörðu hefur heillað menn frá örófi alda. Brautir reikistjarna, smástirna, loftsteina og halastjarna umhverfis sólina eru ekki síður áhugaverðar. Ef við horfum lengra sjáum við næstum óhugsandi fjölda stjarna, vetrarbrauta og annarra himintungla á braut um hvert annað og í víxlverkun vegna þyngdarafls.

Öllum þessum hreyfingum er stjórnað af þyngdarkrafti. Hreyfingum hluta á brautum í okkar eigin sólkerfi er nógu einfalt að lýsa með fáeinum nokkuð einföldum lögmálum. Brautir reikistjarna og tungla uppfylla eftirfarandi tvö skilyrði:

• Massi hlutarins á brautinni, m, er lítill miðað við massa hlutarins sem hann gengur umhverfis, M.
• Kerfið er einangrað frá öðrum massamiklum hlutum.

Stuðningur við kennara

[OL] Biðjið nemendur um að útskýra viðmiðin til að sjá hvort þeir skilji afstæðan massa og einangruð kerfi.

Byggt á hreyfingu reikistjarnanna umhverfis sólina setti Kepler fram þrjú sígild lögmál, kölluð lögmál Keplers um hreyfingu reikistjarna, sem lýsa brautum allra fyrirbæra sem uppfylla þessi tvö skilyrði:

1. Braut hverrar reikistjörnu umhverfis sólina er sporbaugur með sólina í öðrum brennipunktinum.
2. Hver reikistjarna hreyfist þannig að ímynduð lína dregin frá sólinni til reikistjörnunnar fer yfir jafn stór svæði á jafn löngum tíma.
3. Hlutfallið milli umferðartíma í öðru veldi fyrir hvaða tvær reikistjörnur sem er umhverfis sólina er jafnt hlutfallinu milli meðalfjarlægða þeirra frá sólinni í þriðja veldi.

Þessi lýsandi lögmál eru nefnd eftir þýska stjörnufræðingnum Johannes Kepler (1571-1630). Hann setti þau fram eftir vandlega rannsókn, í um það bil 20 ár, á miklu magni nákvæmra athugana Tycho Brahes (1546-1601) á hreyfingu reikistjarna. Nákvæm söfnun gagna og ítarleg skráning aðferða og gagna eru einkenni góðra vísinda. Gögn eru sönnunargögnin sem ný túlkun og merking getur byggst á. Skoðum hvert þessara lögmála nánar.

Stuðningur við kennara

[BL] Tengið braut við ár og snúning við dag. Gangið úr skugga um að nemendur viti að hlutur snýst um ás sinn og gengur umhverfis móðurhnött þegar hann fylgir braut sinni.

[OL] Athugið hversu mörg stig brautarhreyfinga nemendur þekkja og fyllið inn í þau sem þeir þekkja ekki. Til dæmis ganga tungl umhverfis reikistjörnur; reikistjörnur umhverfis stjörnur; stjörnur umhverfis miðju vetrarbrautarinnar, o.s.frv.

[AL] Frá sjónarhóli jarðar, hvaða hlutir virðast (ranglega) vera á braut um jörðu (stjörnur, sólin, vetrarbrautir) og hverja er hægt að sjá vera á braut um móðurhnetti (tunglið, tungl annarra reikistjarna, stjörnur í öðrum vetrarbrautum)?

Fyrsta lögmál Keplers

Braut hverrar reikistjörnu umhverfis sólina er sporbaugur með sólina í öðrum brennipunktinum, eins og sýnt er á mynd 7.2. Næsta nálgun reikistjörnunnar við sólina kallast sólnánd og fjærsta fjarlægð hennar frá sólinni kallast sólfirrð.

Stuðningur við kennara

[AL] Biðjið um skilgreiningu á reikistjörnu. Verið tilbúin að ræða stöðulækkun Plútós ef það kemur upp. Ræðið fyrsta viðmiðið með tilliti til snúningsmiðju tungl-reikistjörnukerfis. Útskýrið að fyrir öll reikistjörnu-tunglkerfi í sólkerfinu er snúningsmiðjan innan reikistjörnunnar. Þetta á ekki við um Plútó og stærsta tungl hans, Karon, vegna þess að massar þeirra eru nógu líkir til að þeir snúist um punkt í geimnum á milli þeirra.

Ef þú þekkir sólfirrðar- (rₐ) og sólnándar- (rₚ) fjarlægðirnar, þá geturðu reiknað langás (a) og skammás (b).

Stuðningur við kennara

[AL] Ef einhverjir nemendur hafa áhuga og færni í algebru og rúmfræði, biðjið þá um að leiða út formúlu sem tengir lengd bandsins og fjarlægðina milli prjónanna við langás og skammás sporbaugs. Útskýrið að þetta er raunverulegt vandamál fyrir starfsmenn sem hanna sporöskjulaga borðplötur og spegla.

[BL] [OL] Brýnið fyrir nemendum að Kepler þurfti að vinna úr gífurlegu magni gagna og að allir útreikningar hans þurftu að vera gerðir í höndunum. Biðjið nemendur að hugsa um svipuð verkefni þar sem vísindamenn fundu reglu í yfirþyrmandi magni gagna (lotukerfið, DNA-bygging, loftslagslíkön, o.s.frv.).

Sýnikennsla kennara

Sýnið aðferðina með prjónum og bandi til að teikna sporbaug, eins og sýnt er á mynd 7.3, eða látið nemendur prófa það heima eða í tíma.

Spyrjið nemendur: Af hverju býr aðferðin með bandi og prjónum til lögun sem samræmist öðru lögmáli Keplers? Það er að segja, af hverju er lögunin sporbaugur?

Stuðningur við kennara

Útskýrið að prjónarnir eru brennipunktarnir og útskýrið hvað hver af þremur hlutum bandsins táknar. Takið fram að blýanturinn táknar reikistjörnu og annar prjónanna táknar sólina.

Annað lögmál Keplers

Hver reikistjarna hreyfist þannig að ímynduð lína dregin frá sólinni til reikistjörnunnar fer yfir jafn stór svæði á jafn löngum tíma, eins og sýnt er á mynd 7.4.

Stuðningur við kennara

Biðjið nemendur að ímynda sér hversu flókið það væri að lýsa hreyfingu reikistjarnanna stærðfræðilega, ef gert er ráð fyrir að jörðin sé kyrrstæð. Og samt reyndi fólk að gera þetta í hundruð ára, á meðan það horfði framhjá einföldu skýringunni að allar reikistjörnur gangi umhverfis sólina.

[OL] Biðjið nemendur að nota þessa mynd til að skilja hvers vegna reikistjörnur og halastjörnur ferðast hraðar þegar þær eru nær sólinni. Útskýrið að tímabil og flatarmál eru fastar, en bæði hraði og fjarlægð frá sólinni eru breytileg.

Ráð til að ná árangri

Athugið að þótt lögmál Keplers séu, af sögulegum ástæðum, sett fram fyrir reikistjörnur á braut um sólina, gilda þau í raun fyrir alla hnetti sem uppfylla skilyrðin tvö sem áður voru nefnd.

Þriðja lögmál Keplers

Hlutfallið milli umferðartíma í öðru veldi fyrir hvaða tvær reikistjörnur sem er umhverfis sólina er jafnt hlutfallinu milli meðalfjarlægða þeirra frá sólinni í þriðja veldi. Á jöfnuformi er þetta

þar sem T er umferðartíminn (tíminn fyrir eina hringferð) og r er meðalfjarlægðin (einnig kallað brautarradíus). Þessi jafna gildir aðeins til að bera saman tvo litla massa á braut um einn stóran massa. Mikilvægast er að þetta er aðeins lýsandi jafna; hún gefur engar upplýsingar um orsök jöfnuðarins.

Stuðningur við kennara

[BL] Athugið hvort nemendur geti endurraðað þessari jöfnu til að leysa fyrir eina af breytunum þegar hinar þrjár eru þekktar.

[AL] Sýnið lausn fyrir einn af umferðartímunum T eða radíusum r og biðjið nemendur að túlka brotin í veldisvísunum hægra megin í jöfnunni.

[OL] Leggið áherslu á að þessi nálgun virkar aðeins fyrir tvo fylgihnetti sem eru á braut um sama móðurhnött. Móðurhnötturinn verður að vera sá sami vegna þess að r³/T² = GM/(4π²) og M er massi móðurhnattarins. Ef M breytist, breytist hlutfallið r³ / T₂ einnig.

Tengsl við eðlisfræði 7.5

Áður en uppgötvanir Keplers, Kópernikusar, Galíleós, Newtons og annarra komu til sögunnar var talið að sólkerfið snerist um jörðina eins og sýnt er á mynd 7.5 (a). Þetta er kallað Ptólemaíosarlíkanið, nefnt eftir gríska heimspekingnum Ptólemaíosi sem var uppi á annarri öld e.Kr. Ptólemaíosarlíkanið einkennist af lista yfir staðreyndir um hreyfingar reikistjarna, án skýringa á orsök og afleiðingu. Tilhneigingin var sú að hafa mismunandi reglu fyrir hvern himinhnött og almennan skort á einfaldleika.

Mynd 7.5 (b) sýnir nútímalíkanið eða Kópernikusarlíkanið. Í þessu líkani skýrir lítið safn reglna og einn undirliggjandi kraftur ekki aðeins alla hreyfingu reikistjarna í sólkerfinu, heldur einnig allar aðrar aðstæður semfela í sér þyngdarafl. Víðfeðmi og einfaldleiki eðlisfræðilögmálanna eru sannfærandi.

Nikulás Kópernikus (1473–1543) fékk fyrst þá hugmynd að reikistjörnurnar gengju um sólina, um árið 1514. Það tók hann næstum 20 ár að vinna úr stærðfræðilegum smáatriðumfyrir líkan sitt. Hann beið í önnur10 ár eða svo með að birta verk sín. Talið er að hann hafi hikað vegna þess að hann var hræddur um að fólk myndi gera grín að kenningu hans. Viðbrögð margra einkenndust í raun meira af ótta og reiði. Mörgumfannst Kópernikusarlíkanið ógna grundvallar trúarkerfi sínu. Um 100 árum síðar var stjörnufræðingurinn Galíleó settur í stofufangelsi fyrir að leggja fram sannanir fyrir því að reikistjörnur, þar á meðal jörðin, gengju um sólina. Alls tók það næstum 300 ár fyrir alla að viðurkenna að Kópernikus hefði haft rétt fyrir sér allan tímann.

Spurning. Útskýrið hvers vegna jörðin virðist í raun vera miðja sólkerfisins.

1. Jörðin virðist vera miðja sólkerfisins vegna þess að jörðin er í miðju alheimsins og allt snýst í kringum hana á hringlaga braut.
2. Jörðin virðist vera miðja sólkerfisins vegna þess að í viðmiðunarkerfi jarðar virðast sólin, tunglið og reikistjörnurnar öll hreyfast yfir himininn eins og þau væru að hringsóla um jörðina.
3. Jörðin virðist vera í miðju sólkerfisins vegna þess að jörðin er í miðju sólkerfisins og allir himinhnettirnir snúast í kringum hana.
4. Jörðin virðist vera í miðju sólkerfisins vegna þess að jörðin er staðsett í öðrum brennipunkti sporbrautar sólar, tungls og annarra reikistjarna.

Stuðningur við kennara

Kynnið sögulegu deilurnar um jarðmiðjukenninguna gagnvart sólmiðjukenningunni um alheiminn. Leggið áherslu á hversu umdeildar þessar deilur voru á sínum tíma. Útskýrið að þetta var mikilvægt fyrir fólk vegna þess að heimsmynd þess og menningarleg trú voru í húfi.

Sýndareðlisfræði

Þessi hermun gerir þér kleift að búa til þitt eigið sólkerfi svo þú getir séð hvernig breytingar á fjarlægðum og mössum ákvarða brautir reikistjarna. Smelltu á Hjálp fyrir leiðbeiningar.

Hreyfimynd: Búðu til eigið sólkerfi og skoðaðu hvernig þyngdarkraftar hafa áhrif á sporbrautir reikistjarna.

Spurning. Þegar miðjuhnötturinn er ekki í miðjunni, hvernig breytist hraði hnattarins sem er á braut?

1. Hnötturinn á brautinni ferðast hraðast þegar hann er næst miðjuhnettinum og hægast þegar hann er fjærst.
2. Hnötturinn á brautinni ferðast hægast þegar hann er næst miðjuhnettinum og hraðast þegar hann er fjærst.
3. Hnötturinn á brautinni ferðast með sama hraða á hverjum punkti á ummáli sporbrautarinnar.
4. Það er ekkert samband á milli hraða hnattarins og staðsetningar reikistjörnunnar á ummáli brautarinnar.

Stuðningur við kennara

Gefið nemendum nægan tíma til að fikta í þessari hreyfimynd. Það getur tekið smá tíma að stilla breyturnar þannig að þeir sjái hvernig massi og miðskekkja hafa áhrif á brautina. Í upphafi er líklegt að reikistjarnan hverfi af skjánum eða rekist á sólina.

Útreikningar tengdir lögmálum Keplers um hreyfingu reikistjarna

Fyrsta lögmál Keplers

Vísið aftur í mynd 7.2 (a). Takið eftir hvaða fjarlægðir eru fastar. Brennipunktarnir eru fastir, svo fjarlægðin f₁ f₂ ¯ f₁ f₂ ¯ er fasti. Skilgreiningin á sporbaug segir að summa fjarlægðanna f₁m ¯ + mf₂ ¯ sé einnig fasti. Þessar tvær staðreyndir samanlagt þýða að ummál þríhyrningsins Δ f₁mf₂ hlýtur einnig að vera fasti. Þekking á þessumföstum mun hjálpa þér að ákvarða staðsetningar og fjarlægðir hluta í kerfi sem inniheldur einn hlut á braut um annan.

Annað lögmál Keplers

Vísið aftur í mynd 7.4. Annað lögmálið segir að svæðin hafi jafnt flatarmál og að það taki jafnlangan tíma að sópa yfir hvert svæði. Það er að segja, tíminn sem það tekur að ferðast frá A til B er jafn tímanum sem það tekur að ferðast frá C til D, og svo framvegis. Hraði v er jafn vegalengd d deilt með tíma t: v = d / t. Þá er t = d / v, svo vegalengd deilt með hraða er einnig fasti. Til dæmis, ef við þekkjum meðalhraða jarðar þann 21. júní og 21. desember, getum við borið saman vegalengdina sem jörðin ferðast þá daga.

Hversu ílangur sporbaugurinn er kallast miðskekkja (e) hans. Miðskekkja er reiknuð með því að deila fjarlægðinni f frá miðju sporbaugsins að öðrum brennipunktinum með helmingi langássins a.

Þegar e = 0, er sporbaugurinn hringur.

Flatarmál sporbaugs er gefið með A = π a b, þar sem b er helmingur skammássins. Ef þú þekkir ása sporbrautar jarðar og flatarmálið sem jörðin sópar yfir á tilteknu tímabili, geturðu reiknað út hlutfall ársins sem er liðið.

Stuðningur við kennara

[OL] Rifjið upp skilgreiningarnar á langás og skammás, hálflangás og hálfskammás, og fjarlægðinni f. Langásinn er lengd sporbaugsins og fer í gegnum báða brennipunktana. Skammásinn er breidd sporbaugsins og er hornréttur á langásinn. Hálflangás og hálfskammás eru helmingur af langás og skammás, í þessari röð.

Unnið dæmi

Spurning. Í mestu nánd kemur tungl innan 200.000 km fjarlægðar frá reikistjörnunni sem það gengur um. Á þeim tímapunkti er tunglið 300.000 km frá hinum brennipunkti brautar sinnar, f₂. Reikistjarnan er brennipunktur f₁ á sporbraut tunglsins. Hversu langt er tunglið frá reikistjörnunni þegar það er 260.000 km frá f₂ ?

Stuðningur við kennara

Farið með nemendum í gegnum ferlið við að fella saman í huganum f₁mf₂ við enda langássins til að leiða í ljós hverju hliðarnar þrjár í þríhyrningnum f₁mf₂ eru jafnar. Sjáið fyrir ykkur hlutana af bandinu þegar blýanturinn nálgast langásinn. Þessi fjarlægð f₁ f₂ helst föst, f₁m er fjarlægðin frá f₁ að enda langássins, og mf₂ er f₁m + f₁ f₂.

[OL] Látið nemendur tengja saman miðskekkju, fjarlægð milli brennipunkta og lögun brautar.

[AL] Biðjið um dæmi um brautir með mikla miðskekkju (halastjörnur, Plútó) og litla miðskekkju (tunglið, jörðin).

Unnið dæmi 7.6

Mynd 7.6 sýnir langás og skammás sporbaugs. Hálflangásinn og hálfskammásinn eru helmingur af þessum, í sömu röð.

Braut jarðar er örlítið sporöskjulaga, með hálflangás 1,49598 × 10⁸ km og hálfskammás 1,49577 × 10⁸ km. Ef umferðartími jarðar er 365,26 dagar, hvaða flatarmál fer lína frá jörðu til sólar yfir á einum degi?

Hvern dag sópar jörðin yfir jafnstórt flatarmál, svo við deilum heildarflatarmálinu með fjölda daga í árinu. Fyrir heildarflatarmálið notum við A = πab.

Flatarmálið sem farið er yfir á einum degi er því 1,93 × 10¹⁴ km².

Stuðningur við kennara

Útskýrið að auðvelt er að muna þessa formúlu vegna þess að hún er svipuð og A = πr². Ræðið miðskekkju jarðar. Berið hana saman við miðskekkju annarra reikistjarna, smástirna eða halastjarna til að leggja frekari áherslu á hvað skilgreinir reikistjörnu. Takið fram að jörðin hefur eina minnstu miðskekkju brautar og Merkúríus hefur mestu miðskekkju brautar af reikistjörnunum.

[BL] Hafa nemendur lagt gildið á π á minnið?

[OL] [AL] Hver er formúlan þegar a = b? Er formúlan kunnugleg?

[OL] Getur nemandinn sannreynt þessa staðhæfingu með því að endurraða jöfnunni?

Þriðja lögmál Keplers

Þriðja lögmál Keplers segir að hlutfallið milli ferninga umferðartíma tveggja reikistjarna (T₁, T₂) sé jafnt hlutfallinu milli teninga meðalfjarlægðar þeirra frá sólu (r₁, r₂). Stærðfræðilega er þetta sett fram sem

Af þessari jöfnu leiðir að hlutfallið r³/T² er það sama fyrir allar reikistjörnur í sólkerfinu. Síðar munum við sjá hvernig vinna Newtons leiðir til gildis fyrir þennan fasta.

Unnið dæmi 7.3

Gefið er að tunglið ferðast umhverfis jörðina á 27,3 dögum og að það er í meðalfjarlægðinni 3,84 × 10⁸ m frá miðju jarðar. Reiknið umferðartíma gervitungls sem er á braut í meðalhæð 1.500 km yfir yfirborði jarðar.

Við notum þriðja lögmál Keplers, T₁²/T₂² = r₁³/r₂³. Notum vísinn 1 fyrir tunglið og vísinn 2 fyrir gervitunglið. Brautarradíus gervitunglsins er 6.380 km + 1.500 km = 7.880 km.

Stuðningur við kennara

Minnið nemendur á að þetta virkar aðeins þegar gervitunglin eru lítil miðað við móðurhnöttinn og þegar bæði gervitunglin eru á braut um sama móðurhnött.

Æfingadæmi

Verkefni 1. Reikistjarna án möndulhalla er staðsett í öðru sólkerfi. Hún ferðast umhverfis sól sína á mjög sporöskjulaga braut þannig að hitastigið er mjög breytilegt yfir árið. Ef árið þar hefur 612 daga og íbúarnir fagna kaldasta deginum á degi 1 í tímatali sínu, hvenær er þá hlýjasti dagurinn?

1. Dagur 1
2. Dagur 153
3. Dagur 306
4. Dagur 459

Verkefni 2. Staðtengt gervitungl hefur umferðartíma sem er nákvæmlega 1 dagur. Slíkar brautir eru gagnlegar fyrir fjarskipti og veðurathuganir vegna þess að gervitunglið helst yfir sama punkti á jörðinni, að því gefnu að það sé á braut í miðbaugssléttunni í sömu átt og snúningur jarðar. Hlutfallið r³/T² fyrir tunglið er 1,01 × 10¹⁸ km³/ár². Reiknið brautarradíus slíks gervitungls.

1. 2,75 × 10³ km
2. 1,96 × 10⁴ km
3. 1,40 × 10⁵ km
4. 1,00 × 10⁶ km

Athugaðu skilning þinn

Spurning 3. Eru lögmál Keplers eingöngu lýsandi, eða innihalda þau upplýsingar um orsakir?

1. Lögmál Keplers eru eingöngu lýsandi.
2. Lögmál Keplers eru eingöngu orsakaskýrandi.
3. Lögmál Keplers eru bæði lýsandi og orsakaskýrandi.
4. Lögmál Keplers eru hvorki lýsandi né orsakaskýrandi.

Spurning 4. Satt eða ósatt—Samkvæmt lögmálum Keplers um hreyfingu reikistjarna eykur gervitungl hraða sinn þegar það nálgast móðurhnöttinn og minnkar hraða sinn þegar það fjarlægist móðurhnöttinn.

1. Satt
2. Ósatt

Spurning 5. Tilgreinið staðsetningu brennipunkta sporöskjulaga brautar.

1. Einn brennipunkturinn er móðurhnötturinn og hinn er staðsettur við gagnstæðan enda sporbaugsins, í sömu fjarlægð frá miðjunni og móðurhnötturinn.
2. Annar brennipunkturinn er móðurhnötturinn og hinn er staðsettur á gagnstæðum enda sporbaugsins, í hálfri fjarlægð frá miðjunni miðað við móðurhnöttinn.
3. Annar brennipunkturinn er móðurhnötturinn og hinn er staðsettur utan við sporbrautina, á línunni sem hálflangás sporbaugsins liggur á.
4. Annar brennipunkturinn er á línunni sem inniheldur hálflangás sporbaugsins og hinn er staðsettur hvar sem er á sporbraut fylgihnattarins.

Stuðningur við kennara

Notaðu spurningarnar í „Athugaðu svörin þín“ til að meta hvort nemendur nái tökum á námsmarkmiðum þessa hluta. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið mun „Athugaðu svörin þín“ hjálpa til við að greina hvaða markmið veldur vandanum og beina nemendum að viðeigandi efni.