44 Kraftar og hreyfilögmál Newtons

4.3 Annað lögmál Newtons

Lykilhugtök kafla

frjálst fall

annað lögmál Newtons

þyngd

Lýsing á öðru lögmáli Newtons

Fyrsta lögmál Newtons fjallaði um hluti í kyrrstöðu eða hluti á hreyfingu með jöfnum hraða. Hitt hreyfingarástandið sem þarf að skoða er þegar hlutur hreyfist með breytilegum hraða, sem þýðir breytingu á ferð og/eða stefnu hreyfingarinnar. Fjallað er um þessa tegund hreyfingar í öðru lögmáli Newtons, sem segir til um hvernig kraftur veldur breytingum á hreyfingu. Annað lögmál Newtons er notað til að reikna út hvað gerist í aðstæðum sem fela í sér krafta og hreyfingu, og það sýnir stærðfræðilegt samband milli krafts, massa og hröðunar. Stærðfræðilega er annað lögmálið oftast ritað sem

F_{n e t} = m a eða Σ F = m a

þar sem Fₙₑₜ (eða ΣF ) er ytri heildarkrafturinn, m er massi kerfisins og a er hröðunin. Athugið að Fₙₑₜ og ΣF eru það sama því ytri heildarkrafturinn er summa allra ytri krafta sem verka á kerfið.

Í fyrsta lagi, hvað eigum við við með breytingu á hreyfingu? Breyting á hreyfingu er einfaldlega breyting á hraða: ferð hlutar getur orðið hægari eða hraðari, stefnan sem hluturinn hreyfist í getur breyst, eða báðar þessar breytur geta breyst. Breyting á hraða þýðir, samkvæmt skilgreiningu, að hröðun hefur átt sér stað. Fyrsta lögmál Newtons segir að aðeins ytri heildarkraftur sem er ekki núll geti valdið breytingu á hreyfingu, svo ytri heildarkraftur hlýtur að valda hröðun. Athugið að hröðun getur átt við um að hægja á eða auka ferð. Hröðun getur einnig átt við breytingu á stefnu hreyfingar án breytingar á ferð, því hröðun er breyting á hraða deilt með tímanum sem það tekur fyrir þá breytingu að eiga sér stað, og hraði er skilgreindur af ferð og stefnu.

Út frá jöfnunni $F_{net} = m a$ , sjáum við að kraftur er í beinu hlutfalli við bæði massa og hröðun, sem er rökrétt. Til að hraða tveimur hlutum úr kyrrstöðu upp í sama hraða, mætti búast við að meiri kraft þyrfti til að hraða massameiri hlutnum. Sömuleiðis, fyrir tvo hluti með sama massa, myndi beiting meiri krafts á annan þeirra hraða honum upp í meiri hraða.

Nú skulum við endurraða öðru lögmáli Newtons til að leysa fyrir hröðun. Við fáum

a = \frac{F_{n e t}}{m} eða a = \frac{Σ F}{m}

Á þessu formi sjáum við að hröðun er í beinu hlutfalli við kraft, sem við ritum sem

a \propto F_{n e t}

þar sem táknið $\propto$ merkir „í réttu hlutfalli við“.

Þetta hlutfall segir stærðfræðilega það sem við sögðum rétt áðan í orðum: hröðun er í beinu hlutfalli við ytri heildarkraftinn. Þegar tvær breytur eru í beinu hlutfalli hvor við aðra, þá verður önnur breytan að tvöfaldast ef hin tvöfaldast. Sömuleiðis, ef önnur breytan minnkar um helming, verður hin breytan einnig að minnka um helming. Almennt gildir að þegar önnur breytan er margfölduð með tölu, er hin breytan einnig margfölduð með sömu tölu. Það virðist eðlilegt að hröðun kerfis sé í beinu hlutfalli við og í sömu stefnu og ytri heildarkrafturinn sem verkar á kerfið. Hlutur verður fyrir meiri hröðun þegar meiri kraftur verkar á hann.

Það er einnig ljóst af jöfnunni $a = \frac{F_{net}}{m}$ að hröðun er í öfugu hlutfalli við massa, sem við ritum sem

a \propto \frac{1}{m}

Öfugt hlutfall þýðir að ef önnur breytan er margfölduð með tölu, verður að deila í hina breytuna með sömu tölu. Nú virðist það einnig eðlilegt að hröðun sé í öfugu hlutfalli við massa kerfisins. Með öðrum orðum, því meiri sem massinn er (tregðan), því minni er hröðunin sem tiltekinn kraftur veldur. Þetta samband er sýnt á mynd 4.5 , sem sýnir að tiltekinn ytri heildarkraftur sem beitt er á körfubolta veldur mun meiri hröðun en þegar honum er beitt á bíl.

Þrjár myndir sýna sama kraft verka á ólíkan massa. Í (a) ýtir einstaklingur körfubolta til hægri með kraftinum F og boltinn fær hröðun a₁. Í (b) ýtir sami einstaklingur bíl með sama krafti F og bíllinn fær minni hröðun a₂. Í (c) eru kraftamyndirnar fyrir bæði kerfin sýndar eins. — **Mynd 4.5.** Sami kraftur sem verkar á kerfi með mismunandi massa veldur mismunandi hröðun. (a) Drengur ýtir körfubolta áfram. Áhrif þyngdarafls á boltann eru hunsuð. (b) Sami drengur beitir sama krafti á bilaðan bíl og veldur mun minni hröðun, ef núningur er hverfandi. Kraftamyndirnar fyrir boltann og bílinn eru eins, sem gerir okkur kleift að bera aðstæðurnar saman.

Beiting á öðru lögmáli Newtons

Áður en annað lögmál Newtons er notað er mikilvægt að huga að einingum. Jafnan $F_{net} = m a$ er notuð til að skilgreina einingar krafts út frá þremur grunneiningum massa, lengdar og tíma (munið að hröðun hefur einingarnar lengd deilt með tíma í öðru veldi). SI-eining krafts kallast njúton (skammstafað N) og er sá kraftur sem þarf til að hraða 1-kg kerfi með hröðuninni 1 m/s² . Það er, þar sem $F_{net} = m a$ , höfum við

1 N = 1 k g \times 1 m / s^{2} = 1 k g \cdot m / s^{2}

Ein mikilvægasta beiting annars lögmáls Newtons er að reikna út þyngd (einnig þekkt sem þyngdarkraftur), sem er venjulega táknuð stærðfræðilega sem W. Þegar fólk talar um þyngdarafl, áttar það sig ekki alltaf á því að það er hröðun. Þegar hlut er sleppt, hraðar hann sér í átt að miðju jarðar. Annað lögmál Newtons segir að ytri heildarkraftur sem verkar á hlut beri ábyrgð með hröðun hlutarins. Ef loftmótstaða er hverfandi, er ytri heildarkrafturinn á fallandi hlut aðeins þyngdarkrafturinn (þ.e. þyngd hlutarins).

Þyngd má tákna með vigri því hún hefur stefnu. Niður er skilgreint sem stefnan sem þyngdaraflið togar í, svo þyngd er venjulega talin vera kraftur sem vísar niður. Með því að nota annað lögmál Newtons getum við fundið jöfnuna fyrir þyngd.

Hugsum okkur hlut með massa m sem fellur í átt að jörðu. Hann verður aðeins fyrir þyngdarkraftinum (þ.e. þyngdaraflinu eða þyngdinni), sem er táknaður með W. Annað lögmál Newtons segir að $F_{net} = m a$ . Þar sem eini krafturinn sem verkar á hlutinn er þyngdarkrafturinn, höfum við $F_{net} = W .$ Við vitum að hröðun hlutar vegna þyngdarafls er g, svo við höfum $a = g .$ Ef við setjum þessar tvær stæður inn í annað lögmál Newtons fáum við

W = m g

Þetta er jafnan fyrir þyngd—þyngdarkraftinn á massa m. Á jörðinni er $g = 9,80 m/s2$ , svo þyngd (ef litið er framhjá stefnu þyngdarinnar í bili) 1,0-kg hlutar á jörðinni er

W = m g = (1.0 k g) (9.80 m / s^{2}) = 9.8 N

Þótt mestur hluti heimsins noti njúton sem einingu krafts, er lbið (lb) þekktasta eining krafts í Bandaríkjunum, þar sem 1 N = 0,225 lb.

Rifjið upp að þótt þyngdarkraftur verki niður á við, er hægt að gefa honum jákvætt eða neikvætt gildi, eftir því hver jákvæða stefnan er í hnitakerfinu sem þú valdir. Gætið þess að taka tillit til þessa þegar dæmi um þyngd eru leyst. Þegar stefna niður á við er tekin sem neikvæð, eins og oft er gert, verður þyngdarhröðunin –g = −9,8 m/s² og þyngdarkrafturinn er –mg.

Þegar heildarkraftur ytri krafta á hlut er þyngd hans, segjum við að hann sé í frjálsu falli. Í því tilviki er eini krafturinn sem verkar á hlutinn þyngdarkrafturinn. Á yfirborði jarðar, þegar hlutir falla niður í átt að jörðu, eru þeir aldrei í raunverulegu frjálsu falli vegna þess að það er alltaf einhver kraftur upp á við vegna loftmótstöðu sem verkar á hlutinn (og það er einnig uppdrifskraftur lofts, sem er svipaður uppdrifskrafti í vatni sem heldur bátum á floti).

Þyngdarkraftur er örlítið breytilegur á yfirborði jarðar, þannig að þyngd hlutar er örlítið háð staðsetningu hans á jörðinni. Þyngd breytist verulega þegar fjær dregur yfirborði jarðar. Á tunglinu, til dæmis, er þyngdarhröðunin aðeins 1,67 m/s² . Þar sem þyngd er háð þyngdarkraftinum, vegur 1,0-kg massi 9,8 N á jörðinni en aðeins um 1,7 N á tunglinu.

Mikilvægt er að muna að þyngd og massi eru mjög ólík, þótt þau séu nátengd. Massi er efnismagn í hlut (hversu mikið efni er til staðar, eða hversu erfitt er að hraða honum) og breytist ekki, en þyngd er þyngdarkrafturinn á hlut og er í réttu hlutfalli við þyngdarkraftinn. Auðvelt er að rugla þessu tvennu saman, því reynsla okkar er bundin við jörðina og þyngd hlutar er í meginatriðum sú sama hvar sem þú ert á jörðinni. Til að auka á ruglinginn eru hugtökin massi og þyngd oft notuð jöfnum höndum í daglegu máli; til dæmis sýna sjúkraskrár okkar oft þyngd okkar í kílógrömmum, en aldrei í réttri einingu, njútonum.

Skynditilraun

Massi og þyngd

Í þessu verkefni muntu nota vog til að rannsaka massa og þyngd.

1 baðvog
1 borð

Hvað mæla baðvogir?
Hvað gerist við vogina þegar þú stendur á baðvoginni? Hún sígur örlítið niður. Vogin inniheldur gorma sem þjappast saman í hlutfalli við þyngd þína—svipað og teygjur sem lengjast þegar togað er í þær.
Gormarnir gefa mælingu á þyngd þinni (að því gefnu að þú sért ekki með hröðun). Þetta er kraftur í njútonum (eða lbum). Í flestum löndum er mælingunni nú deilt með 9,80 til að gefa lestur í kílógrömmum, sem er mælieining massa. Vogin nemur þyngd en er kvarðuð til að sýna massa.
Ef þú færir til tunglsins og stæðir á voginni þinni, myndi hún nema sama massa og hún gerði á jörðinni?

Athugaðu skilning þinn

Meðan þú stendur á baðvog, ýttu niður á borð við hliðina á þér. Hvað gerist við aflesturinn? Hvers vegna?

Lesturinn hækkar vegna þess að hluti af þyngd þinni færist yfir á borðið og borðið beitir samsvarandi krafti á þig sem verkar í stefnu þyngdar þinnar.
Lesturinn hækkar vegna þess að hluti af þyngd þinni færist yfir á borðið og borðið beitir samsvarandi krafti á þig sem verkar í gagnstæða stefnu við þyngd þína.
Lesturinn lækkar vegna þess að hluti af þyngd þinni færist yfir á borðið og borðið beitir samsvarandi krafti á þig sem verkar í stefnu þyngdar þinnar.
Lesturinn lækkar vegna þess að hluti af þyngd þinni færist yfir á borðið og borðið beitir samsvarandi krafti á þig sem verkar í gagnstæða stefnu við þyngd þína.

Reiknað dæmi

Hvaða hröðun getur manneskja myndað við að ýta á sláttuvél?

Gerum ráð fyrir að heildarkraftur (ýtikraftur mínus núningur) sem verkar á sláttuvél sé 51 N samsíða jörðu. Massi sláttuvélarinnar er 240 kg. Hver er hröðun hennar?

Mynd 4.6. Heildarkraftur sem verkar á sláttuvélina er 51 N til hægri.

Aðferð

Þar sem Fₙₑₜ og m eru gefin, er hægt að reikna hröðunina beint út frá öðru lögmáli Newtons eins og það er sett fram í Fₙₑₜ = m a .

Lausn

Með því að leysa annað lögmál Newtons fyrir hröðunina, finnum við að stærð hröðunarinnar, a , er $a = \frac{F_{net}}{m}$ . Ef gefin gildi fyrir heildarkraft og massa eru sett inn fæst

a = \frac{51 N}{240 k g}

Með því að setja inn einingarnar $kg \cdot m/s2$ fyrir N fæst

a = \frac{51 k g \cdot m / s^{2}}{240 k g} = 0.21 m / s^{2}

Umræða

Hröðunin er í sömu stefnu og heildarkrafturinn, sem er samsíða jörðu og til hægri. Engar upplýsingar eru gefnar í þessu dæmi um einstaka ytri krafta sem verka á kerfið, en við getum sagt nokkuð um hlutfallslegar stærðir þeirra. Til dæmis hlýtur krafturinn sem manneskjan beitir við að ýta á sláttuvélina að vera stærri en núningurinn sem vinnur gegn hreyfingunni, því okkur er gefið að heildarkrafturinn sé í þá átt sem manneskjan ýtir. Einnig hljóta lóðréttir kraftar að vega hver annan upp ef engin hröðun er í lóðrétta stefnu (sláttuvélin hreyfist aðeins lárétt). Hröðunin sem fannst er raunhæf fyrir manneskju sem ýtir á sláttuvél; hraði sláttuvélarinnar hlýtur að aukast um 0,21 m/s á hverri sekúndu, sem er mögulegt. Tíminn sem sláttuvélin hraðar sér væri ekki mjög langur því hámarkshraða manneskjunnar yrði fljótt náð. Á þeim tímapunkti gæti manneskjan ýtt aðeins minna, því hún þarf aðeins að yfirvinna núning.

Reiknað dæmi

Hvaða drifkraftur eldflaugar hraðar þessum sleða?

Áður en mönnuð geimflug hófust voru eldflaugasleðar notaðir til að prófa loftför, flugskeytabúnað og lífeðlisfræðileg áhrif mikillar hröðunar á menn. Eldflaugasleðar samanstóðu af palli sem festur var á einn eða tvo teina og knúinn áfram af nokkrum eldflaugum. Reiknið stærð kraftsins sem hver eldflaug beitir, kallaður drifkraftur, T , fyrir fjögurra eldflauga drifkerfið sem sýnt er hér að neðan. Upphafshröðun sleðans er $49 m/s2,$ , massi kerfisins er 2.100 kg, og núningskrafturinn sem vinnur gegn hreyfingunni er 650 N.

Mynd 4.7. Eldflaugasleði hraðar sér til hægri. Fjórir drifkraftar T verka til hægri og núningskraftur f verkar til vinstri.

Aðferð

Kerfið sem er til skoðunar er eldflaugasleðinn. Þótt kraftar verki lóðrétt á kerfið hljóta þeir að vega hver annan upp, því kerfið hefur enga lóðrétta hröðun. Þá standa aðeins láréttu kraftarnir eftir. Við skilgreinum stefnu til hægri sem jákvæða stefnu. Sjá kraftamyndina á myndinni.

Lausn

Við byrjum á öðru lögmáli Newtons og leitum leiða til að finna drifkraftinn T frá hreyflunum. Þar sem allir kraftar og hröðun eru eftir línu, þurfum við aðeins að skoða stærðir þessara gilda í útreikningunum. Við byrjum með

F_{n e t} = m a

þar sem $F_{net}$ $F_{net}$ er heildarkrafturinn í lárétta stefnu. Við sjáum á mynd 4.8 að drifkraftar hreyflanna eru í sömu stefnu (sem við köllum jákvæða stefnu), en núningur vinnur gegn drifkraftinum. Á jöfnuformi er heildarkrafturinn

F_{n e t} = 4 T - f

Annað lögmál Newtons segir okkur að Fₙₑₜ = m a , svo við fáum

m a = 4 T - f

Eftir smá algebru leysum við fyrir heildardrifkraftinn 4 T :

4 T = m a + f

sem þýðir að drifkraftur hvers hreyfils er

T = \frac{m a + f}{4}

Með því að setja inn þekkt gildi fæst

\begin{array}{rcl} T & = & \frac{(2100 kg) (49 m/s²) + 650 N}{4} \\ = & 2,6 \times 10^{4} N \end{array}

Umræða

Tölurnar eru stórar, svo niðurstaðan gæti komið á óvart. Tilraunir af þessu tagi voru gerðar snemma á sjöunda áratugnum til að prófa þolmörk manna og búnað sem átti að vernda orrustuflugmenn við neyðarútskot. Hraði upp á 1.000 km/klst. náðist, með hröðun sem nam 45g. Mundu að g, þyngdarhröðunin, er $9,80 m/s2 .$ Hröðun sem nemur 45g er $45 \times 9,80 m/s2,$ eða um það bil $440 m/s2 .$ Lifandi þátttakendur eru ekki lengur notaðir og eldflaugasleðar hafa nú náð hraða upp á 10.000 km/klst. á landi. Í þessu dæmi, eins og í dæminu á undan, er kerfið sem er til skoðunar skýrt. Í síðari dæmum sjáum við að það skiptir miklu að velja kerfið sem á að skoða og að valið er ekki alltaf augljóst.

Æfingadæmi

Ef 1 N jafngildir 0,225 lb, hversu mörg lb eru 5 N kraftur?

0,045 lb
1,125 lb
2,025 lb
5,000 lb

Hversu miklum krafti þarf að beita á 5 kg hlut til að hann fái hröðunina 20 m/s²?

1 N
10 N
100 N
1.000 N

Athugaðu skilning þinn

Hver er stærðfræðileg framsetning annars lögmáls Newtons?

F = m a
F = 2 m a
F = m a
F = m a²

Annað lögmál Newtons lýsir sambandinu á milli hvaða stærða?

Kraftur, massi og tími
Kraftur, massi og færsla
Kraftur, massi og hraði
Kraftur, massi og hröðun

Spurning 13.

Hvað er hröðun?

Hröðun er breytingarhraði færslu.
Hröðun er breytingarhraði krafts.
Hröðun er breytingarhraði hraða.
Hröðun er breytingarhraði massa.