3.1 Hröðun

3.1 Hröðun

Markmið hlutans

Að þessum kafla loknum muntu geta gert eftirfarandi:

• Útskýrt hröðun og ákvarðað stefnu og stærð hröðunar í einni vídd
• Greint hreyfingu í einni vídd með hreyfijöfnum og myndrænni framsetningu

Stuðningur við kennara

Markmiðin í þessum kafla munu hjálpa nemendum þínum að ná tökum á eftirfarandi viðmiðum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandinn þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu í margvíslegum aðstæðum. Ætlast er til að nemandinn: (A) búi til og túlki línurit og töflur sem lýsa mismunandi tegundum hreyfingar, þar með talið notkun rauntímatækni eins og hreyfiskynjara eða ljóshliða; (B) lýsi og greini hreyfingu í einni vídd með jöfnum sem nota hugtökin vegalengd, færsla, ferð, meðalhraði, augnablikshraði og hröðun.

Að auki tekur verkleg eðlisfræðihandbók framhaldsskóla á efni þessa kafla í æfingunni „Staðsetning og ferð hlutar“, ásamt eftirfarandi viðmiðum:

• (4) Vísindahugtök. Nemandinn þekkir og beitir lögmálum sem stjórna hreyfingu í margvíslegum aðstæðum. Ætlast er til að nemandinn: (B) lýsi og greini hreyfingu í einni vídd með jöfnum sem nota hugtökin vegalengd, færsla, ferð, meðalhraði, augnablikshraði og hröðun.

Lykilhugtök hlutans

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] Hefjið almennar umræður um hröðun og hraðaminnkun. Biðjið um dæmi um hvort tveggja. Útskýrið að hugtakið hraðaminnkun er ekki notað sem sérstök eðlisfræðistærð því hröðun er annaðhvort jákvæð eða neikvæð. Leiðið nemendur að áhugasviðum þeirra, svo sem vélknúnum ökutækjum eða íþróttum. Útskýrið að stóri gríski stafurinn delta þýðir alltaf loka- mínus upphafsgildi og að heildarbreytingin getur verið núll, jákvæð eða neikvæð.

[AL] Kannið hversu mikið nemendur muna um vigra. Hvað táknar vigurör? Biðjið þá um að nefna nokkrar stærðir sem eru vigrar og nokkrar sem eru tölustærðir (skalarar).

Skilgreining á hröðun

Í gegnum þennan kafla munum við nota eftirfarandi hugtök: tími, færsla, hraði og hröðun. Rifjið upp að hvert þessara hugtaka hefur tilgreinda breytu og SI-mælieiningu sem hér segir:

• Tími: t, mældur í sekúndum (s)
• Færsla: Δ d, mæld í metrum (m)
• Hraði: v, mældur í metrum á sekúndu (m/s)
• Hröðun: a, mæld í metrum á sekúndu á sekúndu (m/s², einnig kallað metrar á sekúndu í öðru veldi)
• Athugið einnig eftirfarandi: Δ þýðir breyting á. Lágvísirinn 0 vísar til upphafsgildis; stundum er lágvísirinn i notaður í staðinn til að vísa til upphafsgildis. Lágvísirinn f vísar til lokagildis. Strik yfir tákni, eins og ā, þýðir meðaltal

Stuðningur við kennara

[BL] Rifjið upp skilgreiningar á hugtökunum: tími, færsla, hraði og hröðun. Bendið á að breyturnar sem almennt eru notaðar til að tákna þessar stærðir eru fyrstu stafirnir í samsvarandi hugtaki.

[OL] Staðfestið að nemendur þekki SI-einingarnar sem tími, færsla, hraði og hröðun eru gefin upp í. Takið fram að þetta eru sumar af sjö grunneiningum metrakerfisins. Útskýrið að umbreyting í grunneiningar er gott fyrsta skref þegar þessar stærðir eru reiknaðar. Útskýrið merkinguna á bak við sekúndur í öðru veldi í nefnara hröðunareininganna.

[AL] Rifjið upp allar grunneiningar metrakerfisins. Útskýrið hvernig þessar einingar tengjast innbyrðis. Sýnið til dæmis hvernig lengd er skilgreind út frá tíma.

[BL] [OL] Notið jöfnuna ā = Δv/Δt = (v_f − v₀)/(t_f − t₀) til að leggja áherslu á sambandið milli Δ og lágvísanna f og 0. Gerið greinarmun á jafnri og breytilegri hröðun. Hér gæti komið upp ruglingur, sérstaklega þegar um vaxandi hröðun er að ræða. Gangið úr skugga um að nemendur skilji að hugtakið hraðaminnkun er ekki notað sem sérstök eðlisfræðistærð og að hröðun getur verið annaðhvort jákvæð eða neikvæð.

[AL] Athugið hvort nemendur geti notað hugtakið hröðun til að skilja ruglingslegar staðhæfingar eins og „lækkun á vaxtarhraða“. Notið til dæmis hugtakið hröðun til að greina staðhæfinguna „vaxtarhraði heilbrigðiskostnaðar fer lækkandi“. Ef aukning kostnaðar er skilgreind sem jákvæð, þá væri hröðun heilbrigðiskostnaðar neikvæð.

[OL] Örin fyrir hröðun sem vísar í gagnstæða átt við örina fyrir hraða getur verið ruglingsleg. Útskýrið að hröðunarörin vísar í gagnstæða átt við hraðann vegna þess að hraðinn fer minnkandi, þ.e. hraðaörin styttist.

Hröðun er breyting á hraða deilt með tímabilinu sem breytingin á sér stað á. SI-einingar hraða eru m/s og SI-einingar fyrir tíma eru s, svo SI-einingar fyrir hröðun eru m/s². Meðalhröðun er gefin með

Gerður er greinarmunur á meðalhröðun og augnablikshröðun, sem er hröðun á tilteknu augnabliki í tíma. Stærð hröðunar er oft ekki jöfn yfir tíma. Til dæmis hraða hlauparar í kapphlaupi sér meira á fyrstu sekúndu hlaupsins en á sekúndunum þar á eftir. Þú þarft ekki að vita allar augnablikshraðanir á öllum tímum til að reikna út meðalhröðun. Allt sem þú þarft að vita er breytingin á hraða (þ.e. lokahraði mínus upphafshraði) og breytingin á tíma (þ.e. lokatími mínus upphafstími), eins og sýnt er í formúlunni. Þáttur meðalhröðunar getur verið jákvæður, neikvæður eða núll. Neikvæður hröðunarþáttur er einfaldlega hröðun í neikvæða stefnu eftir þeim ás. Þegar hreyfingin er í einni vídd vísum við oft einfaldlega til þessa sem neikvæðrar hröðunar, og hröðunar í jákvæða stefnu sem jákvæðrar hröðunar.

Hafið í huga að þótt hröðun vísi í sömu stefnu og breytingin á hraða, er hún ekki alltaf í stefnu hraðans sjálfs. Þegar hlutur hægir á sér er hröðun hans í gagnstæða stefnu við hraða hans. Í daglegu tali er þetta kallað hraðaminnkun; en í eðlisfræði er þetta hröðun – en stefna hennar vill svo til að er gagnstæð stefnu hraðans. Í bili skulum við gera ráð fyrir að hreyfing til hægri eftir x-ásnum sé jákvæð og hreyfing til vinstri sé neikvæð.

Mynd 3.2 sýnir bíl með jákvæða hröðun í (a) og neikvæða hröðun í (b). Örvar tákna vigra sem sýna bæði stefnu og stærð hraða og hröðunar.

Hraði og hröðun eru bæði vigurstærðir. Rifjið upp að vigrar hafa bæði stærð og stefnu. Hlutur sem ferðast á jafnri ferð hefur hröðun ef hann breytir um stefnu. Þannig að þegar stýri bíls á hreyfingu er snúið veldur það hröðun bílsins vegna þess að hraðinn breytir um stefnu.

Sýndareðlisfræði

Hreyfikallinn (Maðurinn á hreyfingu)

Með þessari hreyfimynd geturðu framkallað báðar útgáfur af hröðun og hraða sem sýndar eru á mynd 3.2, auk nokkurra annarra útgáfa. Breyttu hraðanum og hröðuninni með því að renna rauðu og grænu merkjunum eftir kvörðunum. Ef hraðamerkinu er haldið nálægt núlli verða áhrif hröðunarinnar augljósari. Prófaðu að breyta hröðuninni úr jákvæðri í neikvæða á meðan maðurinn er á hreyfingu. Við munum koma aftur að þessari hreyfimynd og skoða línuritin (línuritasýn) þegar við förum yfir myndræna framsetningu hreyfingar.

Stuðningur við kennara

Látið nemendur nota mjög lágar stillingar fyrir hraða og hröðun því þá er auðveldara að sjá hvernig hreyfingin breytist. Sýnið nemendum hvernig jákvæður hraði og neikvæð hröðun skapar hreyfingu sem líkist hreyfingu hlutar sem kastað er upp í loftið.

Tékk á skilningi

Hvor hlutinn, (a) eða (b), er sýndur þegar hraðavigurinn er á jákvæðu hlið kvarðans og hröðunarvigurinn er stilltur á neikvæðu hlið kvarðans? Hvernig lítur hreyfing bílsins út fyrir gefnar aðstæður?

1. Hluti (a). Bíllinn hægir á sér vegna þess að hröðunar- og hraðavigrarnir verka í gagnstæðar áttir.
2. Hluti (a). Bíllinn eykur hraðann vegna þess að hröðunar- og hraðavigrarnir verka í sömu átt.
3. Hluti (b). Bíllinn hægir á sér vegna þess að hröðunar- og hraðavigrarnir verka í gagnstæðar áttir.
4. Hluti (b). Bíllinn eykur hraðann vegna þess að hröðunar- og hraðavigrarnir verka í sömu átt.

Útreikningur á meðalhröðun

Lítið aftur á jöfnuna fyrir meðalhröðun. Þið sjáið að útreikningur á meðalhröðun felur í sér þrjú gildi: breytingu á tíma, (Δt ); breytingu á hraða, (Δv ); og hröðun ( a ).

Breyting á tíma er oft sett fram sem tímabil, og breytingu á hraða má oft reikna með því að draga upphafshraðann frá lokahraðanum. Meðalhröðun er þá einfaldlega breyting á hraða deilt með breytingu á tíma. Áður en þið byrjið að reikna skuluð þið ganga úr skugga um að öllum vegalengdum og tímum hafi verið breytt í metra og sekúndur. Skoðið þessi dæmi um hröðun neðanjarðarlestar.

Munið að við greiningu á hreyfingu í aðeins einni vídd þurfum við ekki að nota vigra. Í staðinn getum við meðhöndlað færslu, hraða og hröðun sem tölustærðir (skalara). Ólíkt stærðum (magnitudes) geta tölustærðir verið jákvæðar eða neikvæðar, svo formerkið getur sagt okkur til um stefnuna eftir einvíða ásnum.

Stuðningur við kennara

[BL] [OL] Áður en útreikningar hefjast skal ganga úr skugga um að nemendur skilji jöfnuna fyrir hröðun. Skilja þeir hvað það þýðir þegar stærðir hafa plús- eða mínusmerki? Skilja þeir einingarnar fyrir hverja breytu?

Unnið dæmi

Neðanjarðarlest með hröðun

Aðferð

Neðanjarðarlest hraðar sér úr kyrrstöðu í 30,0 km/klst. á 20,0 s. Hver er meðalhröðunin á þessu tímabili?

Aðferð

Byrjið á því að gera einfalda teikningu.

Þetta dæmi felur í sér fjögur skref:

1. Umbreytið í einingarnar metra og sekúndur.
2. Ákvarðið breytinguna á hraða.
3. Ákvarðið breytinguna á tíma.
4. Notið þessi gildi til að reikna meðalhröðunina.

Lausn

Lausn

1. Finnið þekktu stærðirnar. Lestin byrjar úr kyrrstöðu, þannig að v₀ = 0; v_f = 30,0 km/klst.; og Δt = 20,0 s.
2. Umbreytið lokahraðanum úr km/klst. í m/s.
3. Reiknið breytingu á hraða: Δv = v_f − v₀ = 8,333 m/s −0 = +8,333 m/s. Plúsmerkið sýnir að breytingin á hraða stefnir til hægri.
4. Setjið þekktu gildin inn í jöfnuna fyrir meðalhröðun.

Umræða

Plúsmerkið í svarinu þýðir að hröðunin er til hægri. Þetta er skynsamleg niðurstaða því lestin byrjar úr kyrrstöðu og endar með hraða sem stefnir til hægri (þ.e. jákvæðan). Hröðunin er því í sömu stefnu og breytingin á hraða, eins og hún á að vera.

Stuðningur við kennara

Athugið að aukastafir voru teknir með og námundun að réttum fjölda markverðra tölustafa, 3, var ekki gerð fyrr en lokasvarið var reiknað.

Unnið dæmi

Neðanjarðarlest með hröðun

Aðferð

Gerum nú ráð fyrir að í lok ferðarinnar hægi lestin á sér þar til hún stöðvast á 8,00 s úr hraðanum 30,0 km/klst. Hver er meðalhröðun hennar á þessum tíma?

Aðferð

Gerið aftur einfalda teikningu.

Í þessu tilviki er lestin að hægja á sér (með neikvæða hröðun) og hröðun hennar er neikvæð vegna þess að hún stefnir til vinstri. Eins og í fyrra dæminu verðum við að finna breytinguna á hraða og breytinguna á tíma, og leysa síðan fyrir hröðun.

Lausn

Lausn

1. Finnið þekktu stærðirnar: v₀ = 30,0 km/klst.; v_f = 0; og Δt = 8,00 s.
2. Umbreytið einingunum. Úr fyrra dæminu vitum við að 30,0 km/klst. = 8,333 m/s.
3. Reiknið breytingu á hraða: Δv = v_f − v₀ = 0 −8,333 m/s = −8,333 m/s. Mínusmerkið sýnir að breytingin á hraða stefnir til vinstri.
4. Setjið þekktu gildin inn í jöfnuna fyrir meðalhröðun.

Umræða

Mínusmerkið gefur til kynna að hröðunin sé til vinstri. Þetta er skynsamlegt vegna þess að lestin hefur í upphafi jákvæðan hraða í þessu dæmi, og neikvæð hröðun myndi minnka hraðann. Aftur er hröðunin í sömu stefnu og breytingin á hraða, sem er neikvæð í þessu tilviki. Þessa hröðun má kalla neikvæð hröðun vegna þess að hún hefur gagnstæða stefnu við hraðann.

Stuðningur við kennara

Hjálpið nemendum að sjá sambandið milli stefnu vigurörvanna og plús- og mínusmerkjanna. Útskýrið að ein vísbending um formerki hröðunar er að hún sé í gagnstæða stefnu við hraðann. Bendið einnig á að rétt greining á upphafs- og lokaferð leiði til rétts formerkis fyrir hröðun.

Ráð til að ná árangri

• Það er auðveldara að fá rétt plús- og mínusmerki ef þú gerir alltaf ráð fyrir að hreyfing sé frá núlli og í átt að jákvæðum gildum á x-ásnum. Þannig byrjar v alltaf á að vera jákvætt og bendir til hægri. Ef ferðin eykst, þá er hröðunin jákvæð og bendir einnig til hægri. Ef ferðin minnkar, þá er hröðunin neikvæð og bendir til vinstri.
• Gott er að taka með tvo aukamarkverða tölustafi á milli skrefa þegar reiknað er. Ekki námunda í hverju skrefi. Þegar komið er að lokasvari skal beita reglum um markverða tölustafi fyrir þær aðgerðir sem framkvæmdar voru og námunda að réttum fjölda tölustafa. Stundum gerir þetta svarið örlítið nákvæmara.

Æfingadæmi

1. −0,23 m/s²
2. −4,29 m/s²
3. 0,23 m/s²
4. 4,29 m/s²

1. 0,70 s
2. 1,43 s
3. 2,80 s
4. 3,40 s

Horft á eðlisfræði

Hröðun

Þetta myndband sýnir grunnútreikninga á hröðun og nokkrar gagnlegar einingabreytingar.

Stuðningur við kennara

Biðjið nemendur að taka eftir útskýringum á einingum og greiningu á vigurstærðum. Segið þeim að útreikningarnir sem sýndir eru í myndbandinu séu nokkuð beinskeyttir og að skilgreiningarnar sem gefnar eru fyrir færslu, liðinn tíma, hraða og hröðun ættu að vera skýrar.

Spurning: Hvers vegna er hröðun vigurstærð?

1. Hún er vigurstærð vegna þess að hún hefur bæði stærð og stefnu.
2. Hún er vigurstærð vegna þess að hún hefur stærð en enga stefnu.
3. Hún er vigurstærð vegna þess að hún er reiknuð út frá vegalengd og tíma.
4. Hún er vigurstærð vegna þess að hún er reiknuð út frá ferð og tíma.

Spurning: Hver verður breytingin á hraða á hverri sekúndu ef hröðunin er 10 m/s²?

1. Hröðun 10 m/s² þýðir að á hverri sekúndu eykst hraðinn um 10 m/s.
2. Hröðun 10 m/s² þýðir að á hverri sekúndu minnkar hraðinn um 10 m/s.
3. Hröðun 10 m/s² þýðir að á hverjum 10 sekúndum eykst hraðinn um 10 m/s.
4. Hröðun 10 m/s² þýðir að á hverjum 10 sekúndum minnkar hraðinn um 10 m/s.

Skyndiæfing

Mæling á hröðun reiðhjóls í halla

Í þessari æfingu munuð þið gera mælingar til að ákvarða hvort hröðun reiðhjóls á hreyfingu sé jöfn. Ef hröðunin er jöfn gilda samböndin v̄ = Δd/Δt = (v₀ + v_f)/2. Ef v₀ = 0, þá er v_f = 2v̄ og ā = v_f/Δt.

Þið munuð vinna í pörum við að mæla og skrá gögn fyrir reiðhjól sem rennur niður halla í sléttri, aflíðandi brekku. Gögnin munu samanstanda af vegalengdum og liðnum tíma.

• Finnið opið svæði til að lágmarka hættu á meiðslum í þessari æfingu.
• skeiðklukka
• málband
• reiðhjól

1. Finnið aflíðandi, malbikaða brekku, eins og halla á hjólastíg. Því meira aflíðandi sem brekkan er, þeim mun nákvæmari verða gögnin ykkar líklega.
2. Merkið jafnar vegalengdir eftir brekkunni, t.d. 5 m, 10 m, o.s.frv.
3. Ákveðið eftirfarandi hlutverk: hjólreiðamaður, tímavörður og ritari. Ritarinn ætti að búa til gagnatöflu til að safna gögnum um vegalengd og tíma.
4. Látið hjólreiðamanninn vera kyrran á hjólinu við upphafspunktinn. Þegar tímavörðurinn kallar Byrja, setur tímavörðurinn skeiðklukkuna í gang og hjólreiðamaðurinn byrjar að renna niður brekkuna á hjólinu án þess að stíga.
5. Látið tímavörðinn kalla upp liðinn tíma þegar hjólið fer framhjá hverjum merktum punkti. Ritarinn ætti að skrá tímana í gagnatöfluna. Það gæti þurft að endurtaka ferlið til að æfa hlutverkin og gera nauðsynlegar lagfæringar.
6. Þegar viðunandi gögn hafa verið skráð skal skipta um hlutverk. Endurtakið skref 3–5 til að safna öðru gagnasetti.
7. Skiptið aftur um hlutverk til að safna þriðja gagnasettinu.
8. Reiknið meðalhröðun fyrir hvert sett af vegalengdar- og tímagögnum. Ef niðurstaða ykkar fyrir ā er ekki sú sama fyrir mismunandi pör af Δv og Δt, þá er hröðunin ekki jöfn.
9. Túlkið niðurstöður ykkar.

Stuðningur við kennara

Útskýrið að tveir þættir sem gætu komið í veg fyrir jafna hröðun eru (i) núningur milli dekkja og malbiks og núningur í hjólöxlum, og (ii) loftmótstaða. Ræðið aðferðir til að lágmarka þessa þætti – t.d. að velja sléttara yfirborð fyrir hjólið til að renna á, smyrja öxlana o.s.frv. Útskýrið að núningur mun aðeins minnka hröðun, en loftmótstaða í meðvindi myndi auka hröðun. Ræðið hvers vegna það væri erfitt að rannsaka jafna hröðun ef nemendur myndu stíga á hjólið. Takið fram að hreyfijafnan sem gefin er og gildir fyrir jafna hröðun, sem kynnt er í upphafi skyndiæfingarinnar, verður kynnt nánar í næsta hluta.

Fyrir æfinguna skal kanna viðeigandi svæði í kringum skólann sem hafa aflíðandi, jafnan halla. Ef fjöldi reiðhjóla er takmarkaður, íhugið að framkvæma æfinguna með allan bekkinn saman eða í stærri hópum. Tryggið að fyrirhugaðar leiðir nemendahópa skerist ekki og að það sé nægt rými fyrir hjólreiðamenn til að stoppa án hættu á meiðslum.

Skilningsathugun

Ef þú teiknar línurit af meðalhraða (y-ás) á móti liðnum tíma (x-ás), hvernig myndi línuritið líta út ef hröðunin er jöfn?

1. lárétt lína á línuritinu
2. ská lína á línuritinu
3. fleygbogi sem opnast upp á línuritinu
4. fleygbogi sem opnast niður á línuritinu

Athugaðu skilning þinn

Stuðningur við kennara

Notið þessar spurningar til að meta árangur nemenda varðandi námsmarkmið hlutans. Ef nemendur eiga í erfiðleikum með tiltekið markmið munu þessar spurningar hjálpa til við að greina eyður og beina nemendum að viðeigandi efni.

Á hvaða þrjá vegu getur hlutur haft hröðun?

1. Með því að auka ferð, halda jöfnum hraða eða breyta um stefnu
2. Með því að auka ferð, hægja á sér eða breyta um stefnu
3. Með því að halda jöfnum hraða, hægja á sér eða breyta um stefnu
4. Með því að auka ferð, hægja á sér eða halda jöfnum hraða

Hver er munurinn á meðalhröðun og augnablikshröðun?

1. Meðalhröðun er breyting á færslu deilt með liðnum tíma; augnablikshröðun er hröðun á tilteknu augnabliki.
2. Meðalhröðun er hröðun á tilteknu augnabliki; augnablikshröðun er breyting á færslu deilt með liðnum tíma.
3. Meðalhröðun er breyting á hraða deilt með liðnum tíma; augnablikshröðun er hröðun á tilteknu augnabliki.
4. Meðalhröðun er hröðun á tilteknu augnabliki; augnablikshröðun er breyting á hraða deilt með liðnum tíma.

Spurning 5. Hvað kallast breytingarhraði hraðans?

1. tími
2. færsla
3. hraði
4. hröðun