1010 Annars stigs jöfnur

10.2 Leysið annars stigs jöfnur með því að fylla í ferning

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Fyllt tvíliðustæðu í ferning
Leyst annars stigs jöfnur af gerðinni x 2 + b x + c = 0 með því að fylla í ferning
Leyst annars stigs jöfnur af gerðinni a x 2 + b x + c = 0 með því að fylla í ferning

Hingað til höfum við leyst annars stigs jöfnur með þáttun og ferningsrótarreglunni. Í þessum hluta leysum við annars stigs jöfnur með aðferð sem kallast að fylla í ferning.

Fyllið tvíliðustæðu í ferning

Í síðasta hluta gátum við notað ferningsrótarregluna til að leysa jöfnuna ${(y - 7)}^{2} = 12$ vegna þess að vinstri hliðin var ferningur stæðu.

\begin{matrix} {(y - 7)}^{2} & = & 12 \\ y - 7 & = & \pm \sqrt{12} \\ y - 7 & = & \pm 2 \sqrt{3} \\ y & = & 7 \pm 2 \sqrt{3} \end{matrix}

Við leystum einnig jöfnu þar sem vinstri hliðin var fullkominn ferningsþríliður, en þurftum að endurrita hana á forminu ${(x - k)}^{2}$ til að geta notað ferningsrótarregluna.

\begin{matrix} x^{2} - 10 x + 25 & = & 18 \\ {(x - 5)}^{2} & = & 18 \end{matrix}

Hvað gerist ef breytan kemur ekki fyrir í stæðu sem er ferningur? Getum við notað algebru til að mynda slíka stæðu?

Skoðum formúluna fyrir ferning tvíliðar sem við höfum oft notað. Við skoðum tvö dæmi.

\begin{matrix} \begin{matrix} {(x + 9)}^{2} \\ (x + 9) (x + 9) \\ x^{2} + 9 x + 9 x + 81 \\ x^{2} + 18 x + 81 \end{matrix} & \begin{matrix} {(y - 7)}^{2} \\ (y - 7) (y - 7) \\ y^{2} - 7 y - 7 y + 49 \\ y^{2} - 14 y + 49 \end{matrix} \end{matrix}

Við getum notað þessa formúlu til að „mynda“ stæðu sem er ferningur.

Við byrjum á stæðunni $x^{2} + 6 x$ . Þar sem plúsmerki er á milli liðanna tveggja notum við formúluna ${(a + b)}^{2}$ .

a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}

Athugið að fyrsti liður $x^{2} + 6 x$ er ferningurinn $x^{2}$ .

Við vitum nú að $a = x$ .

Hvaða tölu getum við lagt við $x^{2} + 6 x$ til að mynda fullkominn ferningsþrílið?

Miðliður formúlunnar fyrir ferning tvíliðar, $2 a b$ , er tvöfalt margfeldi liða tvíliðarins. Það merkir að tvöfalt margfeldi $x$ og einhverrar tölu er $6 x$ . Tvöföld sú tala verður því að vera sex. Talan sem við þurfum er $\frac{1}{2} \cdot 6 = 3 .$ . Síðari liður tvíliðarins, $b,$ , verður að vera 3.

Við vitum nú að $b = 3$ .

Nú hefjum við síðari lið tvíliðarins í annað veldi til að fá síðasta lið fullkomna ferningsþríliðarins. Við hefjum því þrjá í annað veldi og fáum síðasta liðinn, níu.

Nú getum við þáttað í

Við höfum því séð að með því að leggja níu við $x^{2} + 6 x$ myndast fullkominn ferningsþríliður, sem við ritum sem ${(x + 3)}^{2}$ .

Dæmi 10.14

Fyllið í ferning til að mynda fullkominn ferningsþrílið. Ritið síðan niðurstöðuna sem ferning tvíliðar.

$x^{2} + 14 x$

Lausn

Stuðull x er 14.
Finnið ( $\frac{1}{2}$ b ) 2 . ( $\frac{1}{2}$ ⋅ 14 ) 2 ( 7 ) 2 49
Leggið 49 við tvíliðinn til að fylla í ferninginn.	x² + 14 x + 49
Endurskrifið sem ferning tvíliðar.	( x + 7 ) 2

Dæmi 10.15

Fyllið í ferning til að mynda fullkominn ferningsþrílið. Ritið síðan niðurstöðuna sem ferning tvíliðar. $m^{2} - 26 m$

Lausn

Stuðull m er −26.
Finnið ( $\frac{1}{2}$ b ) 2 . ( $\frac{1}{2}$ ⋅ ( − 26 ) ) 2 ( − 13 ) 2 169
Leggið 169 við tvíliðinn til að fylla í ferninginn.	m² − 26 m + 169
Endurskrifið sem ferning tvíliðar.	( m − 13 ) 2

Dæmi 10.16

Fyllið í ferning til að mynda fullkominn ferningsþrílið. Ritið síðan niðurstöðuna sem ferning tvíliðar.

$u^{2} - 9 u$

Lausn

Stuðull u er −9.
Finnið ( $\frac{1}{2}$ b ) 2 . ( $\frac{1}{2}$ ⋅ ( − 9 ) ) 2 ( − $\frac{9}{2}$ ) 2 $\frac{81}{4}$
Leggið $\frac{81}{4}$ við tvíliðinn til að fylla í ferninginn.	u² − 9 u + 81/4
Endurskrifið sem ferning tvíliðar.	( u − $\frac{9}{2}$ ) 2

Dæmi 10.17

Fyllið í ferning til að mynda fullkominn ferningsþrílið. Ritið síðan niðurstöðuna sem ferning tvíliðar.

$p^{2} + \frac{1}{2} p$

Lausn

Stuðull p er $\frac{1}{2}$ .
Finnið ( $\frac{1}{2}$ b ) 2 . ( $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{1}{2}$ ) 2 ( $\frac{1}{4}$ ) 2 $\frac{1}{16}$
Leggið $\frac{1}{16}$ við tvíliðinn til að fylla í ferninginn.	p² + 1/2 p + 1/16
Endurskrifið sem ferning tvíliðar.	( p + $\frac{1}{4}$ ) 2

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni x 2 + bx + c = 0 með því að fylla í ferning

Þegar jöfnur eru leystar verðum við alltaf að gera það sama við báðar hliðar jöfnunnar. Þetta gildir að sjálfsögðu einnig þegar annars stigs jafna er leyst með því að fylla í ferning. Þegar við leggjum lið við aðra hlið jöfnunnar til að mynda fullkominn ferningsþrílið verðum við einnig að leggja sama lið við hina hliðina.

Ef við byrjum til dæmis á jöfnunni $x^{2} + 6 x = 40$ og viljum fylla í ferning vinstra megin leggjum við níu við báðar hliðar jöfnunnar.

Myndin sýnir jöfnuna x í öðru veldi plús sex x jafnt 40. Fyrir neðan er jafnan endurrituð sem x í öðru veldi plús sex x plús autt sæti jafnt 40 plús autt sæti. Þar fyrir neðan er jafnan aftur endurrituð sem x í öðru veldi plús sex x plús níu jafnt 40 plús níu.

Síðan þáttum við vinstra megin og einföldum hægra megin.

{(x + 3)}^{2} = 49

Nú er jafnan á því formi sem þarf til að leysa hana með ferningsrótarreglunni. Með því að fylla í ferning má ummynda jöfnu á formið sem við þurfum til að geta notað ferningsrótarregluna.

Dæmi 10.18

Hvernig leysa á annars stigs jöfnu af gerðinni x 2 + b x + c = 0 með því að fylla í ferning

Leysið $x^{2} + 8 x = 48$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Myndin sýnir skrefin við að leysa jöfnuna x í öðru veldi plús átta x jafnt 48. Fyrsta skrefið er að einangra breytuliðina öðrum megin og fastaliðina hinum megin. Allir breytuliðirnir eru þegar vinstra megin.

Annað skrefið er að finna ferning helmings b, töluna sem þarf til að fylla í ferning, og leggja hana við báðar hliðar jöfnunnar. Stuðull x er átta og því er b átta. Helmingur átta er fjórir og ferningur hans er 16. Leggið 16 við báðar hliðar jöfnunnar og fáið x í öðru veldi plús átta x plús 16 jafnt 48 plús 16.

Þriðja skrefið er að þátta fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar. Vinstri hliðin er fullkomni ferningsþríliðurinn x í öðru veldi plús átta x plús 16, sem þáttast í stærðina x plús fjórir í öðru veldi. Hægra megin er summa 48 og 16 jöfn 64. Jafnan er nú stærðin x plús fjórir í öðru veldi jafnt 64.

Fjórða skrefið er að nota ferningsrótarregluna og fá jöfnuna x plús fjórir jafnt plús eða mínus ferningsrótin af 64.

Fimmta skrefið er að einfalda rótarstæðuna og leysa síðan jöfnurnar tvær sem fást. Ferningsrótin af 64 er átta. Rita má jöfnuna sem tvær jöfnur: x plús fjórir jafnt átta og x plús fjórir jafnt mínus átta. Þegar jöfnurnar eru leystar fæst x jafnt fjórum eða mínus 12.

Sjötta skrefið er að sannreyna lausnirnar. Setjið hvort svar inn í upphaflegu jöfnuna. Þegar x jafnt fjórum er sett inn fæst fjórir í öðru veldi plús átta sinnum fjórir jafnt 48. Vinstri hliðin einfaldast í 16 plús 32, sem er 48. Þgar x jafnt mínus 12 er sett inn fæst mínus 12 í öðru veldi plús átta sinnum mínus 12 jafnt 48. Vinstri hliðin einfaldast í 144 mínus 96, sem er 48.

Dæmi 10.19

Leysið $y^{2} - 6 y = 16$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Breytuliðirnir eru vinstra megin.
Takið helming − 6 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( − 6 ) ) 2 = 9
Leggið 9 við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einangrið y.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Leysið jöfnurnar.
Sannreynið.

Dæmi 10.20

Leysið $x^{2} + 4 x = −21$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Breytuliðirnir eru vinstra megin.
Takið helming 4 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( 4 ) ) 2 = 4
Leggið 4 við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Við getum ekki tekið ferningsrót af neikvæðri tölu.	Engin rauntölulausn er til.

Í dæminu hér á undan var engin rauntölulausn vegna þess að ${(x + k)}^{2}$ var jafnt neikvæðri tölu.

Dæmi 10.21

Leysið $p^{2} - 18 p = −6$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Breytuliðirnir eru vinstra megin.
Takið helming − 18 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( − 18 ) ) 2 = 81
Leggið 81 við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einangrið p.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Sannreynið.

Einnig má sannreyna þetta með reiknivél. Reiknið gildi $p^{2} - 18 p$ fyrir báðar lausnirnar. Svarið á að vera $−6$ .

Við byrjum næsta dæmi á því að einangra breytuliðina vinstra megin í jöfnunni.

Dæmi 10.22

Leysið $x^{2} + 10 x + 4 = 15$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Breytuliðirnir eru vinstra megin.
Dragið 4 frá til að færa fastaliðina hægra megin.
Takið helming 10 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( 10 ) ) 2 = 25
Leggið 25 við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einangrið x.
Endurskrifið sem tvær jöfnur.
Leysið jöfnurnar.
Sannreynið.

Til að leysa næstu jöfnu verðum við fyrst að safna öllum breytuliðunum vinstra megin í jöfnunni. Síðan höldum við áfram eins og í fyrri dæmum.

Dæmi 10.23

Leysið $n^{2} = 3 n + 11$ með því að fylla í ferning.

Lausn


Dragið 3 n frá til að færa breytuliðina vinstra megin.
Takið helming − 3 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( − 3 ) ) 2 = $\frac{9}{4}$
Leggið $\frac{9}{4}$ við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Leggið saman brotin hægra megin.
Notið ferningsrótarregluna.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einangrið n.
Endurskrifið sem tvær jöfnur.
Sannreynið lausnirnar.

Athugið að vinstri hlið næstu jöfnu er á þáttuðu formi. Hægri hliðin er hins vegar ekki núll og því getum við ekki notað núllmargfeldisregluna. Þess í stað margföldum við þættina og setjum síðan jöfnuna á staðalform til að leysa hana með því að fylla í ferning.

Dæmi 10.24

Leysið $(x - 3) (x + 5) = 9$ með því að fylla í ferning.

Lausn


Margfaldið tvíliðina vinstra megin.
Leggið 15 við til að færa breytuliðina vinstra megin.
Takið helming 2 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( 2 ) ) 2 = 1
Leggið 1 við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Einangrið x.
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.
Einfaldið.
Sannreynið lausnirnar.

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni ax 2 + bx + c = 0 með því að fylla í ferning

Aðferðin við að fylla í ferning virkar best þegar forystustuðullinn er einn og vinstri hlið jöfnunnar er því af gerðinni $x^{2} + b x + c$ . Ef $x^{2}$ -liðurinn hefur stuðul tökum við nokkur undirbúningsskref til að gera stuðulinn jafnan einum.

Stundum má taka stuðulinn út fyrir alla þrjá liði þríliðarins. Það verður aðferð okkar í næsta dæmi.

Dæmi 10.25

Leysið $3 x^{2} - 12 x - 15 = 0$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Til að fylla í ferning þarf stuðull $x^{2}$ að vera einn. Ef við tökum stuðul $x^{2}$ út sem sameiginlegan þátt getum við haldið áfram að leysa jöfnuna með því að fylla í ferning.


Takið stærsta sameiginlega þáttinn út fyrir sviga.
Deilið báðum hliðum með 3 til að einangra þríliðinn.
Einfaldið.
Dragið 5 frá til að færa fastaliðina hægra megin.
Takið helming 4 og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( 4 ) ) 2 = 4
Leggið 4 við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Einangrið x.
Endurskrifið þannig að 2 lausnir sjáist.
Einfaldið.
Sannreynið.

Til að fylla í ferning verður forystustuðullinn að vera einn. Þegar forystustuðullinn er ekki þáttur allra liðanna deilum við báðum hliðum jöfnunnar með honum. Þá verður annar stuðullinn brot. Við höfum þegar séð í þessum hluta hvernig fyllt er í ferning með brotum.

Dæmi 10.26

Leysið $2 x^{2} - 3 x = 20$ með því að fylla í ferning.

Lausn

Fyrsta skrefið er aftur að gera stuðul $x^{2}$ jafnan einum. Með því að deila báðum hliðum jöfnunnar með stuðli $x^{2}$ getum við síðan haldið áfram að leysa jöfnuna með því að fylla í ferning.


Deilið báðum hliðum með 2 til að gera stuðul x 2 jafnan 1.
Einfaldið.
Takið helming − $\frac{3}{2}$ og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ( − $\frac{3}{2}$ ) ) 2 = $\frac{9}{16}$
Leggið $\frac{9}{16}$ við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Leggið saman brotin hægra megin.
Notið ferningsrótarregluna.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einangrið x.
Endurskrifið þannig að 2 lausnir sjáist.
Einfaldið.
Sannreynið lausnirnar..

Dæmi 10.27

Leysið $3 x^{2} + 2 x = 4$ með því að fylla í ferning.

Lausn


Deilið báðum hliðum með 3 til að gera stuðul x 2 jafnan 1.
Einfaldið.
Takið helming $\frac{2}{3}$ og hefjið í annað veldi. ( $\frac{1}{2}$ ⋅ $\frac{2}{3}$ ) 2 = $\frac{1}{9}$
Leggið $\frac{1}{9}$ við báðar hliðar.
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn sem ferning tvíliðar.
Notið ferningsrótarregluna.
Einfaldið rótarstæðuna.
Einangrið x.
Endurskrifið þannig að 2 lausnir sjáist.
Sannreynið lausnirnar..

Verkefni úr hluta 10.2

Æfingin skapar meistarann

Fyllið tvíliðustæðu í ferning

Fyllið í ferning til að mynda fullkominn ferningsþrílið í eftirfarandi verkefnum. Ritið síðan niðurstöðuna sem ferning tvíliðar.

57.

$a^{2} + 10 a$

58.

$b^{2} + 12 b$

59.

$m^{2} + 18 m$

60.

$n^{2} + 16 n$

61.

$m^{2} - 24 m$

62.

$n^{2} - 16 n$

63.

$p^{2} - 22 p$

64.

$q^{2} - 6 q$

65.

$x^{2} - 9 x$

66.

$y^{2} + 11 y$

67.

$p^{2} - \frac{1}{3} p$

68.

$q^{2} + \frac{3}{4} q$

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni $x^{2} + b x + c = 0$ með því að fylla í ferning

Leysið jöfnurnar í eftirfarandi verkefnum með því að fylla í ferning.

69.

$v^{2} + 6 v = 40$

70.

$w^{2} + 8 w = 65$

71.

$u^{2} + 2 u = 3$

72.

$z^{2} + 12 z = −11$

73.

$c^{2} - 12 c = 13$

74.

$d^{2} - 8 d = 9$

75.

$x^{2} - 20 x = 21$

76.

$y^{2} - 2 y = 8$

77.

$m^{2} + 4 m = −44$

78.

$n^{2} - 2 n = −3$

79.

$r^{2} + 6 r = −11$

80.

$t^{2} - 14 t = −50$

81.

$a^{2} - 10 a = −5$

82.

$b^{2} + 6 b = 41$

83.

$u^{2} - 14 u + 12 = −1$

84.

$z^{2} + 2 z - 5 = 2$

85.

$v^{2} = 9 v + 2$

86.

$w^{2} = 5 w - 1$

87.

$(x + 6) (x - 2) = 9$

88.

$(y + 9) (y + 7) = 79$

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni $a x^{2} + b x + c = 0$ með því að fylla í ferning

Leysið jöfnurnar í eftirfarandi verkefnum með því að fylla í ferning.

89.

$3 m^{2} + 30 m - 27 = 6$

90.

$2 n^{2} + 4 n - 26 = 0$

91.

$2 c^{2} + c = 6$

92.

$3 d^{2} - 4 d = 15$

93.

$2 p^{2} + 7 p = 14$

94.

$3 q^{2} - 5 q = 9$

Stærðfræði í daglegu lífi

95.

Rafi hannar rétthyrndan leikvöll með flatarmálið 320 ferfet. Hann vill að önnur hlið leikvallarins sé fjórum fetum lengri en hin. Einangrið p, lengd annarrar hliðar leikvallarins, í $p^{2} + 4 p = 320$ jöfnunni $p$ 2 + 4 p = 320. Hver er lengd hinnar hliðarinnar?

96.

Yvette vill koma fyrir ferningslaga sundlaug í horni bakgarðsins. Hún ætlar að hafa 3 feta pall sunnan við laugina og 9 feta pall vestan við hana. Hún hefur samtals 1080 ferfet fyrir laugina og pallana tvo. Einangrið s, lengd hliðar laugarinnar, í jöfnunni ( s + 3 ) $(s + 3) (s + 9) = 1080$ ( $s$ + 9 ) = 1080.

Ritunarverkefni

97.

Leysið jöfnuna $x^{2} + 10 x = −25$ ⓐ með ferningsrótarreglunni og ⓑ með því að fylla í ferning. ⓒ Hvora aðferðina kjósið þið? Hvers vegna?

98.

Leysið jöfnuna $y^{2} + 8 y = 48$ með því að fylla í ferning og útskýrið öll skrefin.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur fjórar raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er fyrirsagnarröð sem merkir hvern dálk. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get …“, annar „Örugglega“, þriðji „Með nokkurri hjálp“ og sá síðasti „Nei – ég skil þetta ekki!“. Í næstu röð dálksins „Ég get …“ stendur „fyllt tvíliðustæðu í ferning“. Í næstu röð stendur „leyst annars stigs jöfnur af gerðinni x í öðru veldi plús b x plús c jafnt núlli með því að fylla í ferning“ og í síðustu röð stendur „leyst annars stigs jöfnur af gerðinni a x í öðru veldi plús b x plús c jafnt núlli með því að fylla í ferning“. Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Hvað ætlið þið að gera eftir yfirferð gátlistans til að öðlast öryggi í öllum markmiðunum?