Svarlykill

Kafli 5

5. kafli

Stöðumat

5.1.

$\sum_{i = 3}^{6} 2^{i} = 2^{3} + 2^{4} + 2^{5} + 2^{6} = 120$

5.2.

15,550

5.3.

440

5.4.

Nálgunin með vinstri endapunktum er 0.7595. Nálgunin með hægri endapunktum er 0.6345.

Tvö gröf hlið við hlið sýna nálgun með vinstri endapunktum og nálgun með hægri endapunktum á flatarmálinu undir ferlinum f(x) = 1/x frá 1 til 2, þar sem bilið milli endapunktanna er .25 einingar. Hæðir rétthyrninganna í nálguninni með vinstri endapunktum ráðast af gildum fallsins í vinstri endapunktunum en hæðir rétthyrninganna í nálguninni með hægri endapunktum ráðast af gildum fallsins í hægri endapunktunum.

5.5.

Yfirsumma=8.0313. $Yfirsumma = 8.0313 .$

5.6.

$A \approx 1.125$

5.7.

5.8.

18 ferningseiningar

5.9.

5.10.

5.11.

$6 \int_{1}^{3} x^{3} d x - 4 \int_{1}^{3} x^{2} d x + 2 \int_{1}^{3} x d x - \int_{1}^{3} 3 d x$

5.12.

−7

5.13.

5.14.

$Average value = 1.5; c = 3$

5.15.

$c = \sqrt{3}$

5.16.

$g^{'} (r) = \sqrt{r^{2} + 4}$

5.17.

$F^{'} (x) = 3 x^{2} cos x^{3}$

5.18.

$F^{'} (x) = 2 x cos x^{2} - cos x$

5.19.

$\frac{7}{24}$

5.20.

Kathy vinnur enn, en munurinn er miklu meiri: James skautar 24 fet á 3 sek., en Kathy skautar 29.3634 fet á 3 sek.

5.21.

$- \frac{10}{3}$

5.22.

Nettótilfærsla: $\frac{e^{2} - 9}{2} \approx - 0.8055 m;$ heildarvegalengd: $4 ln 4 - 7.5 + \frac{e^{2}}{2} \approx 1.740$ m

5.23.

17.5 mílur

5.24.

$\frac{64}{5}$

5.25.

$\int 3 x^{2} {(x^{3} - 3)}^{2} d x = \frac{1}{3} {(x^{3} - 3)}^{3} + C$

5.26.

$\frac{{(x^{3} + 5)}^{10}}{30} + C$

5.27.

$- \frac{1}{sin t} + C$

5.28.

$- \frac{{cos}^{4} t}{4} + C$

5.29.

$\frac{91}{3}$

5.30.

$\frac{2}{3 π} \approx 0.2122$

5.31.

$\int x^{2} e^{−2 x^{3}} d x = - \frac{1}{6} e^{−2 x^{3}} + C$

5.32.

$\int e^{x} {(3 e^{x} - 2)}^{2} d x = \frac{1}{9} {(3 e^{x} - 2)}^{3}$

5.33.

$\int 2 x^{3} e^{x^{4}} d x = \frac{1}{2} e^{x^{4}}$

5.34.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{4} e^{u} d u = \frac{1}{2} (e^{4} - 1)$

5.35.

$Q (t) = \frac{2^{t}}{ln 2} + 8.557 .$ Eftir 3 klukkustundir eru 20,099 bakteríur í skálinni.

5.36.

Flugurnar eru 116 talsins.

5.37.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} e^{4 x^{−2}} d x = \frac{1}{8} [e^{4} - e]$

5.38.

$ln | x + 2 | + C$

5.39.

$\frac{x}{ln 3} (ln x - 1) + C$

5.40.

$\frac{1}{4} {sin}^{−1} (4 x) + C$

5.41.

${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

5.42.

$\frac{1}{10} {tan}^{−1} (\frac{2 x}{5}) + C$

5.43.

$\frac{1}{4} {tan}^{−1} (\frac{x}{4}) + C$

5.44.

$\frac{π}{8}$

Æfingar úr undirkafla 5.1

a. Þær eru jafnar; báðar tákna summu fyrstu 10 heilu talnanna. b. Þær eru jafnar; báðar tákna summu fyrstu 10 heilu talnanna. c. Þær eru jafnar þegar sett er inn $j = i - 1 .$ d. Þær eru jafnar; í fyrri summunni eru liðir þeirrar síðari þáttaðir.

$385 - 30 = 355$

$15 - (−12) = 27$

$5 (15) + 4 (−12) = 27$

$\sum_{j = 1}^{50} j^{2} - 2 \sum_{j = 1}^{50} j = \frac{(50) (51) (101)}{6} - \frac{2 (50) (51)}{2} = 40, 375$

11.

$4 \sum_{k = 1}^{25} k^{2} - 100 \sum_{k = 1}^{25} k = \frac{4 (25) (26) (51)}{6} - 50 (25) (26) = −10, 400$

13.

$R_{4} = -0.25$

15.

$R_{6} = 0.372$

17.

$L_{4} = 2.20$

19.

$L_{8} = 0.6875$

21.

$L_{6} = 9.000 = R_{6} .$ Graf f afmarkar þríhyrning með flatarmálið 9.

23.

$L_{6} = 13.12899 = R_{6} .$ Þær eru jafnar.

25.

$L_{10} = \frac{4}{10} \sum_{i = 1}^{10} \sqrt{4 - {(−2 + 4 \frac{(i - 1)}{10})}^{2}}$

27.

$R_{100} = \frac{e - 1}{100} \sum_{i = 1}^{100} ln (1 + (e - 1) \frac{i}{100})$

29.

Graf gefna fallsins á bilinu [0, 1]. Það sýnir nálgun með vinstri endapunktum, sem er vanmat vegna þess að fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til skýringar, en þessi eiginleiki helst óbreyttur þegar rétthyrningunum er fjölgað.

$R_{100} = 0.33835, L_{100} = 0.32835 .$ Grafið sýnir að vinstri Riemann-summan er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Á sama hátt er hægri Riemann-summan ofmat. Flatarmálið liggur á milli vinstri og hægri Riemann-summunnar. Tíu rétthyrningar eru sýndir til að auðvelda sjónrænan skilning. Sama gildir þótt rétthyrningunum sé fjölgað.

31.

Graf gefna fallsins á bilinu [-1,1] sett upp fyrir nálgun með vinstri endapunktum. Nálgunin er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar, en þessi eiginleiki helst þótt rétthyrningunum sé fjölgað.

$L_{100} = 3.980, R_{100} = 4.020, R_{100} > L_{100} .$ Summan með vinstri endapunktum er vanmat vegna þess að fallið er vaxandi. Á sama hátt er nálgun með hægri endapunktum ofmat. Flatarmálið liggur á milli matsins sem fæst með vinstri endapunktum og matsins sem fæst með hægri endapunktum.

33.

Graf gefna fallsins á bilinu frá -1 til 1, sett upp fyrir nálgun með vinstri endapunktum. Nálgunin er vanmat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til glöggvunar, en þessi eiginleiki helst þótt rétthyrningunum sé fjölgað.

$L_{100} = 3.555, R_{100} = 3.670$ Grafið sýnir að vinstri Riemann-summan gefur of lágt mat þar sem fallið er vaxandi. Tíu rétthyrningar eru sýndir til að skýra myndina. Sama gildir þegar rétthyrningunum er fjölgað.

35.

Summan táknar uppsafnaða úrkomu í janúar 2009.

37.

Heildaraksturinn er $7 \times \sum_{i = 1}^{25} (1 + \frac{(i - 1)}{10}) = 7 \times 25 + \frac{7}{10} \times 12 \times 25 = 385 mílur .$

39.

Leggið tölurnar saman til að fá nettóaukningu um 8.1 tommur.

41.

309,389,957

43.

$L_{8} = 3 + 2 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 4 = 24$

45.

$L_{8} = 3 + 5 + 7 + 6 + 8 + 6 + 5 + 4 = 44$

47.

$L_{10} \approx 1.7604, L_{30} \approx 1.7625, L_{50} \approx 1.76265$

49.

$R_{1} = −1, L_{1} = 1, R_{10} = −0.1, L_{10} = 0.1, L_{100} = 0.01,$ og $R_{100} = −0.01 .$ Vegna samhverfu grafsins er nákvæmt flatarmál núll.

51.

$R_{1} = 0, L_{1} = 0, R_{10} = 2.4499, L_{10} = 2.4499, R_{100} = 2.1365, L_{100} = 2.1365$

53.

Ef $[c, d]$ er hlutbil í $[a, b]$ undir einum rétthyrninganna í summunni með vinstri endapunktum, þá er flatarmál rétthyrningsins sem myndar nálgunina með vinstri endapunktum $f (c) (d - c) .$ En $f (c) \leq f (x)$ fyrir $c \leq x \leq d,$ þannig að flatarmálið undir grafi f milli c og d er $f (c) (d - c)$ að viðbættu flatarmálinu undir grafi f en ofan við lárétta línustrikið í hæðinni $f (c),$ sem er jákvætt. Þar sem þetta gildir um hvert hlutbil summunnar með vinstri endapunktum leiðir af því að vinstri Riemann-summan er minni en eða jöfn flatarmálinu undir grafi f á $[a, b] .$

55.

$L_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i - 1}{N}) = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 0}^{N - 1} f (a + (b - a) \frac{i}{N})$ og $R_{N} = \frac{b - a}{N} \sum_{i = 1}^{N} f (a + (b - a) \frac{i}{N}) .$ Vinstri summan hefur lið sem samsvarar $i = 0$ og hægri summan hefur lið sem samsvarar $i = N .$ Í mismuninum $R_{N} - L_{N},$ kemur sérhver liður sem samsvarar $i = 1, 2,…, N - 1$ fyrir einu sinni með plúsmerki og einu sinni með mínusmerki, þannig að allir slíkir liðir styttast út og eftir stendur $R_{N} - L_{N} = \frac{b - a}{N} (f (a + (b - a)) \frac{N}{N}) - (f (a) + (b - a) \frac{0}{N}) = \frac{b - a}{N} (f (b) - f (a)) .$

57.

Graf 1: a. $L (A) = 0, B (A) = 20;$ b. $U (A) = 20 .$ Graf 2: a. $L (A) = 9;$ b. $B (A) = 11, U (A) = 20 .$ Graf 3: a. $L (A) = 11.0;$ b. $B (A) = 4.5, U (A) = 15.5 .$

59.

Látum A tákna flatarmál einingarhringsins. Hringurinn umlykur n samstæða þríhyrninga sem hver hefur flatarmálið $\frac{sin (\frac{2 π}{n})}{2},$ og því $\frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) \leq A .$ Á sama hátt er hringurinn umlukinn af n samstæðum þríhyrningum sem hver hefur flatarmálið $\frac{B H}{2} = \frac{1}{2} {(\cos (\frac{π}{n}) + \sin (\frac{π}{n}) \tan (\frac{π}{n}))}^{2} \sin (\frac{2 π}{n}),$ og því $A \leq \frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) (cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan {(\frac{π}{n}))}^{2} .$ Þar sem $n \to \infty, \frac{n}{2} sin (\frac{2 π}{n}) = \frac{sin (\frac{2 π}{n})}{(\frac{2}{n})} Α \to π,$ ályktum við að $π \leq A .$ Þar að auki, þar sem $n \to \infty, cos (\frac{π}{n}) + sin (\frac{π}{n}) tan (\frac{π}{n}) \to 1,$ fæst einnig að $A \leq π .$ Með klemmusetningunni fyrir markgildi ályktum við að $A = π .$

Æfingar úr undirkafla 5.2

61.

$\int_{0}^{2} (5 x^{2} - 3 x^{3}) d x$

63.

$\int_{0}^{1} {cos}^{2} (2 π x) d x$

65.

$\int_{0}^{1} x d x$

67.

$\int_{3}^{6} x d x$

69.

$\int_{1}^{2} x log (x^{2}) d x$

71.

$1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 14$

73.

$1 - 4 + 9 = 6$

75.

$1 - 2 π + 9 = 10 - 2 π$

77.

Heildið er flatarmál þríhyrningsins, $\frac{1}{2}$

79.

Heildið er flatarmál þríhyrningsins, 9.

81.

Heildið er flatarmálið $\frac{1}{2} π r^{2} = 2 π .$

83.

Heildið er flatarmál „stóra“ þríhyrningsins að frádregnu flatarmáli þríhyrningsins sem „vantar“, $9 - \frac{1}{2} .$

85.

$L = 2 + 0 + 10 + 5 + 4 = 21, R = 0 + 10 + 10 + 2 + 0 = 22, \frac{L + R}{2} = 21.5$

87.

$L = 0 + 4 + 0 + 4 + 2 = 10, R = 4 + 0 + 2 + 4 + 0 = 10, \frac{L + R}{2} = 10$

89.

$\int_{2}^{4} f (x) d x + \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 - 3 = 5$

91.

$\int_{2}^{4} f (x) d x - \int_{2}^{4} g (x) d x = 8 + 3 = 11$

93.

$4 \int_{2}^{4} f (x) d x - 3 \int_{2}^{4} g (x) d x = 32 + 9 = 41$

95.

Heildisstofninn er oddstætt fall; heildið er núll.

97.

Heildisstofninn er andsamhverfur um $x = 3 .$ Heildið er núll.

99.

$1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{7}{12}$

101.

$\int_{0}^{1} (1 - 6 x + 12 x^{2} - 8 x^{3}) d x = (x - 3 x^{2} + 4 x^{3} - 2 x^{4}) = (1 - 3 + 4 - 2) (0 - 0 + 0 - 0) = 0$

103.

$7 - \frac{5}{4} = \frac{23}{4}$

105.

Heildisstofninn er neikvæður á bilinu $[−2, 3] .$

107.

$x \leq x^{2}$ yfir $[1, 2],$ þannig að $\sqrt{1 + x} \leq \sqrt{1 + x^{2}}$ yfir $[1, 2] .$

109.

$cos (t) \geq \frac{\sqrt{2}}{2} .$ Margfaldið með lengd bilsins til að fá ójöfnuna.

111.

$f_{ave} = 0; c = 0$

113.

$\frac{3}{2}$ þegar $c = \pm \frac{3}{2}$

115.

$f_{ave} = 0; c = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

117.

$L_{100} = 1.294, R_{100} = 1.301;$ hið nákvæma meðaltal er á milli þessara gilda.

119.

$L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0.5178, R_{100} \times (\frac{1}{2}) = 0.5294$

121.

$L_{1} = 0, L_{10} \times (\frac{1}{2}) = 8.743493, L_{100} \times (\frac{1}{2}) = 12.861728 .$ Nákvæma svarið $\approx 26.799,$ þannig að L₁₀₀ er ekki nákvæmt.

123.

$L_{1} \times (\frac{1}{π}) = 1.352, L_{10} \times (\frac{1}{π}) = −0.1837, L_{100} \times (\frac{1}{π}) = −0.2956 .$ Nákvæma svarið $\approx - 0.303,$ þannig að L₁₀₀ er ekki rétt með einum aukastaf.

125.

Notið ${tan}^{2} θ + 1 = {sec}^{2} θ .$ Síðan, $B - A = \int_{− π / 4}^{π / 4} 1 d x = \frac{π}{2} .$

127.

$\int_{0}^{2 π} {cos}^{2} t d t = π,$ þannig að deila skal með lengd bilsins, 2π. ${cos}^{2} t$ hefur lotuna π, þannig að já, þetta er rétt.

129.

Heildið nær hámarki þegar stærsta bilið þar sem p er óneikvætt er notað. Því gildir $A = \frac{− b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ og $B = \frac{− b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} .$

131.

Ef $f (t_{0}) > g (t_{0})$ fyrir eitthvert $t_{0} \in [a, b],$ þá er $f - g$ samfellt og því er til bil sem inniheldur t₀ þannig að $f (t) > g (t)$ á bilinu $[c, d],$ og þá $\int_{d}^{d} f (t) d t > \int_{c}^{d} g (t) d t$ á þessu bili.

133.

Heildi f yfir bili er jafnt heildi meðalgildis f yfir sama bili. Því gildir $\begin{matrix} \int_{a}^{b} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} f (t) d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} f (t) d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} f (t) d t = \int_{a_{0}}^{a_{1}} 1 d t + \int_{a_{1}}^{a_{2}} 1 d t + ⋯ + \int_{a_{N + 1}}^{a_{N}} 1 d t \\ = (a_{1} - a_{0}) + (a_{2} - a_{1}) + ⋯ + (a_{N} - a_{N - 1}) = a_{N} - a_{0} = b - a . \end{matrix}$ Þegar deilt er með $b - a$ fæst jafnan sem óskað var eftir.

135.

$\int_{0}^{N} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} \int_{i - 1}^{i} f (t) d t = \sum_{i = 1}^{N} i^{2} = \frac{N (N + 1) (2 N + 1)}{6}$

137.

$L_{10} = 1.815, R_{10} = 1.515, \frac{L_{10} + R_{10}}{2} = 1.665,$ þannig að nálgunin er nákvæm upp á tvo aukastafi.

139.

Meðaltalið er $1 / 2,$ sem er jafnt heildinu í þessu tilviki.

141.

a. Grafið er andsamhverft með tilliti til $t = \frac{1}{2}$ á bilinu $[0, 1],$ og því er meðalgildið núll. b. Fyrir sérhvert gildi a er grafið á milli $[a, a + 1]$ hliðrun á grafinu á bilinu $[0, 1],$ og því breytast nettóflatarmálin fyrir ofan og neðan ásinn ekki og meðalgildið helst núll.

143.

Já, heildið yfir sérhvert bil af lengd 1 er hið sama.

Æfingar úr undirkafla 5.3

145.

Já. Það leiðir af meðalgildissetningunni fyrir heildi.

147.

$F^{'} (2) = −1;$ meðalgildi $F^{′}$ yfir $[1, 2]$ er $−1 / 2 .$

149.

$e^{cos x}$

151.

$\frac{1}{\sqrt{16 - x^{2}}}$

153.

$\sqrt{x} \frac{d}{d x} \sqrt{x} = \frac{1}{2}$

155.

$− \sqrt{1 - {cos}^{2} x} \frac{d}{d x} cos x = | sin x | sin x$

157.

$2 x \frac{| x |}{1 + x^{2}}$

159.

$ln (e^{2 x}) \frac{d}{d x} e^{x} = 2 x e^{x}$

161.

a. f er jákvætt á $(1, 2)$ og $(5, 6),$ neikvætt á $(0, 1)$ og $(3, 4),$ og jafnt núlli á $(2, 3)$ og $(4, 5) .$ b. Hágildið er 2 og lággildið er −3. c. Meðalgildið er 0.

163.

a. ℓ er jákvætt á $(0, 1)$ og $(3, 6),$ og neikvætt á $(1, 3) .$ b. Það er vaxandi á $(0, 1)$ og $(3, 5),$ og það er fast á $(1, 3)$ og $(5, 6) .$ c. Meðalgildi þess er $\frac{1}{3} .$

165.

$T_{10} = 49.08, \int_{−4}^{3} (x^{3} + 6 x^{2} + x - 5) d x = 48$

167.

$T_{10} = 260.836, \int_{1}^{9} (\sqrt{x} + x^{2}) d x = 260$

169.

$T_{10} = 3.058, \int_{1}^{4} \frac{4}{x^{2}} d x = 3$

171.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{3 x^{2}}{2} - 5 x, F (3) - F (−2) = - \frac{35}{6}$

173.

$F (x) = - \frac{t^{5}}{5} + \frac{13 t^{3}}{3} - 36 t, F (3) - F (2) = \frac{62}{15}$

175.

$F (x) = \frac{x^{100}}{100}, F (1) - F (0) = \frac{1}{100}$

177.

$F (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x}, F (4) - F (\frac{1}{4}) = \frac{1125}{64}$

179.

$F (x) = \sqrt{x}, F (4) - F (1) = 1$

181.

$F (x) = \frac{4}{3} t^{3 / 4}, F (16) - F (1) = \frac{28}{3}$

183.

$F (x) = − cos x, F (\frac{π}{2}) - F (0) = 1$

185.

$F (x) = sec x, F (\frac{π}{4}) - F (0) = \sqrt{2} - 1$

187.

$F (x) = − cot (x), F (\frac{π}{2}) - F (\frac{π}{4}) = 1$

189.

$F (t) = - \frac{1}{t} + \frac{1}{2 t^{2}}, F (−1) - F (−2) = \frac{7}{8}$

191.

$F (x) = e^{x} - e$

193.

$F (x) = 0$

195.

$\int_{−2}^{−1} (t^{2} - 2 t - 3) d t - \int_{−1}^{3} (t^{2} - 2 t - 3) d t + \int_{3}^{4} (t^{2} - 2 t - 3) d t = \frac{46}{3}$

197.

$− \int_{− π / 2}^{0} sin t d t + \int_{0}^{π / 2} sin t d t = 2$

199.

a. Meðaltalið er $11.21 \times 10^{9}$ þar sem $cos (\frac{π t}{6})$ hefur lotuna 12 og heildið 0 yfir sérhverja lotu. Notkunin er jöfn meðaltalinu þegar $cos (\frac{π t}{6}) = 0,$ þegar $t = 3,$ og þegar $t = 9 .$ b. Heildarnotkunin er meðalnotkunin margfölduð með tímalengdinni: $11.21 \times 12 \times 10^{9} = 1.35 \times 10^{11}$ c. $10^{9} (11.21 - \frac{1}{6} \int_{3}^{9} cos (\frac{π t}{6}) d t) = 10^{9} (11.21 + \frac{2}{π}) = 11.84 x 10^{9}$

201.

Ef f er ekki fastafall, þá er meðalgildi þess stranglega minna en hágildið og stærra en lággildið, sem bæði nást á $[a, b]$ samkvæmt útgildissetningunni.

203.

a. $d^{2} θ = {(a cos θ + c)}^{2} + b^{2} {sin}^{2} θ = a^{2} + c^{2} {cos}^{2} θ + 2 a c cos θ = {(a + c cos θ)}^{2};$ b. $\bar{d} = \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} (a + c cos θ) d θ = a$

205.

Meðalþyngdarkraftur = $\frac{G m M}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{1}{{(a + 2 \sqrt{a^{2} - b^{2}} cos θ)}^{2}} d θ .$

Æfingar úr undirkafla 5.4

207.

$\int (\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}) d x = \int x^{1 / 2} d x - \int x^{−1 / 2} d x = \frac{2}{3} x^{3 / 2} + C_{1} - 2 x^{1 / 2} + C_{2} = \frac{2}{3} x^{3 / 2} - 2 x^{1 / 2} + C$

209.

$\int \frac{d x}{2 x} = \frac{1}{2} ln | x | + C$

211.

$\int_{0}^{π} sin x d x - \int_{0}^{π} cos x d x = − cos x |_{0}^{π} - (sin x) |_{0}^{π} = (− (−1) + 1) - (0 - 0) = 2$

213.

$P (s) = 4 s,$ þannig að $\frac{d P}{d s} = 4$ og $\int_{2}^{4} 4 d s = 8 .$

215.

$\int_{1}^{2} N d s = N$

217.

Með p eins og í fyrra dæminu eykst flatarmál hvers hinna 12 fimmhyrninga úr 2p í 4p flatarmálseiningar, þannig að heildaraukningin á flatarmáli tólfflötungsins er 36p flatarmálseiningar.

219.

$18 s^{2} = 6 \int_{s}^{2 s} 2 x d x$

221.

$12 π R^{2} = 8 π \int_{R}^{2 R} r d r$

223.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s = 4 t - t^{2} .$ Heildarvegalengdin er $d (2) = 4 m .$

225.

$d (t) = \int_{0}^{t} v (s) d s .$ Fyrir $t < 3, d (t) = \int_{0}^{t} (6 - 2 t) d t = 6 t - t^{2} .$ Fyrir $t > 3, d (t) = d (3) + \int_{3}^{t} (2 t - 6) d t = 9 + (t^{2} - 6 t) |_{3}^{6} .$ Heildarvegalengdin er $d (6) = 18 m .$

227.

$v (t) = 40 - 9.8 t m/sek.; h (t) = 1.5 + 40 t - 4.9 t^{2}$ m/s

229.

Nettóaukningin er 1 eining.

231.

Við $t = 5,$ er vatnshæðin $x = {(\frac{15}{π})}^{1 / 3} m . .$ Heildarbreytingin á hæð frá $t = 5$ til $t = 10$ er ${(\frac{30}{π})}^{1 / 3} - {(\frac{15}{π})}^{1 / 3}$ m.

233.

Heildarorkunotkun á dag er áætluð sem summa aflgildanna á hverri klukkustund, eða 911 GWst.

235.

17 kJ

237.

a. 54,3%; b. 27,00%; c. Ferillinn á eftirfarandi grafi er $2.35 (t + 3) e^{−0.15 (t + 3)} .$

Graf af gögnunum og falli sem nálgar gögnin. Fallið gefur mjög góða nálgun.

239.

Við þurrar aðstæður gildir að fyrir upphafshraðann $v_{0} = 30$ m/s er $D = 64.3$ , en þegar $v_{0} = 25, D = 44.64 .$ Við blautar aðstæður gildir $v_{0} = 30,$ $D = 180$ , en þegar $v_{0} = 25, D = 125 .$

241.

225 kal

243.

$E (150) = 28, E (300) = 22, E (450) = 16$

245.

Graf af gefnu gögnunum sem lækkar frá 600 til 2200 eftir nokkurn veginn hvelfdum ferli.

b. Milli 600 og 1000 er meðalminnkunin −0,0075 ökutæki á klukkustund á hverja akrein. Milli 1000 og 1500 er hún −0,006 ökutæki á klukkustund á hverja akrein og milli 1500 og 2100 er hún −0,04 ökutæki á klukkustund á hverja akrein. c.

Graf af gefnu gögnunum sýnir að mínútum á hverja mílu fjölgar verulega þegar fjöldi ökutækja á klukkustund nær 2000.

Grafið er ólínulegt og mínútum á hverja mílu fjölgar verulega þegar fjöldi ökutækja á klukkustund á hverri akrein nær 2000.

247.

$\frac{1}{37} \int_{0}^{37} p (t) d t = \frac{0.07 {(37)}^{3}}{4} + \frac{2.42 {(37)}^{2}}{3} - \frac{25.63 (37)}{2} + 521.23 \approx 2037$

249.

Meðalhröðunin er $- \frac{0.7}{3} t^{3} + \frac{1.44}{2} t^{2} + 10.44 t |_{0}^{5} = - \frac{0.7}{3} (5^{3}) + 10.44 (5) \approx 41$ mílur/klst./sek.

251.

$s (t) = v (t) d t = \int (- \frac{7}{30} t^{3} + 0.72 t^{2} + 10.44 t + 23.967) d t = - \frac{7}{120} t^{4} + \frac{0.72}{3} t^{3} + \frac{10.44}{2} t^{2} + 23.967 t + C = 174.24 feet$

253.

$\frac{1}{40} \int_{0}^{40} (−0.068 t + 5.14) d t = - \frac{0.068 (40)}{2} + 5.14 = 3.78 m/sek.$

Æfingar úr undirkafla 5.5

255.

$u = h (x)$

257.

$f (u) = \frac{{(u + 1)}^{2}}{\sqrt{u}}$

259.

$d u = 8 x d x; f (u) = \frac{1}{8 \sqrt{u}}$

261.

$\frac{1}{5} {(x + 1)}^{5} + C$

263.

$- \frac{1}{12 {(2 x - 3)}^{6}} + C$

265.

$\sqrt{x^{2} + 1} + C$

267.

$\frac{1}{8} {(x^{2} - 2 x)}^{4} + C$

269.

$sin θ - \frac{{sin}^{3} θ}{3} + C$

271.

$\frac{{(1 - x)}^{101}}{101} - \frac{{(1 - x)}^{100}}{100} + C$

273.

$\int {(11 x - 7)}^{-2} dx = - \frac{1}{22 {(11 x - 7)}^{2}} + C$

275.

$- \frac{{cos}^{4} θ}{4} + C$

277.

$- \frac{{cos}^{3} (π t)}{3 π} + C$

279.

$- \frac{1}{4} {cos}^{2} (t^{2}) + C$

281.

$- \frac{1}{3 (x^{3} - 3)} + C$

283.

$- \frac{2 (y^{3} - 2)}{3 \sqrt{1 - y^{3}}} + C$

285.

$\frac{1}{33} {(1 - {cos}^{3} θ)}^{11} + C$

287.

$\frac{1}{12} {({sin}^{3} θ - 3 {sin}^{2} θ)}^{4} + C$

289.

$L_{50} = −8.5779 .$ Nákvæmt gildi heildisins er $\frac{−81}{8}$

291.

$L_{50} = −0.006399$ … Nákvæma flatarmálið er 0.

293.

$u = 1 + x^{2}, d u = 2 x d x, \frac{1}{2} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \sqrt{2} - 1$

295.

$u = 1 + t^{3}, d u = 3 t^{2} d t, \frac{1}{3} \int_{1}^{2} u^{−1 / 2} d u = \frac{2}{3} (\sqrt{2} - 1)$

297.

$u = cos θ, d u = − sin θ d θ, \int_{1 / \sqrt{2}}^{1} u^{−4} d u = \frac{1}{3} (2 \sqrt{2} - 1)$

299.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = cos(ln(2x)) / x, sem vex hratt, nokkurn veginn á bilinu (0,.25) og minnkar síðan smám saman niður að x-ásnum. Síðara grafið sýnir fallið f(x) = sin(ln(2x)), sem minnkar hratt, nokkurn veginn á bilinu (0, .25) og vex síðan eftir mjúkum boga inn í fyrsta fjórðung.

Stofnfallið er $y = sin (ln (2 x)) .$ Þar sem stofnfallið er ekki samfellt í $x = 0,$ er ekki unnt að velja C þannig að $y = sin (ln (2 x)) - C$ svari til ákveðins heildis.

301.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = sin(x) / cos(x)^3 á bilinu [-5pi/16, 5pi/16]. Fallið er vaxandi og hvelft fyrir gildi sem eru minni en núll en vaxandi og kúpt upp fyrir gildi sem eru stærri en núll. Síðara grafið sýnir fallið f(x) = ½ sec(x)^2 á sama bili. Grafið er breiður ferill sem er kúptur, minnkar fyrir gildi sem eru minni en núll og vex fyrir gildi sem eru stærri en núll.

Stofnfallið er $y = \frac{1}{2} {sec}^{2} x .$ Veljið $C = −2$ þannig að $F (- \frac{π}{3}) = 0 .$

303.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = 3x^2 * sqrt(2x^3 + 1). Graf þess er vaxandi ferill sem er kúptur og hefst í upphafspunktinum. Síðara grafið sýnir fallið f(x) = 1/3 * (2x^3 + 1)^(1/3). Graf þess er vaxandi ferill sem er kúptur og hefst nálægt 0.3.

Stofnfallið er $y = \frac{1}{3} {(2 x^{3} + 1)}^{3 / 2} .$ Taka skal $C = - \frac{1}{3} .$

305.

Nei, vegna þess að heildisstofninn er ósamfelldur í $x = 1 .$

307.

$u = sin (t^{2});$ heildið verður þá $\frac{1}{2} \int_{0}^{0} u d u .$

309.

$u = (1 + {(t - \frac{1}{2})}^{2});$ heildið verður $− \int_{5 / 4}^{5 / 4} \frac{1}{u} d u .$

311.

$u = 1 - t;$ verður heildið∫ 1 −1 u ⁢ cos ⁡ ( π ⁢ ( 1 − u ) ) d u = ∫ 1 −1 u ⁢ [ cos ⁡ π ⁢ cos ⁡ π ⁢ u − sin ⁡ π ⁢ sin ⁡ π ⁢ u ] d u = − ∫ 1 −1 u ⁢ cos ⁡ π ⁢ u ⁢ d ⁢ u = ∫ −1 1 u ⁢ cos ⁡ π ⁢ u ⁢ d ⁢ u = 0þar sem heildisstofninn er oddstætt fall.

313.

Ef sett er $u = c x$ og $d u = c d x$ fæst $\frac{1}{\frac{b}{c} - \frac{a}{c}} \int_{a / c}^{b / c} f (c x) d x = \frac{c}{b - a} \int_{u = a}^{u = b} f (u) \frac{d u}{c} = \frac{1}{b - a} \int_{a}^{b} f (u) d u .$

315.

$\int_{0}^{x} g (t) d t = \frac{1}{2} \int_{u = 1 - x^{2}}^{1} \frac{d u}{u^{a}} = \frac{1}{2 (1 - a)} u^{1 - a} |_{u = 1 - x^{2}}^{1} = \frac{1}{2 (1 - a)} (1 - {(1 - x^{2})}^{1 - a}) .$ Þegar $x \to 1$ markgildið er $\frac{1}{2 (1 - a)}$ ef $a < 1,$ og markgildið stefnir á +∞ ef $a \geq 1 .$

317.

$\int_{t = π}^{0} b \sqrt{1 - {cos}^{2} t} \times (− a sin t) d t = \int_{t = 0}^{π} a b {sin}^{2} t d t$

319.

$f (t) = 2 cos (3 t) - cos (2 t); \int_{0}^{π} (2 cos (3 t) - cos (2 t)) d t = 0$

Æfingar úr undirkafla 5.6

321.

$\frac{−1}{3} e^{−3 x} + C$

323.

$- \frac{3^{− x}}{ln 3} + C$

325.

$2 \ln | x | + C eða \ln (x^{2}) +C$

327.

$2 \sqrt{x} + C$

329.

$- \frac{1}{ln x} + C$

331.

$ln (ln (ln x)) + C$

333.

$ln (x cos x) + C$

335.

$- \frac{1}{2} {(ln (cos (x)))}^{2} + C$

337.

$\frac{− e^{− x^{3}}}{3} + C$

339.

$e^{tan x} + C$

341.

$t + C$

343.

$\frac{2}{9} x^{3} (ln (x^{3}) - 1) + C$

345.

$2 \sqrt{x} (ln x - 2) + C$

347.

$\int_{0}^{ln x} e^{t} d t = e^{t} |_{0}^{ln x} = e^{ln x} - e^{0} = x - 1$

349.

$- \frac{1}{3} ln | sin (3 x) + cos (3 x) | +C$

351.

$- \frac{1}{2} ln | csc (x^{2}) + cot (x^{2}) | + C$

353.

$- \frac{1}{2} {(ln (csc x))}^{2} + C$

355.

$\frac{1}{3} ln (\frac{26}{7})$

357.

$ln (\sqrt{3} - 1)$

359.

$\frac{1}{2} ln \frac{3}{2}$

361.

$y - 2 ln | y + 1 | + C$

363.

$ln | sin x - cos x | + C$

365.

$- \frac{1}{3} {(1 - (ln {x)}^{2})}^{3 / 2} + C$

367.

Nákvæm lausn: $\frac{e - 1}{e}, R_{50} = 0.6258 .$ Þar sem f er minnkandi vanmetur matið út frá hægri endapunkti flatarmálið.

369.

Nákvæm lausn: $\frac{2 ln (3) - ln (6)}{2}, R_{50} = 0.2033 .$ Þar sem f er vaxandi er flatarmálið ofmetið þegar hægri endapunktar eru notaðir við matið.

371.

Nákvæm lausn: $- \frac{1}{ln (4)}, R_{50} = −0.7164 .$ Þar sem f er neikvætt og vaxandi á bilinu gefur mat með hægri endapunktum of hátt mat á gildi heildisins en of lágt mat á flatarmáli svæðisins (algildi heildisins).

373.

$\frac{11}{2} ln 2$

375.

$\frac{1}{ln (65, 536)}$

377.

$\int_{N}^{N + 1} x e^{− x^{2}} d x = \frac{1}{2} (e^{− N^{2}} - e^{− {(N + 1)}^{2}}) .$ Stærðin er minni en 0,01 þegar $N = 2 .$

379.

$\int_{a}^{b} \frac{d x}{x} = ln (b) - ln (a) = ln (\frac{1}{a}) - ln (\frac{1}{b}) = \int_{1 / b}^{1 / a} \frac{d x}{x}$

381.

383.

Við megum gera ráð fyrir að $x > 1, því er \frac{1}{x} < 1 .$ Þá fæst $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} .$ Gerum nú innsetninguna $u = \frac{1}{t},$ þannig að $d u = - \frac{d t}{t^{2}}$ og $\frac{d u}{u} = - \frac{d t}{t},$ og breytum heildunarmörkunum: $\int_{1}^{1 / x} \frac{d t}{t} = − \int_{1}^{x} \frac{d u}{u} = − ln x .$

385.

Svör eru mismunandi.

387.

$x = E (ln (x)) .$ Þá $1 = \frac{E' (ln x)}{x} eða x = E' (ln x) .$ Þar sem sérhverja tölu t má rita $t = ln x$ fyrir eitthvert x, og fyrir slíkt t gildir $x = E (t),$ leiðir af því að fyrir sérhvert $t, E' (t) = E (t) .$

389.

$R_{10} = 0.6811, R_{100} = 0.6827$

Graf fallsins f(x) = .5 * ( sqrt(2)*e^(-.5x^2)) / sqrt(pi). Grafið sýnir hvelfdan feril sem er samhverfur um y-ásinn og sker y-ásinn u.þ.b. í punktinum (0, .4). Fallið stefnir á 0 þegar x stefnir á jákvætt eða neikvætt óendanlegt. Á milli -1 og 1 eru teiknaðir tíu rétthyrningar til að nálga flatarmálið undir ferlinum með hægri endapunktum.

Æfingar úr undirkafla 5.7

391.

${sin}^{−1} x |_{0}^{\sqrt{3} / 2} = \frac{π}{3}$

393.

${tan}^{−1} x |_{\sqrt{3}}^{1} = - \frac{π}{12}$

395.

${sec}^{−1} |_{\frac{2}{\sqrt{3}}}^{\sqrt{2}} = \frac{π}{4} - \frac{π}{6} = \frac{π}{12}$

397.

${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

399.

$\frac{1}{3} {tan}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

401.

$\frac{1}{3} {sec}^{−1} (\frac{x}{3}) + C$

403.

$cos (\frac{π}{2} - θ) = sin θ .$ Því er ${sin}^{−1} t = \frac{π}{2} - {cos}^{−1} t .$ Munurinn á þeim er fasti.

405.

$\sqrt{1 - t^{2}}$ er ekki skilgreint sem rauntala þegar $t > 1 .$

407.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = 1 / sqrt(9 – x^2). Það er ferill sem opnast upp, er samhverfur um y-ásinn og fer í gegnum punktinn (0, 1/3). Síðara grafið sýnir fallið F(x) = arcsin(1/3 x). Það er vaxandi ferill sem fer í gegnum upphafspunktinn.

Stofnfallið er ${sin}^{−1} (\frac{x}{3}) + C .$ Ef tekið er $C = \frac{π}{2}$ fæst gildi ákveðna heildisins aftur.

409.

Tvö gröf. Fyrra grafið sýnir fallið f(x) = cos(x) / (4 + sin(x)^2). Fallið sveiflast á bilinu [-6, 6] og hefur vendipunkta u.þ.b. í (-3, -2.5), (0, .25) og (3, -2.5). Punkturinn (0,.25) er staðbundinn hágildispunktur en hinir eru staðbundnir lággildispunktar. Síðara grafið sýnir fallið F(x) = .5 * arctan(.5*sin(x)), sem sveiflast einnig á bilinu [-6,6]. Það hefur vendipunkta u.þ.b. í (-4.5, .25), (-1.5, -.25), (1.5, .25) og (4.5, -.25).

Stofnfallið er $\frac{1}{2} {tan}^{−1} (\frac{sin x}{2}) + C .$ Ef tekið er $C = \frac{1}{2} {tan}^{−1} (\frac{sin (6)}{2})$ fæst gildi ákveðna heildisins aftur.

411.

$\frac{1}{2} {({sin}^{−1} t)}^{2} + C$

413.

$\frac{1}{4} {({tan}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

415.

$\frac{1}{4} ({sec}^{−1} {(\frac{t}{2})}^{2}) + C$

417.

Graf fallsins f(x) = -.5 * arctan(2 / ( sqrt(x^2 – 4) ) ) í fjórða fjórðungi. Það er vaxandi ferill, hvelfdur, með lóðfellu við x=2.

Stofnfallið er $\frac{1}{2} {sec}^{−1} (\frac{x}{2}) + C .$ Með því að taka $C = 0$ fæst gildi ákveðna heildisins yfir $[2, 6] .$

419.

Graf fallsins f(x) = arctan(x sin(x)) yfir bilinu [-6,6]. Það hefur fimm vendipunkta, um það bil í (-5, -1.5), (-2,1), (0,0), (2,1) og (5,-1.5).

Almenna stofnfallið er ${tan}^{−1} (x sin x) + C .$ Með því að velja $C = − {tan}^{−1} (6 sin (6))$ fæst gildi ákveðna heildisins.

421.

Graf fallsins f(x) = arctan(ln(x)) yfir bilinu (0, 2]. Það er vaxandi ferill sem sker x-ásinn í (1,0).

Almenna stofnfallið er ${tan}^{−1} (ln x) + C .$ Með því að velja $C = \frac{π}{2} = {tan}^{−1} \infty$ fæst gildi ákveðna heildisins.

423.

${sin}^{−1} (e^{t}) + C$

425.

${sin}^{−1} (ln t) + C$

427.

$- \frac{1}{4} {({cos}^{−1} (2 t))}^{2} + C$

429.

$\frac{1}{2} ln (\frac{4}{3})$

431.

$1 - \frac{2}{\sqrt{5}}$

433.

$2 {tan}^{−1} (A) \to π$ sem $A \to \infty$

435.

Með því að nota vísbendinguna fæst $\int \frac{{csc}^{2} x}{{csc}^{2} x + {cot}^{2} x} d x = \int \frac{{csc}^{2} x}{1 + 2 {cot}^{2} x} d x .$ Setjum $u = \sqrt{2} cot x .$ Því næst, $d u = − \sqrt{2} {csc}^{2} x$ og heildið er $- \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{d u}{1 + u^{2}} = - \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} u + C = \frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} (\sqrt{2} cot x) + C .$ Ef notuð er samsemdin ${tan}^{−1} s + {tan}^{−1} (\frac{1}{s}) = \frac{π}{2},$ þá má einnig rita þetta $\frac{1}{\sqrt{2}} {tan}^{−1} (\frac{tan x}{\sqrt{2}}) + C .$

437.

$x \approx \pm 1.7321 .$ Matið með vinstri endapunktum fyrir $N = 100$ er 4.781 og þessir aukastafir haldast óbreyttir fyrir $N = 500 .$

Yfirlitsæfingar

439.

Ósatt

441.

Satt

443.

$L_{4} = 5.25, R_{4} = 3.25,$ nákvæmt svar: 4

445.

$L_{4} = 5.364, R_{4} = 5.364,$ nákvæmt svar: 5.870

447.

$- \frac{4}{3}$

449.

451.

$- \frac{1}{2 {(x + 4)}^{2}} + C$

453.

$\frac{4}{3} {sin}^{−1} (x^{3}) + C$

455.

$\frac{sin t}{\sqrt{1 + t^{2}}}$

457.

$4 \frac{ln x}{x} + 1$

459.

$6,328,113

461.

$73.36

463.

$\frac{19117}{12} fet/sek., eða 1593 fet/sek.$