1010 Annars stigs jöfnur

10.1 Leysið annars stigs jöfnur með ferningsrótarreglunni

Námsmarkmið

Í lok þessa hluta eigið þið að geta:

Leyst annars stigs jöfnur af gerðinni a x 2 = k með ferningsrótarreglunni
Leyst annars stigs jöfnur af gerðinni a ( x − h ) 2 = k með ferningsrótarreglunni

Annars stigs jöfnur eru jöfnur af gerðinni $a x^{2} + b x + c = 0$ , þar sem $a \neq 0$ . Þær eru frábrugðnar línulegum jöfnum að því leyti að þær innihalda lið þar sem breytan er í öðru veldi. Við notum aðrar aðferðir til að leysa annars stigs jöfnur en línulegar jöfnur, því breytan verður ekki einangruð með því einu að leggja saman, draga frá, margfalda og deila liðum.

Við höfum séð að leysa má sumar annars stigs jöfnur með þáttun. Í þessum kafla notum við þrjár aðrar aðferðir til að leysa annars stigs jöfnur.

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni ax 2 = k með ferningsrótarreglunni

Við höfum þegar leyst nokkrar annars stigs jöfnur með þáttun. Rifjum upp hvernig við notuðum þáttun til að leysa annars stigs jöfnuna $x^{2} = 9$ .

\begin{matrix} x^{2} & = & 9 \\ Setjið jöfnuna á staðalform. & x^{2} - 9 & = & 0 \\ Þáttið vinstri hliðina. & (x - 3) (x + 3) & = & 0 \\ Notið núllmargfeldisregluna. & (x - 3) = 0, (x + 3) & = & 0 \\ Leysið hvora jöfnu. & x = 3, x & = & −3 \\ Sameinið lausnirnar tvær í \pm rithætti. & x & = & \pm 3 \\ (Lausnin er lesin ‘ x er jafnt og plús eða mínus 3.“) \end{matrix}

Við getum auðveldlega notað þáttun til að finna lausnir á svipuðum jöfnum, svo sem $x^{2} = 16$ og $x^{2} = 25$ , því 16 og 25 eru ferningstölur. En hvað gerist þegar við fáum jöfnu eins og $x^{2} = 7$ ? Þar sem 7 er ekki ferningstala getum við ekki leyst jöfnuna með þáttun.

Þessar jöfnur eru allar af gerðinni $x^{2} = k$
. Við skilgreindum ferningsrót tölu á eftirfarandi hátt:

Ef n^{2} = m, þá n er ferningsrót af m .

Af þessu leiðir ferningsrótarreglan.

Athugið að ferningsrótarreglan gefur tvær lausnir á jöfnu af gerðinni $x^{2} = k$ : já $k$ væðu ferningsrótina af k og samlagningarandhverfu hennar. Við gætum einnig ritað lausnina sem $x = \pm \sqrt{k}$ .

Nú leysum við jöfnuna $x^{2} = 9$ aftur, en að þessu sinni með ferningsrótarreglunni.

\begin{matrix} x^{2} & = & 9 \\ Notið ferningsrótarregluna. & x & = & \pm \sqrt{9} \\ Einfaldið rótarstæðuna. & x & = & \pm 3 \\ Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist. & x = 3, x & = & −3 \end{matrix}

Hvað gerist þegar fastinn er ekki ferningstala? Notum ferningsrótarregluna til að leysa jöfnuna $x^{2} = 7$ .

\begin{matrix} \begin{matrix} Notið ferningsrótarregluna. \end{matrix} & \begin{matrix} x^{2} & = & 7 \\ x & = & \pm \sqrt{7} \end{matrix} \\ Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist. & x = \sqrt{7}, x = − \sqrt{7} \\ Við getum ekki einfaldað \sqrt{7}, því látum við svarið standa sem rótarstæðu. \end{matrix}

Dæmi 10.1

Leysið: $x^{2} = 169$ .

Lausn

$\begin{matrix} \begin{matrix} Notið ferningsrótarregluna. \\ Einfaldið rótarstæðuna. \end{matrix} & \begin{matrix} x^{2} & = & 169 \\ x & = & \pm \sqrt{169} \\ x & = & \pm 13 \end{matrix} \\ Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist. & x = 13, x = −13 \end{matrix}$

Dæmi 10.2

Hvernig leysa á annars stigs jöfnu af gerðinni a x 2 = k með ferningsrótarreglunni

Leysið: $x^{2} - 48 = 0$ .

Lausn

Myndin sýnir jöfnuna x í öðru veldi mínus 48 jafnt núlli. Í fyrsta skrefi er annars stigs liðurinn einangraður og stuðull hans gerður jafn einum. Leggið því 48 við báðar hliðar jöfnunnar til að einangra x í öðru veldi.

Í öðru skrefi er ferningsrótarreglan notuð og fæst að x er jafnt plús eða mínus ferningsrótin af 48.

Í þriðja skrefi er ferningsrótin af 48 einfölduð með því að rita 48 sem margfeldi 16 og þriggja. Ferningsrótin af 16 er fjórir. Einfaldaða lausnin er x jafnt plús eða mínus fjórum sinnum ferningsrótin af þremur.

Í fjórða skrefi eru lausnirnar sannreyndar með því að setja hvora þeirra inn í upphaflegu jöfnuna. Þegar x er jafnt fjórum sinnum ferningsrótinni af þremur er x í upphaflegu jöfnunni skipt út fyrir fjóra sinnum ferningsrótina af þremur og fæst fjórir sinnum ferningsrótin af þremur í öðru veldi mínus 48 jafnt núlli. Einföldun vinstri hliðar gefur 16 sinnum þrír mínus 48 jafnt núlli, sem einfaldast í núll jafnt núlli, sanna fullyrðingu. Þegar x er jafnt mínus fjórum sinnum ferningsrótinni af þremur er x skipt út fyrir þá stæðu og fæst mínus fjórir sinnum ferningsrótin af þremur í öðru veldi mínus 48 jafnt núlli. Einföldun vinstri hliðar gefur 16 sinnum þrír mínus 48 jafnt núlli, sem einfaldast einnig í núll jafnt núlli, sanna fullyrðingu.

Til að nota ferningsrótarregluna verður stuðull breytuliðarins að vera 1. Í næsta dæmi verðum við að deila báðum hliðum jöfnunnar með 5 áður en ferningsrótarreglan er notuð.

Dæmi 10.3

Leysið: $5 m^{2} = 80$ .

Lausn

Annars stigs liðurinn er einangraður.	5 m² = 80
Deilið með 5 til að gera stuðul hans jafnan 1.	5 m $\frac{2}{5}$ = $\frac{80}{5}$
Einfaldið.	m² = 16
Notið ferningsrótarregluna.	m = ± 16
Einfaldið rótarstæðuna.	m = ± 4
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	m = 4 , m = − 4
Sannreynið lausnirnar.

Ferningsrótarreglan hófst á orðunum: „Ef $x^{2} = k$ og $k \geq 0$ .“ Hvað gerist ef $k < 0$ ? Sú staða kemur upp í næsta dæmi.

Dæmi 10.4

Leysið: $q^{2} + 24 = 0$ .

Lausn

	q² + 24 = 0
Einangrið annars stigs liðinn.	q² = −24
Notið ferningsrótarregluna.	q = ± −24
−24−24 er ekki rauntala.	Engin rauntölulausn er til.

Munið að fyrst einangrum við annars stigs liðinn og gerum síðan stuðul hans jafnan einum.

Dæmi 10.5

Leysið: $\frac{2}{3} u^{2} + 5 = 17$ .

Lausn

	2/3 u² + 5 = 17
Einangrið annars stigs liðinn.	2/3 u² = 12
Margfaldið með $\frac{3}{2}$ til að gera stuðulinn jafnan 1.	3/2 · 2/3 u² = 3/2 · 12
Einfaldið.	u² = 18
Notið ferningsrótarregluna.	u = ± 18
Einfaldið rótarstæðuna.	u = ± 9 2
Einfaldið.	u = ± 3 2
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	u = 3 2 , u = − 3 2
Sannreynið.

Lausnir sumra jafna geta innihaldið brot í rótarstofninum. Þegar það gerist verðum við að eyða ferningsrót úr nefnaranum.

Dæmi 10.6

Leysið: $2 c^{2} - 4 = 45$ .

Lausn

Einangrið annars stigs liðinn. Deilið með 2 til að gera stuðulinn jafnan 1. Einfaldið. Notið ferningsrótarregluna. Einfaldið rótarstæðuna. Eyðið ferningsrót úr nefnaranum. Einfaldið.	2 c² − 4 = 45 2 c² = 49 2 c 2/2 = 49/2 c² = 49/2 c = ± 49/2 c = ± 49/2 c = ± 49 · 2/2 · 2 c = ± 7 2/2
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	c = 7 $\frac{2}{2}$ , c = − 7 $\frac{2}{2}$
Sannreynið lausnirnar.

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni a ( x − h ) 2 = k með ferningsrótarreglunni

Við getum einnig notað ferningsrótarregluna til að leysa jöfnu eins og ${(x - 3)}^{2} = 16$ . Við förum með allan tvíliðinn, $(x - 3)$ , sem annars stigs liðinn.

Dæmi 10.7

Leysið: ${(x - 3)}^{2} = 16$ .

Lausn

	( x − 3 ) 2 = 16
Notið ferningsrótarregluna.	x − 3 = ± 16
Einfaldið.	x − 3 = ± 4
Ritið sem tvær jöfnur.	x − 3 = 4 , x − 3 = − 4
Leysið.	x = 7 , x = − 1
Sannreynið.

Dæmi 10.8

Leysið: ${(y - 7)}^{2} = 12$ .

Lausn

	( y − 7 ) 2 = 12
Notið ferningsrótarregluna.	y − 7 = ± 12
Einfaldið rótarstæðuna.	y − 7 = ± 2 3
Leysið með tilliti til y.	y = 7 ± 2 3
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	y = 7 + 2 3 , y = 7 − 2 3
Sannreynið.

Munið að þegar við tökum ferningsrót af broti getum við tekið ferningsrót teljarans og nefnarans hvors um sig.

Dæmi 10.9

Leysið: ${(x - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{5}{4} .$

Lausn

Notið ferningsrótarregluna. Endurskrifið rótarstæðuna sem brot tveggja ferningsróta. Einfaldið rótarstæðuna. Einangrið x.	( x − $\frac{1}{2}$ ) 2 = $\frac{5}{4}$ x − $\frac{1}{2}$ = ± $\frac{5}{4}$ x − $\frac{1}{2}$ = ± $\frac{5}{4}$ x − $\frac{1}{2}$ = ± $\frac{5}{2}$ x = $\frac{1}{2}$ ± $\frac{5}{2}$
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	x = $\frac{1}{2}$ + $\frac{5}{2}$ , x = $\frac{1}{2}$ − $\frac{5}{2}$
Sannreynið lausnirnar.

Við byrjum lausn næsta dæmis á því að einangra tvíliðinn.

Dæmi 10.10

Leysið: ${(x - 2)}^{2} + 3 = 30$ .

Lausn

	( x − 2 ) 2 + 3 = 30
Einangrið tvíliðinn.	( x − 2 ) 2 = 27
Notið ferningsrótarregluna.	x − 2 = ± 27
Einfaldið rótarstæðuna.	x − 2 = ± 3 3
Einangrið x.	x = 2 ± 3 3
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	x = 2 + 3 3 , x = 2 − 3 3
Sannreynið lausnirnar.

Dæmi 10.11

Leysið: ${(3 v - 7)}^{2} = −12$ .

Lausn

Notið ferningsrótarregluna.	( 3 v − 7 ) 2 = −12 3 v − 7 = ± −12
−12−12 er ekki rauntala.	Engin rauntölulausn er til.

Vinstri hliðar jafnanna í næstu tveimur dæmum virðast ekki vera af gerðinni $a {(x - h)}^{2}$ . Þær eru hins vegar fullkomnir ferningsþríliðir, svo við þáttum þær til að koma þeim á formið sem við þurfum.

Dæmi 10.12

Leysið: $p^{2} - 10 p + 25 = 18$ .

Lausn

Vinstri hlið jöfnunnar er fullkominn ferningsþríliður. Við þáttum hana fyrst.

Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn. Notið ferningsrótarregluna. Einfaldið rótarstæðuna. Einangrið p.	p² − 10 p + 25 = 18 ( p − 5 ) 2 = 18 p − 5 = ± 18 p − 5 = ± 3 2 p = 5 ± 3 2
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	p = 5 + 3 2 , p = 5 − 3 2
Sannreynið lausnirnar.

Dæmi 10.13

Leysið: $4 n^{2} + 4 n + 1 = 16$ .

Lausn

Aftur sjáum við að vinstri hlið jöfnunnar er fullkominn ferningsþríliður. Við þáttum hana fyrst.

	4 n² + 4 n + 1 = 16
Þáttið fullkomna ferningsþríliðinn.	( 2 n + 1 ) 2 = 16
Notið ferningsrótarregluna.	2 n + 1 = ± 16
Einfaldið rótarstæðuna.	2 n + 1 = ± 4
Einangrið n.	2 n = − 1 ± 4
Deilið báðum hliðum með 2.	2 n/2 = − 1 ± $\frac{4}{2}$ n = − 1 ± $\frac{4}{2}$
Endurskrifið þannig að báðar lausnirnar sjáist.	n = − 1 + $\frac{4}{2}$ , n = − 1 − $\frac{4}{2}$
Einfaldið hvora jöfnu.	n = $\frac{3}{2}$ , n = − $\frac{5}{2}$
Sannreynið.

Verkefni úr hluta 10.1

Æfingin skapar meistarann

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni $a x^{2} = k$ með ferningsrótarreglunni

Leysið eftirfarandi annars stigs jöfnur í eftirfarandi verkefnum.

$a^{2} = 49$

$b^{2} = 144$

$r^{2} - 24 = 0$

$t^{2} - 75 = 0$

$u^{2} - 300 = 0$

$v^{2} - 80 = 0$

$4 m^{2} = 36$

$3 n^{2} = 48$

$x^{2} + 20 = 0$

10.

$y^{2} + 64 = 0$

11.

$\frac{2}{5} a^{2} + 3 = 11$

12.

$\frac{3}{2} b^{2} - 7 = 41$

13.

$7 p^{2} + 10 = 26$

14.

$2 q^{2} + 5 = 30$

Leysið annars stigs jöfnur af gerðinni $a {(x - h)}^{2} = k$ með ferningsrótarreglunni

Leysið eftirfarandi annars stigs jöfnur í eftirfarandi verkefnum.

15.

${(x + 2)}^{2} = 9$

16.

${(y - 5)}^{2} = 36$

17.

${(u - 6)}^{2} = 64$

18.

${(v + 10)}^{2} = 121$

19.

${(m - 6)}^{2} = 20$

20.

${(n + 5)}^{2} = 32$

21.

${(r - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{3}{4}$

22.

${(t - \frac{5}{6})}^{2} = \frac{11}{25}$

23.

${(a - 7)}^{2} + 5 = 55$

24.

${(b - 1)}^{2} - 9 = 39$

25.

${(5 c + 1)}^{2} = −27$

26.

${(8 d - 6)}^{2} = −24$

27.

$m^{2} - 4 m + 4 = 8$

28.

$n^{2} + 8 n + 16 = 27$

29.

$25 x^{2} - 30 x + 9 = 36$

30.

$9 y^{2} + 12 y + 4 = 9$

Blönduð verkefni

Leysið með ferningsrótarreglunni í eftirfarandi verkefnum.

31.

$2 r^{2} = 32$

32.

$4 t^{2} = 16$

33.

${(a - 4)}^{2} = 28$

34.

${(b + 7)}^{2} = 8$

35.

$9 w^{2} - 24 w + 16 = 1$

36.

$4 z^{2} + 4 z + 1 = 49$

37.

$a^{2} - 18 = 0$

38.

$b^{2} - 108 = 0$

39.

${(p - \frac{1}{3})}^{2} = \frac{7}{9}$

40.

${(q - \frac{3}{5})}^{2} = \frac{3}{4}$

41.

$m^{2} + 12 = 0$

42.

$n^{2} + 48 = 0$

43.

$u^{2} - 14 u + 49 = 72$

44.

$v^{2} + 18 v + 81 = 50$

45.

${(m - 4)}^{2} + 3 = 15$

46.

${(n - 7)}^{2} - 8 = 64$

47.

${(x + 5)}^{2} = 4$

48.

${(y - 4)}^{2} = 64$

49.

$6 c^{2} + 4 = 29$

50.

$2 d^{2} - 4 = 77$

51.

${(x - 6)}^{2} + 7 = 3$

52.

${(y - 4)}^{2} + 10 = 9$

Stærðfræði í daglegu lífi

53.

Paola á nægilegt þekjuefni til að þekja 48 ferfet. Hún vill nota það í þrjá jafnstóra, ferningslaga matjurtagarða. Leysið jöfnuna $3 s^{2} = 48$ til að finna $s$ , lengd hverrar hliðar garðanna.

54.

Kathy teiknar uppdrætti að húsi sem hún er að hanna. Hún vill hafa fjóra jafnstóra, ferningslaga glugga í stofunni með samanlagt flatarmál 64 ferfet. Leysið jöfnuna $4 s^{2} = 64$ til að finna $s$ , lengd hliða glugganna.

Ritunarverkefni

55.

Útskýrið hvers vegna jafnan $x^{2} + 12 = 8$ hefur enga lausn.

56.

Útskýrið hvers vegna jafnan $y^{2} + 8 = 12$ hefur tvær lausnir.

Sjálfsmat

ⓐ Þegar þið hafið lokið verkefnunum skuluð þið nota þennan gátlista til að meta hversu vel þið hafið náð markmiðum hlutans.

Taflan hefur þrjár raðir og fjóra dálka. Fyrsta röðin er hausaröð sem merkir hvern dálk. Fyrsti dálkurinn heitir „Ég get …“, annar „Örugglega“, þriðji „Með nokkurri hjálp“ og sá síðasti „Nei – ég skil þetta ekki“. Í næstu röð dálksins „Ég get …“ stendur „leyst annars stigs jöfnur af gerðinni a sinnum x í öðru veldi jafnt k með ferningsrótarreglunni“ og í síðustu röð stendur „leyst annars stigs jöfnur af gerðinni a sinnum stærðin x mínus h í öðru veldi jafnt k með ferningsrótarreglunni“. Hinir dálkarnir eru auðir.

ⓑ Ef flest gátmerkin ykkar voru við:

…örugglega: Til hamingju! Þið hafið náð markmiðum þessa hluta. Hugleiðið hvaða námsaðferðir þið notuðuð svo að þið getið haldið áfram að beita þeim. Hvað gerðuð þið til að öðlast öryggi í þessum atriðum? Verið nákvæm.

…með nokkurri hjálp: Bregðast verður fljótt við þessu, því efni sem þið náið ekki tökum á verður að hindrun á leið ykkar að árangri. Í stærðfræði byggir hvert viðfangsefni á fyrri vinnu. Mikilvægt er að tryggja traustan grunn áður en lengra er haldið. Hvern getið þið beðið um hjálp? Samnemendur og kennari eru góðir ráðgjafar. Er aðstaða í skólanum þar sem stærðfræðileiðbeinendur eru til taks? Getið þið bætt námsaðferðir ykkar?

…nei – ég skil þetta ekki! Þetta er viðvörunarmerki sem þið megið ekki hunsa. Leitið strax aðstoðar, annars getur efnið fljótt orðið yfirþyrmandi. Ræðið við kennarann eins fljótt og unnt er. Saman getið þið gert áætlun um þá aðstoð sem þið þurfið.