Meginatriði

Meginatriði

10.1 Leysið annars stigs jöfnur með ferningsrótarreglunni

• Ferningsrótarregla Ef
  x 2 = k og k ≥ 0, þá er x = k eða x = − k.

10.2 Leysið annars stigs jöfnur með því að fylla í ferning

• Ferningsregla tvíliða Ef $a,b$ eru rauntölur,
  ${\left(a+b\right)}^2=a^2+2ab+b^2$
  
  ${\left(a-b\right)}^2=a^2-2ab+b^2$
  
  
  
• Fyllið í ferning Til
  að fylla í ferning í $x^2+bx$
  : Skref 1. Finnið $b$, stuðul $x$ . Skref 2. Finnið ${\left(\frac{1}{2}b\right)}^2$, töluna sem fyllir í ferninginn. Skref 3. Leggið ${\left(\frac{1}{2}b\right)}^2$ við $x^2+bx$.
  1. Skref 1. Finnið $b$, stuðul $x$.
  2. Skref 2. Finnið ${\left(\frac{1}{2}b\right)}^2$, töluna sem fyllir í ferninginn.
  3. Skref 3. Leggið ${\left(\frac{1}{2}b\right)}^2$ við $x^2+bx$.

10.3 Leysið annars stigs jöfnur með lausnarformúlunni

• Lausnarformúla annars stigs jöfnu Lausnir annars stigs jöfnu af gerðinni $a{x}^2+bx+c=0,$ $a\ne 0$ eru gefnar með formúlunni:
  
  $$x=\frac{\text{−}b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
  $$x=\frac{\text{−}b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$
• Leysið annars stigs jöfnu með lausnarformúlunni Til
  að leysa annars stigs jöfnu með lausnarformúlunni: Skref
  1. Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi. Finnið gildin $a,b,c$ . Skref 2. Ritið lausnarformúluna og setjið síðan inn gildin $a,b,c.$ . Skref 3. Einfaldið. Skref 4. Sannreynið lausnirnar.
  1. Skref 1. Ritið annars stigs jöfnuna á staðalformi. Finnið gildin $a,b,c$ .
  2. Skref 2. Ritið lausnarformúluna og setjið síðan inn gildin $a,b,c.$
  3. Skref 3. Einfaldið.
  4. Skref 4. Sannreynið lausnirnar.
• Notkun aðgreinisins, $b^2-4ac$, til að ákvarða fjölda lausna annars stigs jöfnu
  Fyrir annars stigs jöfnu af gerðinni $a{x}^2+bx+c=0,$ $a\ne 0,$
  : ef $b^2-4ac>0$hefur jafnan 2 lausnir; ef $b^2-4ac=0$hefur jafnan 1 lausn; ef $b^2-4ac<0$ hefur jafnan engar rauntölulausnir.
  • ef $b^2-4ac>0$ hefur jafnan 2 lausnir.
  • ef $b^2-4ac=0$ hefur jafnan 1 lausn.
  • ef $b^2-4ac<0$ hefur jafnan enga rauntölulausn.
• Til að velja heppilegustu aðferðina við lausn annars stigs jöfnu: Skref
  1. Reynið fyrst þáttun. Ef auðvelt er að þátta jöfnuna er þessi aðferð mjög fljótleg. Skref 2. Reynið næst ferningsrótarregluna. Ef jafnan er af gerðinni $a{x}^2=k$ eða $a{\left(x-h\right)}^2=k$ er auðvelt að leysa hana með ferningsrótarreglunni. Skref 3. Notið lausnarformúluna. Aðrar annars stigs jöfnur er best að leysa með lausnarformúlunni.
  1. Skref 1. Reynið fyrst þáttun. Ef auðvelt er að þátta jöfnuna er þessi aðferð mjög fljótleg.
  2. Skref 2. Reynið næst ferningsrótarregluna. Ef jafnan er af gerðinni $a{x}^2=k$ eða $a{\left(x-h\right)}^2=k$ er auðvelt að leysa hana með ferningsrótarreglunni.
  3. Skref 3. Notið lausnarformúluna. Aðrar annars stigs jöfnur er best að leysa með lausnarformúlunni.

10.4 Leysið verkefni sem lýst er með annars stigs jöfnum

• Flatarmál þríhyrnings Fyrir þríhyrning með grunnlínu $b$ og $h$æð h reiknast flatarmálið $A$ samkvæmt formúlunni $A=\frac{1}{2}bh$
  
  
• Setning Pýþ $a$ górasar Í sérhverjum rétthyrndum þríhyrningi, þar sem a og $b$ eru lengdir skammhliðanna og $c$ er lengd langhliðarinnar, gildir $a^2+b^2=c^2$
  
  
• Kast $h$reyfing Hæðin í fetum, h, sem hlutur nær eftir t sekúndur þegar honum er skotið upp með upphafshraðanum $v_0$, reiknas $t$ samkvæmt formúlunni
  
  $$h=\mathrm{-16}{t}^2+v_{0}t$$
  $$h=\mathrm{-16}{t}^2+v_{0}t$$

10.5 Teiknið gröf annars stigs jafna með tveimur breytum

• Graf sérhverrar annars stigs jöfnu er fleygbogi.
• Opnun fleygboga Fyrir annars stigs jöfnuna $y=a{x}^2+bx+c$: ef
  $a>0$ opnast fleygboginn upp; ef $a<0$ opnast hann niður.
  • $a>0$, opnast fleygboginn upp.
  • $a<0$, opnast fleygboginn niður.
• Samhverfuás og hvirfilpunktur fleygboga Fyrir fleygboga með jöfnuna $y=a{x}^2+bx+c$
  : Samhverfuás fleygbogans er línan $x=-\frac{b}{2a}$ . Hvirfilpunkturinn liggur á samhverfuásnum og því er x-hnit hans $-\frac{b}{2a}$ . Til að finna y-hnit hvirfilpunktsins setjum við $x=-\frac{b}{2a}$ inn í annars stigs jöfnuna.
  • Samhverfuás fleygbogans er línan $x=-\frac{b}{2a}$.
  • Hvirfilpunkturinn liggur á samhverfuásnum og því er x-hnit hans $-\frac{b}{2a}$.
  • Til að finna y-hnit hvirfilpunktsins setjum við $x=-\frac{b}{2a}$ inn í annars stigs jöfnuna.
• Finnið skurðpunkta fleygboga við ása Til að finna skurðpunkta fleygboga með jöfnuna $y=a{x}^2+bx+c$ við ása:
  $\begin{array}{cccc}\hfill \mathit{\text{y}}\mathbf{\text{-skurðpunktur}}& & & \hfill \mathit{\text{x}}\mathbf{\text{-skurðpunktar}}\\ \hfill \text{Látum}x=0\text{og einangrið}y.& & & \hfill \text{Látum}y=0\text{og einangrið}x.\end{array}$
• Teiknið graf annars stigs
  jöfnu með tveimur bre$y$tum Skref 1. Ritið annars stigs jöfnuna með y öðru megin. Skref 2. Ákvarðið hvort fleygboginn opnist upp eða niður. Skref 3. Finnið samhverfuásinn. Skref 4. Finnið hvirfilpunktinn. Skref 5. Finnið skurðpunktinn við y-ás og spegilpunkt hans um samhverfuásinn. Skref 6. Finnið skurðpunktana við x-ás. Skref 7. Teiknið fleygbogann.
  1. Skref 1. Ritið annars stigs jöfnuna með $y$ öðru megin.
  2. Skref 2. Ákvarðið hvort fleygboginn opnist upp eða niður.
  3. Skref 3. Finnið samhverfuásinn.
  4. Skref 4. Finnið hvirfilpunktinn.
  5. Skref 5. Finnið skurðpunktinn við y-ás. Finnið spegilpunkt hans um samhverfuásinn.
  6. Skref 6. Finnið skurðpunktana við x-ás.
  7. Skref 7. Teiknið fleygbogann.
• Lággildi eða hágildi annars stigs
  jöfnu y-hnit hvirfilpunkts grafs annars stigs jöfnu er lággildi jöfnunnar ef fleygboginn opnast upp en hágildi hennar ef hann opnast niður.
  • y-hnit hvirfilpunkts grafs annars stigs jöfnu er
  • lággildi annars stigs jöfnunnar ef fleygboginn opnast upp.
  • hágildi annars stigs jöfnunnar ef fleygboginn opnast niður.