3.2 Framsetning hröðunar með jöfnum og gröfum

3.2 Framsetning hröðunar með jöfnum og gröfum

Markmið hlutans

Að þessum kafla loknum muntu geta gert eftirfarandi:

• Útskýrt hreyfijöfnur sem tengjast hröðun og sýnt þær með gröfum
• Beitt hreyfijöfnum og tengdum gröfum á dæmi sem fela í sér hröðun

Stuðningur við kennara

Markmiðin í þessum kafla munu hjálpa nemendum þínum að ná tökum á eftirfarandi viðmiðum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandinn þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu í margvíslegum aðstæðum. Ætlast er til að nemandinn: (A) búi til og túlki línurit og töflur sem lýsa mismunandi tegundum hreyfingar, þar með talið notkun rauntímatækni eins og hreyfiskynjara eða ljóshliða; (B) lýsi og greini hreyfingu í einni vídd með jöfnum sem nota hugtökin vegalengd, færsla, ferð, meðalhraði, augnablikshraði og hröðun.

Að auki tekur verkleg eðlisfræðihandbók fyrir framhaldsskóla (verkleg eðlisfræðihandbók framhaldsskóla) á efni þessa kafla í verkefninu: Hröðun, ásamt eftirfarandi viðmiðum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandinn þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu í margvíslegum aðstæðum. Ætlast er til að nemandinn: (A) búi til og túlki línurit og töflur sem lýsa mismunandi tegundum hreyfingar, þar með talið notkun rauntímatækni eins og hreyfiskynjara eða ljóshliða.

Lykilhugtök hlutans

Stuðningur við kennara

[BL] Rifjið stuttlega upp færslu, tíma, hraða og hröðun; breytur þeirra og einingar.

[OL] [AL] Útskýrið að þessi kafli kynnir fimm jöfnur sem gera okkur kleift að leysa fjölbreyttari dæmi en bara að finna hröðun út frá tíma og hraða. Rifjið upp myndræna greiningu, þar á meðal ása, formerki, hvernig á að merkja punkta í hnitakerfi, þ.e. ( x, y ), hallatölur og skurðpunkta. Útskýrið að þessar jöfnur má einnig setja fram myndrænt.

Hvernig hreyfijöfnurnar tengjast hröðun

Við erum að skoða hugtök sem tengjast hreyfingu: tíma, færslu, hraða og sérstaklega hröðun. Við erum eingöngu að fást við hreyfingu í einni vídd. Hreyfijöfnurnar sem við munum nota eiga við um aðstæður með jafnri hröðun, nema annað sé tekið fram, og sýna hvernig þessi hugtök tengjast. Jöfn hröðun er hröðun sem breytist ekki með tímanum. Fyrsta hreyfijafnan tengir saman færslu d, meðalhraða v̄ v̄ og tíma t.

Upphafsfærslan d₀ d₀ er oft 0, og í því tilviki má rita jöfnuna sem v̄ = d t

Þessi jafna, sem er skilgreiningin á meðalhraða og gildir bæði fyrir jafna og ójafna hröðun, segir að meðalhraði sé færsla á tímaeiningu. Við munum tákna hraða í metrum á sekúndu. Ef við teiknum færslu sem fall af tíma, eins og á mynd 3.6, verður hallatalan jöfn hraðanum. Hvenær sem hlutfall, eins og hraði, er sett fram myndrænt, er tíminn venjulega hafður sem óháða breytan og teiknaður á x-ásinn.

Önnur hreyfijafnan, sem er önnur framsetning á meðalhraða v̄, v̄, er einfaldlega upphafshraði plús lokahraði deilt með tveimur. Þessi jafna gildir aðeins fyrir jafna hröðun.

Nú komum við að meginviðfangsefni þessa kafla; nefnilega hreyfijöfnunum sem lýsa hreyfingu með jafnri hröðun. Í þriðju hreyfijöfnunni er hröðun sá hraði sem hraðinn eykst með, þannig að hraði á hvaða punkti sem er jafngildir upphafshraða plús hröðun margfaldaðri með tíma

Takið eftir að þessi þriðja hreyfijafna inniheldur ekki færslu. Þess vegna, ef þið vitið ekki færsluna og eruð ekki að reyna að finna færslu, gæti þessi jafna hentað vel.

Þriðja hreyfijafnan er einnig sýnd með línuritinu á mynd 3.7.

Fjórða hreyfijafnan sýnir hvernig færsla tengist hröðun

Þegar byrjað er í upphafspunktinum er d₀ = 0 og þegar byrjað er úr kyrrstöðu er v₀ = 0, og í því tilviki má rita jöfnuna sem

Þessi jafna segir okkur að fyrir jafna hröðun er hallatala línurits af d á móti t² jöfn hröðuninni, eins og sýnt er á mynd 3.8.

Fimmta hreyfijafnan tengir saman hraða, hröðun og færslu

Þessi jafna er gagnleg þegar við vitum ekki, eða þurfum ekki að vita, tímann.

Þegar byrjað er úr kyrrstöðu einfaldast fimmta jafnan í

Samkvæmt þessari jöfnu mun línurit af hraða í öðru veldi á móti tvöfaldri færslu hafa hallatölu sem er jöfn hröðuninni.

Athugið að í raunveruleikanum eru þekktar og óþekktar stærðir breytilegar. Stundum viljið þið endurraða hreyfijöfnu þannig að þekktu stærðirnar séu gildin á ásunum og óþekkta stærðin sé hallatalan. Stundum verður skurðpunkturinn ekki í upphafspunktinum (0,0). Þetta gerist þegar v₀ eða d₀ er ekki núll. Þetta á við þegar hluturinn sem verið er að skoða er þegar á hreyfingu, eða hreyfingin hefst á einhverjum öðrum stað en í upphafspunkti hnitakerfisins.

Stuðningur við kennara

[BL] Gangið úr skugga um að allir séu fullkomlega sáttir við þá hugmynd að hraði sé færsla deilt með tímanum sem færslan á sér stað á. Notið hversdagsleg dæmi.

[OL] Minnið nemendur á að þeir lærðu um hraða í fyrri köflum. Tengið einfölduðu jöfnuna v̄ = d/t við línurit af færslu sem falli af tíma. Bendið á að línuritið byrjar í (0,0) vegna þess að upphafshraðinn er núll. Veljið bil á línuritinu og útskýrið hvernig á að finna hallatöluna á þessu bili. Útskýrið að mynd 3.6 myndi sýna beina línu ef hraðinn væri að breytast; það er að segja ef hluturinn væri með hröðun. Sýnið hvernig línuritið myndi breytast fyrir bæði neikvæða og jákvæða hröðun.

[OL] Byggið á skilningnum á hraða til að kynna hröðun. Berið saman jafnan hraða og breytilegan hraða. Notið hversdagsleg dæmi úr samgöngum, íþróttum eða tívolítækjum. Útskýrið að mynd 3.7 táknar jafna hröðun vegna þess að hún er bein lína. Gefið dæmi um vaxandi, minnkandi og jafna hröðun og útskýrið hvernig hvert um sig hefur áhrif á lögun línurita af hraða sem falli af tíma.

[OL] [AL] Spyrjið nemendur hvers vegna öll þrjú línuritin séu beinar línur. Vísið í línuritið af d á móti t² og útskýrið hvers vegna þetta er bein lína, á meðan d á móti t væri ólínulegt.

Sýndareðlisfræði

Maðurinn á ferðinni (Hluti 2)

Skoðið hermunina Maðurinn á ferðinni (Moving Man) aftur og notið í þetta sinn línuritasýnina (Charts view). Breytið aftur hraða og hröðun með því að renna rauðu og grænu merkjunum eftir kvarðanum. Með því að halda hraðamerkinu nálægt núlli verða áhrif hröðunar augljósari. Fylgist með hvernig línurit af staðsetningu, hraða og hröðun breytast með tímanum. Takið eftir hver eru línuleg og hver ekki.

Stuðningur við kennara

Biðjið nemendur að smella á Charts valkostinn og stilla hreyfimyndina til að endurskapa línuritin sem finnast á mynd 3.6 og mynd 3.7.

Skilningstékk

Hvað táknar hallatalan á línuriti af hraða sem falli af tíma?

1. Hröðun
2. Færslu
3. Farna vegalengd
4. Augnablikshraða

Skilningstékk

Hvað táknar hallatalan á línuriti af staðsetningu sem falli af tíma?

1. Hröðun
2. Færslu
3. Farna vegalengd
4. Augnablikshraða

Hreyfijöfnurnar eiga við þegar þú ert með jafna hröðun.

1. d = d₀ + v̄ t, eða v̄ = d/t þegar d₀ = 0
2. v̄ = (v₀ + v_f)/2
3. v = v₀ + a t, eða a = v/t þegar v₀ = 0
4. d = d₀ + v₀t + 1/2 at², eða a = 2d/t² þegar d₀ = 0 og v₀ = 0
5. v² = v₀² + 2a(d − d₀), eða a = v²/(2d) þegar d₀ = 0 og v₀ = 0

Stuðningur við kennara

[OL] Farið í gegnum algebruna til að sýna hvernig hreyfijöfnurnar geta verið einfaldaðar þegar sum gildin eru núll. Takið eftir að sérhver hreyfing sem hefst eða endar í kyrrstöðu mun einfalda jöfnurnar.

Beiting hreyfijafna við aðstæður með jafnri hröðun

Hæfni til lausnar vandamála er nauðsynleg fyrir velgengni í vísindum og lífinu almennt. Hæfileikinn til að beita almennum eðlisfræðilegum lögmálum, sem oft eru sett fram með jöfnum, á sértækar aðstæður er mjög öflug þekking. Hún er mun öflugri en að leggja á minnið lista af staðreyndum. Greiningarhæfni og hæfni til lausnar vandamála er hægt að beita á nýjar aðstæður, en listi af staðreyndum getur aldrei orðið nógu langur til að ná yfir allar mögulegar aðstæður. Nauðsynleg greiningarhæfni mun þróast við að leysa dæmi í þessari bók og mun nýtast til skilnings á eðlisfræði og vísindum almennt í gegnum lífið.

Skref við úrlausn dæma

Þó að engin ein skref-fyrir-skref aðferð virki fyrir öll dæmi, þá auðvelda eftirfarandi almennu verklagsreglur úrlausn dæma og gera svörin merkingarbærari. Vissrar sköpunargáfu og innsæis er einnig krafist.

1. Skoðið aðstæðurnar til að ákvarða hvaða eðlisfræðilegu lögmál eiga við. Það er mikilvægt að teikna einfalda skissu í upphafi. Ákveðið hvaða stefna er jákvæð og merkið það inn á skissuna.
2. Greinið þekktar stærðir: Gerið lista yfir þær upplýsingar sem eru gefnar eða hægt er að álykta út frá lýsingu dæmisins. Munið að ekki eru allar gefnar upplýsingar á formi tölu með einingum í dæminu. Ef eitthvað fer af stað úr kyrrstöðu vitum við að upphafshraðinn er núll. Ef eitthvað stöðvast vitum við að lokahraðinn er núll.
3. Greinið óþekktar stærðir: Ákveðið nákvæmlega hvað þarf að finna í dæminu.
4. Finnið jöfnu eða jöfnur sem geta hjálpað ykkur að leysa dæmið. Listinn yfir þekktar og óþekktar stærðir getur hjálpað hér. Til dæmis, ef tíma er ekki þörf eða hann ekki gefinn, þá gæti fimmta hreyfijafnan, sem inniheldur ekki tíma, komið að gagni.
5. Setjið þekktu stærðirnar ásamt einingum þeirra inn í viðeigandi jöfnu og fáið út tölulegar lausnir ásamt einingum. Þetta skref gefur tölulega svarið; það veitir einnig athugun á einingum sem getur hjálpað ykkur að finna villur. Ef einingar svarsins eru rangar, þá hefur villa verið gerð.
6. Athugið svarið til að sjá hvort það sé raunhæft: Er það skynsamlegt? Þetta lokaskref er afar mikilvægt vegna þess að markmið eðlisfræðinnar er að lýsa náttúrunni nákvæmlega. Til að sjá hvort svarið sé raunhæft skal athuga stærð þess, formerki og einingar. Eru markverðu tölustafirnir réttir?

Samantekt á úrlausn dæma

• Ákvarðið þekktar og óþekktar stærðir.
• Finnið jöfnu sem lýsir óþekktu stærðinni út frá þeim þekktu. Fleiri en ein óþekkt stærð þýðir að þörf er á fleiri en einni jöfnu.
• Leysið jöfnuna eða jöfnurnar.
• Gangið úr skugga um að einingar og markverðir tölustafir séu réttir.
• Athugið hvort svarið sé raunhæft.

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] [AL] Íhugið að byrja á einfölduðu samantektinni á úrlausn dæma og útvíkka hana síðan í ítarlegri lýsinguna hér að ofan. Leggið áherslu á að þetta er ekki stíf uppskrift sem getur leyst öll dæmi. Enn er krafist beitingar á greiningarhæfni. Ef frumgreiningin er rétt og þekktar og óþekktar stærðir eru rétt flokkaðar, ætti afgangurinn að vera réttur. Prófið að beita aðferðinni á nokkur hversdagsleg vandamál sem ekki eru stærðfræðileg. Biðjið um tillögur.

Gaman í eðlisfræði

Spyrnuakstur

Markmið spyrnuaksturs er hröðun. Punktur! Keppnirnar fara fram frá kyrrstöðu á beinni kvartmílu (402 m) braut. Yfirleitt keppa tveir bílar hlið við hlið og sigurvegarinn er sá ökumaður sem kemur bílnum fyrst yfir kvartmílu markið. Við marklínuna geta bílarnir verið á meira en 300 mílna hraða á klukkustund (134 m/s). Ökumaðurinn leysir þá út fallhlíf til að stöðva bílinn því það er óöruggt að hemla á svo miklum hraða. Bílarnir, sem kallaðir eru spyrnubílar, geta hraðað sér um²6 m/s². Til samanburðar getur dæmigerður sportbíll sem almenningur getur keypt hraðað sér um 5 m/s².

Nokkrar mælingar eru gerðar í hverri spyrnukeppni:

• Viðbragðstími er tíminn frá rásmerki þar til framendi bílsins fer yfir ráslínuna.
• Liðinn tími er tíminn frá því að ökutækið fer yfir ráslínuna þar til það fer yfir marklínuna. Metið er rúmlega 3 s.
• Hraði er meðalhraði á síðustu 20 m fyrir marklínuna. Metið er tæplega 400 mi/h.

Myndbandið sýnir keppni milli tveggja spyrnubíla sem knúnir eru þotuhreyflum. Samtals varir keppnin í um fjórar sekúndur og er nálægt lokum myndbandsins.

Stuðningur við kennara

Útskýrið stefnu og stærð hröðunar- og hraðavigra fyrir og eftir að hemlafallhlífin er leyst út. Útskýrið að ¼ míla er 440 jardar. Ef einhverjir nemendur eru í frjálsíþróttum gætuð þið beðið þá um að lýsa þessari vegalengd. Berið met á þessari braut saman við 4 sekúndur.

1. 0 m/s
2. 35 m/s
3. 70 m/s
4. 140 m/s

Unnið dæmi

Hröðun spyrnubíls

Aðferð

Tíminn sem það tekur spyrnubíl að fara yfir marklínuna er óþekktur. Spyrnubíllinn hraðar sér úr kyrrstöðu með 26 m/s² í kvartmílu (0,250 mi). Hver er lokahraði spyrnubílsins?

Aðferð

Jafnan v² = v₀² + 2a(d − d₀) hentar fullkomlega í þetta verkefni því hún gefur hraðann út frá hröðun og færslu, án þess að nota tíma.

Lausn

Lausn

1. Breytið mílum í metra. ( 0,250 mi ) * 1609 m¹ mi = 402 m 3.9
2. Greinið þekktu stærðirnar. Við vitum að v₀ = 0 þar sem spyrnubíllinn fer af stað úr kyrrstöðu, og við vitum að vegalengdin sem farin er, d − d₀ er 402 m. Að lokum er hröðunin jöfn a = 26,0 m/s².
3. Setjið þekktu stærðirnar inn í jöfnuna v² = v₀² + 2a(d − d₀) og leysið fyrir v. v² = 0 + 2 ( 26,0 m s² ) ( 402 m ) = 2,09 * 10⁴ m² s² 3.10

Með því að taka kvaðratrótina fáum við v = 2,09 × 10⁴ m² s² = 145 m s.

Umræða

145 m/s er um það bil 522 km/klst.our eða um það bil 324 mi/h, en jafnvel þessi ofsahraði nær ekki metinu fyrir kvartmílu. Athugið einnig að kvaðratrót hefur tvö gildi. Við völdum jákvæða gildið vegna þess að við vitum að hraðinn verður að vera í sömu stefnu og hröðunin til að svarið hafi eðlisfræðilega merkingu.

Skoðun á jöfnunni v² = v₀² + 2a(d − d₀) getur veitt frekari innsýn í almenn tengsl milli eðlisfræðilegra stærða:

• Lokahraðinn er háður stærð hröðunarinnar og vegalengdinni sem hún verkar yfir.
• Fyrir tiltekna hröðun stoppar bíll sem ferðast helmingi hraðar ekki á tvöfaldri vegalengd – hann ferðast mun lengra áður en hann stoppar. Þetta er ástæðan fyrir því að við höfum til dæmis lækkaðan hámarkshraða nálægt skólum.

Stuðningur við kennara

[OL] Farið í gegnum skrefin við lausn dæma með nemandanum.

1. Hvert er markmiðið?
2. Hvað er þekkt og hvað er óþekkt?
3. Hvaða jafna lýsir hinu óþekkta með tilliti til hinna þekktu stærða?
4. Leysið fyrir óþekktu stærðina.
5. Setjið inn þekkt gildi.
6. Reiknið.
7. Athugið hvort svarið sé raunhæft og hafi réttar einingar, formerki og markverða tölustafi.

Endurtakið fyrir hitt sýnidæmið.

[AL] Hefjið umræðu um breytileika þyngdarafls. Berið saman þyngdarafl á jörðinni og þyngdarafl á tunglinu. Útskýrið muninn á g og fasta sem eru eins alls staðar í alheiminum, eins og ljóshraða.

Æfingadæmi

Spyrnubílar geta náð hámarkshraða upp á 145 m/s á aðeins 4,45 s. Reiknið meðalhröðun fyrir slíkan spyrnubíl.

1. −32,6 m/s²
2. 0 m/s²
3. 32,6 m/s²
4. 145 m/s²

Spretthlaupari í ólympíuflokki hefur hlaup með hröðuninni 4,50 m/s². Að því gefnu að hún geti haldið þeirri hröðun, hver er hraði hennar 2,40 s síðar?

1. 4,50 m/s
2. 10,8 m/s
3. 19,6 m/s
4. 44,1 m/s

Jöfn hröðun

Í mörgum tilfellum er hröðun ekki jöfn vegna þess að krafturinn sem verkar á hlutinn er ekki fasti yfir tíma. Aðstæður sem gefa jafna hröðun er hröðun fallandi hluta. Þegar loftmótstaða hefur ekki áhrif falla allir hlutir nálægt yfirborði jarðar með hröðun sem er um það bil 9,80 m/s². Þótt þetta gildi lækki lítillega með aukinni hæð má gera ráð fyrir að það sé í meginatriðum fasti. Gildið 9,80 m/s² er táknað með g og er kallað þyngdarhröðun. Þyngdarafl er krafturinn sem veldur því að hlutir án stuðnings fá hröðun niður á við – eða, nánar tiltekið, í átt að miðju jarðar. Stærð þessa krafts er kölluð þyngd hlutarins og er gefin með mg þar sem m er massi hlutarins (í kg). Á öðrum stöðum en jörðinni, eins og á tunglinu eða öðrum reikistjörnum, er g ekki 9,80 m/s², heldur tekur það önnur gildi. Þegar g er notað fyrir hröðunina a í hreyfijöfnu er það venjulega með neikvæðu formerki því þyngdarhröðunin er niður á við.

Starf í eðlisfræði

Áhrif mikillar hröðunar

Þegar þú ert í ökutæki sem hraðar sér hratt finnur þú fyrir krafti á allan líkamann sem veldur hröðun á líkama þínum. Þú finnur fyrir þessum krafti í bílum og aðeins meira í tækjum í skemmtigörðum. Til dæmis, þegar þú ferðast í bíl sem beygir, beitir bíllinn krafti á líkama þinn til að láta þig fá hröðun í þá átt sem bíllinn beygir. Ef nægum krafti er beitt færðu hröðunina 9,80 m/s². Þetta er sama hröðun og þyngdarhröðunin, svo þessi kraftur er kallaður eitt G.

Eitt G er krafturinn sem þarf til að gefa hlut hröðun sem jafngildir þyngdarhröðun við yfirborð jarðar. Þannig er eitt G fyrir pappamál mun minna en eitt G fyrir fíl, vegna þess að fíllinn er mun massameiri og krefst meiri krafts til að fá hröðunina 9,80 m/s². Fyrir manneskju er G upp á um það bil⁴ svo sterkt að andlit viðkomandi aflagast þegar beinin fá hröðun fram á við í gegnum lausan vefinn. Önnur einkenni við mjög há G eru sjóntruflanir, meðvitundarleysi og jafnvel dauði. Geimferjan framkallar um það bil 3 G við flugtak og þegar komið er aftur inn í gufuhvolfið. Sumir rússíbanar og spyrnubílar framkalla krafta upp á um það bil 4 G fyrir farþega sína. Orrustuþota getur framkallað allt að 12 G í krappri beygju.

Geimfarar og orrustuflugmenn verða að gangast undir þjálfun í G-krafti í hermum. Myndbandið sýnir upplifun nokkurra einstaklinga sem gangast undir þessa þjálfun.

Fólk, eins og geimfarar, sem vinnur með G-krafta verður einnig að þjálfast í að upplifa núll G – einnig kallað frjálst fall eða þyngdarleysi – sem getur valdið ógleði. NASA á flugvél sem gerir farþegum kleift að upplifa um það bil²⁵ s af frjálsu falli. Flugvélin hefur gælunafnið Æluhalastjarnan (e. Vomit Comet).

Stuðningur við kennara

Nefnið að síðar í þessum áfanga munu nemendur kynnast áhugaverðum hugtökum tengdum þyngdarafli og hröðun þegar farið verður í almennu afstæðiskenninguna. Að hluta til byggir kenningin á þeirri hugmynd að ekki sé hægt að greina á milli þyngdarafls og hröðunar, hvorki upplifunarlega né stærðfræðilega. Þegar þú ert í lyftu á leið upp, geturðu í raun greint hvort þú ert að fá hröðun eða hvort þyngdaraflið hefur skyndilega orðið sterkara?

Athugun á skilningi

Algeng leið til að lýsa hröðun er að setja hana fram sem margfeldi af g, þyngdarhröðun jarðar. Ef spyrnubíll hefur hröðunina 39,2 m/s², hversu mörg g upplifir ökumaðurinn?

1. 1,5 g
2. 4,0 g
3. 10,5 g
4. 24,5 g

Unnið dæmi

Fallandi hlutir

Aðferð

Manneskja sem stendur á brún hás klettaveggs kastar steini beint upp með upphafshraðanum v₀ sem er 13 m/s.

(a) Reiknið staðsetningu og hraða steinsins 1,00, 2,00 og 3,00 sekúndum eftir að honum er kastað. Horfið framhjá áhrifum loftmótstöðu.

Aðferð

Teiknið upphafshraða- og hröðunarvigurana og ásana.

Skráið þekktu stærðirnar: tími t = 1,00 s, 2,00 s og 3,00 s; upphafshraði v₀ = 13 m/s; hröðun a = g = –9,80 m/s² ; og staðsetning y⁰ = 0 m

Skráið óþekktu stærðirnar: y¹, y², og y³ ; v¹, v², og v 3 —þar sem 1, 2, 3 vísa til tímanna 1,00 s, 2,00 s, og 3,00 s

Veljið jöfnurnar.

Þessar jöfnur lýsa óþekktu stærðunum eingöngu með þekktum stærðum.

Lausn

Lausn

y 1 = 0 + ( 13,0 m/s ) ( 1,00 s ) + ( −9,80 m/s² ) ( 1,00 s ) 2 2 = 8,10 m y 2 = 0 + ( 13,0 m/s ) ( 2,00 s ) + ( −9,80 m/s² ) ( 2,00 s ) 2 2 = 6,40 m y 3 = 0 + ( 13,0 m/s ) ( 3,00 s ) + ( −9,80 m/s² ) ( 3,00 s ) 2 2 = −5,10 m v 1 = 13,0 m/s + ( −9,80 m/s² ) ( 1,00 s ) = 3,20 m/s v² = 13,0 m/s + ( −9,80 m/s² ) ( 2,00 s ) = −6,60 m/s v 3 = 13,0 m/s + ( −9,80 m/s² ) ( 3,00 s ) = −16,4 m/s

Umræða

Fyrstu tvö jákvæðu gildin fyrir y sýna að steinninn er enn fyrir ofan brún klettsins, og þriðja neikvæða y gildið sýnir að hann hefur farið framhjá upphafspunktinum og er fyrir neðan klettinn. Munið að við skilgreindum upp sem jákvæða stefnu. Sérhver staðsetning með jákvæðu gildi er fyrir ofan klettinn, og sérhver hraði með jákvæðu gildi er hraði upp á við. Fyrsta gildið fyrir v er jákvætt, svo steinninn er enn á leiðinni upp. Annað og þriðja gildið fyrir v eru neikvæð, svo steinninn er á leiðinni niður.

Aðferð

(b) Gerið línurit af staðsetningu sem falli af tíma, hraða sem falli af tíma og hröðun sem falli af tíma. Notið þrep sem eru 0,5 s í línuritunum ykkar.

Aðferð

Tími er venjulega teiknaður á x-ásinn vegna þess að hann er óháða breytan. Staðsetning sem fall af tíma verður ekki línuleg, svo reiknið punkta fyrir 0,50 s, 1,50 s, og 2,50 s. Þetta mun gefa feril sem er nær hinu sanna, mjúka formi.

Lausn

Lausn

Línuritin þrjú eru sýnd á mynd 3.13.

Umræða

• y á móti t táknar ekki tvívíðan fleygbogaferil kastferils. Ferill steinsins er beint upp og beint niður. Hallatala snertils við ferilinn í hvaða punkti sem er á ferlinum jafngildir hraðanum í þeim punkti – þ.e. augnablikshraðanum.
• Takið eftir að línan fyrir v á móti t sker lóðrétta ásinn við upphafshraðann og sker lárétta ásinn á þeim tíma þegar steinninn breytir um stefnu og byrjar að falla aftur til jarðar. Þetta línurit er línulegt vegna þess að hröðunin er föst.
• Línuritið fyrir a á móti t sýnir einnig að hröðunin er föst; það er að segja, hún breytist ekki með tímanum.

Stuðningur við kennara

Áður en dæmið er leyst skulu nemendur íhuga eftirfarandi spurningar:

1. Hvert er markmiðið?
2. Hvað er þekkt og hvað er óþekkt?
3. Hvaða jafna lýsir óþekktu stærðinni með tilliti til þekktu stærðanna?

Eftir að dæmið hefur verið leyst skulu nemendur athuga hvort svarið sé raunhæft og hafi réttar einingar, formerki og markverða tölustafi.

Æfingadæmi

1. 0 m/s
2. 19,0 m/s
3. 19,6 m/s
4. 20,0 m/s²0,0 m/s

1. 9,80 m/s
2. 10,0 m/s
3. 19,6 m/s
4. 20,0 m/s²0,0 m/s

Athugaðu skilning þinn

Stuðningur við kennara

Notið þessar spurningar til að meta árangur nemenda í námsmarkmiðum hlutans. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið mun leiðsagnarmatið hjálpa til við að greina hvaða markmið er vandamálið svo þið getið beint nemendum að viðeigandi efni.

Nefnið breyturnar fjórar sem finnast í hreyfijöfnunum.

1. Færsla, kraftur, massi og tími
2. Hröðun, færsla, tími og hraði
3. Lokahraði, kraftur, upphafshraði og massi
4. Hröðun, lokahraði, kraftur og upphafshraði

Spurning 11. Hvaða skref af eftirfarandi er alltaf nauðsynlegt til að leysa hreyfifræðidæmi?

1. Finna kraftinn sem verkar á hlutinn.
2. Finna hröðun hlutar.
3. Finna upphafshraða hlutar.
4. Finna viðeigandi hreyfijöfnu og leysa síðan fyrir óþekktu stærðina.

Spurning 12. Hvert af eftirfarandi gefur rétt svar við dæmi sem hægt er að leysa með hreyfijöfnunum?

1. Hlutur fer úr kyrrstöðu og hraðar sér um 4 m/s² í² s. Lokahraði hlutarins er 8 m/s. Hlutur fer úr kyrrstöðu og hraðar sér um 4 m/s² í 2 s. Lokahraði hlutarins er 8 m/s.
2. Hlutur fer úr kyrrstöðu og hraðar sér um 4 m/s² í² s. Lokahraði hlutarins er 16 m/s. Hlutur fer úr kyrrstöðu og hraðar sér um 4 m/s² í 2 s. Lokahraði hlutarins er 16 m/s.
3. Hlutur með massann 2 kg verður fyrir krafti að stærð 4 N. Hröðun hlutarins er 2 m/s².
4. Hlutur með massann 2 kg verður fyrir krafti að stærð 4 N. Hröðun hlutarins er 0,5 m/s².