Svarlykill

Kafli 1

1. kafli

Stöðumat

1.1.

$f (1) = 3$ og $f (a + h) = a^{2} + 2 a h + h^{2} - 3 a - 3 h + 5$

1.2.

Skilgreiningarmengi = ${x | x \leq 2},$ myndmengi = ${y | y \geq 5}$

1.3.

$x = 0, 2, 3$

1.4.

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{x^{2} + 3}{2 x - 5} .$ Skilgreiningarmengið er ${x | x \neq \frac{5}{2}} .$

1.5.

$(f \circ g) (x) = 2 - 5 \sqrt{x} .$

1.6.

$(g \circ f) (x) = 0.63 x$

1.7.

$f (x)$ er oddstætt.

1.8.

Skilgreiningarmengi = $(− \infty, \infty),$ myndmengi = ${y | y \geq −4} .$

1.9.

$m = 1 / 2 .$ Punkthallaformið er

$y - 4 = \frac{1}{2} (x - 1) .$

Hallaskurðarformið er

$y = \frac{1}{2} x + \frac{7}{2} .$

1.10.

Núllstöðvarnar eru $x = 1 \pm \sqrt{3} / 3 .$ Fleygboginn opnast upp á við.

1.11.

Skilgreiningarmengið er mengi rauntalna $x$ þannig að $x \neq 1 / 2 .$ Myndmengið er mengið ${y | y \neq 5 / 2} .$

1.12.

Skilgreiningarmengi $f$ er $(−∞, ∞).$ Skilgreiningarmengi $g$ er ${x | x \geq 1 / 5} .$

1.13.

Algebruleg

1.14.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -6 til 5 og y-ásinn frá -2 til 7. Grafið sýnir fall sem er í tveimur hlutum. Fyrri hlutinn er minnkandi lína sem endar í lokuðum punkti (2, 0) og er merkt „f(x) = 2 - x, fyrir x <= 2“. Seinni hlutinn er vaxandi lína sem hefst í opnum punkti (2, 4) og er merkt „f(x) = x + 2, fyrir x > 2“. Fallið sker x-ásinn í (2, 0) og y-ásinn í (0, 2).

1.15.

$C (x) = {\begin{matrix} 49, 0 < x \leq 1 \\ 70, 1 < x \leq 2 \\ 91, 2 < x \leq 3 \end{matrix}$

1.16.

Hliðrið grafinu $y = x^{2}$ um 1 einingu til vinstri, speglið því um $x$ -ásinn og hliðrið því síðan niður um 4 einingar.

1.17.

$7 π / 6;$ 330°

1.18.

$cos (3 π / 4) = − \sqrt{2} / 2; sin (− π / 6) = −1 / 2$

1.19.

$10$ fet

1.20.

$θ = \frac{3 π}{2} + 2 n π, \frac{π}{6} + 2 n π, \frac{5 π}{6} + 2 n π$ fyrir $n = 0, \pm 1, \pm 2,…$

1.21.

$\begin{array}{rcl} 1 + θ & = & 1 + \frac{θ}{θ} \\ = & \frac{θ}{θ} + \frac{θ}{θ} \\ = & \frac{θ + θ}{θ} \\ = & \frac{1}{θ} \\ = & θ \end{array}$

1.22.

Til að teikna graf $f (x) = 3 sin (4 x) - 5,$ þarf að breyta grafi $y = sin (x)$ þannig að það sé þjappað saman lárétt um stuðulinn 4, síðan teygt lóðrétt um stuðulinn 3 og loks hliðrað niður um 5 einingar. Fallið $f$ hefur lotuna $π / 2$ og útslagið 3.

1.23.

Nei.

1.24.

$f^{−1} (x) = \frac{2 x}{x - 3} .$ Skilgreiningarmengi $f^{−1}$ er ${x | x \neq 3} .$ Myndmengi $f^{−1}$ er ${y | y \neq 2} .$

1.25.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 4 og y-ásinn frá -3 til 5. Grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er „f(x) = 2x +3“, vaxandi línulegt fall. Fallið sker x-ásinn í (-1.5, 0) og y-ásinn í (0, 3). Seinna fallið er „andhverfa f (x) = (x - 3)/2“, vaxandi línulegt fall sem vex hægar en fyrra fallið. Fallið sker x-ásinn í (3, 0) og y-ásinn í (0, -1.5). Auk fallanna tveggja er punktalína á ská, merkt með jöfnunni „y =x“, sem sýnir að „f(x)“ og „andhverfa f (x)“ eru spegilmyndir hvort annars um línuna „y =x“.

1.26.

Skilgreiningarmengi $f^{−1}$ er $(0, \infty) .$ Myndmengi $f^{−1}$ er $(− \infty, 0) .$ Andhverfa fallið er gefið með formúlunni $f^{−1} (x) = −1 / \sqrt{x} .$

1.27.

$f (4) = 900; f (10) = 24, 300 .$

1.28.

$x / (2 y^{3})$

1.29.

$A (t) = 750 e^{0.04 t} .$ Eftir $30$ ár verða um það bil $$ 2, 490.09 .$

1.30.

$x = \frac{ln 3}{2}$

1.31.

$x = \frac{1}{e}$

1.32.

$1.29248$

1.33.

Jarðskjálftinn að stærðinni $8.4$ er um það bil $10$ sinnum öflugri en jarðskjálftinn að stærðinni $7.4$ .

1.34.

$(x^{2} + x^{−2}) / 2$

1.35.

$\frac{1}{2} ln (3) \approx 0.5493 .$

Æfingar úr undirkafla 1.1

a. Skilgreiningarmengi = ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3},$ myndmengi = ${0, 1, 4, 9}$ b. Já, þetta er fall

a. Skilgreiningarmengi = ${0, 1, 2, 3},$ myndmengi = ${−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}$ b. Nei, þetta er ekki fall

a. Skilgreiningarmengi = ${3, 5, 8, 10, 15, 21, 33},$ myndmengi = ${0, 1, 2, 3}$ b. Já, þetta er fall

a. $−2$ b. 3 c. 13 d. $−5 x - 2$ e. $5 a - 2$ f. $5 a + 5 h - 2$

a. Óskilgreint b. 2 c. $\frac{2}{3}$ d. $- \frac{2}{x}$ e $\frac{2}{a}$ f. $\frac{2}{a + h}$

11.

a. $\sqrt{5}$ b. $\sqrt{11}$ c. $\sqrt{23}$ d. $\sqrt{−6 x + 5}$ e. $\sqrt{6 a + 5}$ f. $\sqrt{6 a + 6 h + 5}$

13.

a. 9 b. 9 c. 9 d. 9 e. 9 f. 9

15.

$x \geq \frac{1}{8}; y \geq 0; x = \frac{1}{8};$ engan y-skurðpunkt

17.

$x \geq −2; y \geq −1; x = −1; y = −1 + \sqrt{2}$

19.

$x \neq 4; y \neq 0;$ enginn x-ássskurðpunktur; $y = - \frac{3}{4}$

21.

$x > 5; y > 0;$ engir skurðpunktar

23.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn nær frá -3 til 3. Grafið sýnir fallið „f(x) = 3x - 6“, sem er vaxandi línulegt fall. Fallið sker x-ásinn í (2, 0) en skurðpunkturinn við y-ás er ekki sýndur.

25.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn nær frá -2 til 6. Grafið sýnir fallið „f(x) = 2 sinnum tölugildi x“. Fallið minnkar eftir beinni línu þar til hún nær upphafspunktinum og vex síðan eftir beinni línu. Skurðpunktar fallsins við x-ás og y-ás eru í upphafspunktinum.

27.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn nær frá -27 til 27. Grafið sýnir fallið „f(x) = x í þriðja veldi“. Ferill fallsins vex þar til hann nær upphafspunktinum, þar sem hann fletst út og verður láréttur. Eftir upphafspunktinn tekur grafið aftur að vaxa. Skurðpunktarnir við x-ás og y-ás eru báðir í upphafspunktinum.

29.

Fall; a. Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: $y \geq 0$ b. $x = \pm 1$ c. $y = 1$ d. $−1 < x < 0$ og $1 < x < \infty$ e. $− \infty < x < - 1$ og $0 < x < 1$ f. Ekki fast g. y-ás h. Jafnstætt

31.

Fall; a. Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: $−1.5 \leq y \leq 1.5$ b. $x = 0$ c. $y = 0$ d. $allar rauntölur$ e. Ekkert f. Ekki fast g. Upphafspunktur h. Oddstætt

33.

Fall; a. Skilgreiningarmengi: $− \infty < x < \infty,$ myndmengi: $−2 \leq y \leq 2$ b. $x = 0$ c. $y = 0$ d. $−2 < x < 2$ e. Ekki minnkandi f. $− \infty < x < - 2$ og $2 < x < \infty$ g. Upphafspunktur h. Oddstætt

35.

Fall; a. Skilgreiningarmengi: $−4 \leq x \leq 4,$ myndmengi: $−4 \leq y \leq 4$ b. $x = 1.2$ c. $y = 4$ d. Ekki vaxandi e. $0 < x < 4$ f. $−4 < x < 0$ g. Engin samhverfa h. Hvorugt

37.

a. $5 x^{2} + x - 8;$ allar rauntölur b. $−5 x^{2} + x - 8;$ allar rauntölur c. $5 x^{3} - 40 x^{2};$ allar rauntölur d. $\frac{x - 8}{5 x^{2}}; x \neq 0$

39.

a. $−2 x + 6;$ allar rauntölur b. $−2 x^{2} + 2 x + 12;$ allar rauntölur c. $− x^{4} + 2 x^{3} + 12 x^{2} - 18 x - 27;$ allar rauntölur d. $- \frac{x + 3}{x + 1}; x \neq − 1, 3$

41.

a. $6 + \frac{2}{x}; x \neq 0$ b. 6; $x \neq 0$ c. $\frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}; x \neq 0$ d. $6 x + 1; x \neq 0$

43.

a. $4 x + 3;$ allar rauntölur b. $4 x + 15;$ allar rauntölur

45.

a. $x^{4} - 6 x^{2} + 16;$ allar rauntölur b. $x^{4} + 14 x^{2} + 46;$ allar rauntölur

47.

a. $\frac{3 x}{4 + x}; x \neq 0, −4$ b. $\frac{4 x + 2}{3}; x \neq - \frac{1}{2}$

49.

a. Já, því að aðeins einn sigurvegari er á hverju ári. b. Nei, því að þrjú lið unnu oftar en einu sinni á árunum 2001 til 2012.

51.

a. $V (s) = s^{3}$ b. $V (11.8) \approx 1643;$ teningur með hliðarlengdina 11.8 hefur rúmmál sem er um það bil 1643 rúmeiningar.

53.

a. $N (x) = 15 x$ b. i. $N (20) = 15 (20) = 300;$ því getur ökutækið ekið 300 mílur á fullum eldsneytisgeymi. ii. $N (15) = 225;$ því getur ökutækið ekið 225 mílur á 3/4 af eldsneytisgeymi. c. Skilgreiningarmengi: $0 \leq x \leq 20;$ myndmengi: $[0, 300]$ d. Ökumaðurinn þurfti að stöðva að minnsta kosti einu sinni, þar sem það þarf um það bil 39 gallon af eldsneyti til að aka samtals 578 mílur.

55.

a. $A (t) = A (r (t)) = π \cdot {(6 - \frac{5}{t^{2} + 1})}^{2}$ b. Nákvæmt: $\frac{121 π}{4};$ um það bil 95 cm² c. $C (t) = C (r (t)) = 2 π (6 - \frac{5}{t^{2} + 1})$ d. Nákvæmt: $11 π;$ um það bil 35 cm

57.

a. $S (x) = 8.5 x + 750$ b. $962.50, $1090, $1217.50 c. 77 hjólabretti

Æfingar úr undirkafla 1.2

59.

a. −1 b. Minnkandi

61.

a. 3/4 b. Vaxandi

63.

a. 4/3 b. Vaxandi

65.

a. 0 b. Lárétt

67.

$y = −6 x + 9$

69.

$y = \frac{1}{3} x + 4$

71.

$y = \frac{1}{2} x$

73.

$y = \frac{3}{5} x - 3$

75.

a. $(m = 2, b = −3)$ b.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi línulegt fall með skurðpunkt við y-ás í (0, -3) og skurðpunkt við x-ás í (1.5, 0).

77.

a. $(m = −6, b = 0)$ b.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir minnkandi línulegt fall sem sker bæði y-ás og x-ás í upphafspunktinum. Ómerktur punktur á grafi fallsins er í (0.5, -3).

79.

a. $(m = 0, b = −6)$ b.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn frá -7 til 1. Grafið sýnir lárétt línulegt fall með skurðpunkt við y-ás í (0, -6) en engan skurðpunkt við x-ás.

81.

a. $(m = - \frac{2}{3}, b = 2)$ b.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -3 til 3 og y-ásinn frá -4 til 4. Grafið sýnir minnkandi línulegt fall með skurðpunkt við y-ás í (0, 2) og skurðpunkt við x-ás í (3, 0).

83.

a. 2 b. $\frac{5}{2}, −1;$ c. −5 d. Þegar $x \to \pm \infty, y \to \infty$ e. Hvorugt

85.

a. 2 b. $\pm \sqrt{2}$ c. −1 d. Þegar $x \to \pm \infty, y \to \infty$ e. Jafnstætt

87.

a. 3 b. 0, $\pm \sqrt{3}$ c. 0 d. Þar sem $x \to - \infty, y \to \infty$ og $x \to \infty, y \to - \infty$ e. Oddstætt

89.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir fleygbogafall sem minnkar að punktinum (-3, 1) og fer síðan að vaxa. Skurðpunktur við y-ás er ekki sýndur og engir skurðpunktar eru við x-ás. Tveir punktar sem ekki eru merktir inn á grafið eru í (-4, 2) og (-2, 2).

91.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 20 og y-ásinn frá -8 til 2. Grafið sýnir feril falls sem hefst í punktinum (0, -1) og fer síðan að minnka. Skurðpunkturinn við y-ás er í (0, -1) og enginn skurðpunktur er við x-ás. Punktur sem ekki er merktur inn á grafið er í (9, -4).

93.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir fall sem hefst í punktinum (-2, 2) og vex að punktinum (0, 4). Eftir punktinn (0, 4) verður graf fallsins lárétt lína og helst þannig að punktinum (2, 4). Eftir punktinn (2, 4) fer fallið að minnka og heldur því áfram að punktinum (4, 2), þar sem grafi fallsins lýkur.

95.

a. $13, −3, 5$ b.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn frá -5 til 5. Grafið sýnir fall í tveimur hlutum. Fyrri hlutinn er minnkandi ferill sem endar í punktinum (0, -3). Seinni hlutinn er vaxandi lína sem hefst í punktinum (0, -3). Fallið sker x-ás um það bil í punktinum (1.7, 0) og í punktinum (0.75, 0) og y-ás í (0, -3).

97.

a. $\frac{−3}{2}, \frac{−1}{2}, 4$ b.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -10 til 10 og y-ásinn frá -10 til 10. Grafið sýnir fall sem hefst rétt neðan við x-ásinn og fer að minnka. Þegar graf fallsins nálgast ómerktu lóðréttu línuna „x = 2“ minnkar fallið hraðar en nær aldrei línunni „x = 2“. Hægra megin við ómerktu línuna „x = 2“ hefst graf fallsins efst á myndinni, fer lækkandi og nálgast ómerktu láréttu línuna „y = 0“ en nær aldrei „y = 0“. Á grafi fallsins er einnig merktur punktur í (2, 4). Skurðpunktur við y-ás er í (0, -1.5) en enginn skurðpunktur er við x-ás.

99.

Satt; $n = 3$

101.

Rangt; $f (x) = x^{b},$ þar sem $b$ er raungildur fasti, er veldisfall

103.

a. $V (t) = −2733 t + 20500$ b. $(0, 20, 500)$ þýðir að upphaflegt kaupverð búnaðarins er $20,500; $(7.5, 0)$ þýðir að eftir 7.5 ár er tölvubúnaðurinn verðlaus. c. $6835 d. Eftir um það bil 6.4 ár

105.

a. $C = 0.75 x + 125$ b. $245 c. 167 bollakökur

107.

a. $V (t) = −1500 t + 26,000$ b. Eftir 4 ár er verðmæti bílsins $20,000.

109.

$30,337.50

111.

96% af heildarrýmdinni

Æfingar úr undirkafla 1.3

113.

$\frac{4 π}{3} rad$

115.

$\frac{− π}{3}$

117.

$\frac{11 π}{6} rad$

119.

$210 °$

121.

$−540 °$

123.

$−0.5$

125.

$- \frac{\sqrt{2}}{2}$

127.

$\frac{\sqrt{3} - 1}{2 \sqrt{2}}$

129.

a. $b = 5.7$ b. $sin A = \frac{4}{7}, cos A = \frac{5.7}{7}, tan A = \frac{4}{5.7}, csc A = \frac{7}{4}, sec A = \frac{7}{5.7}, cot A = \frac{5.7}{4}$

131.

a. $c = 151.7$ b. $sin A = 0.5623, cos A = 0.8273, tan A = 0.6797, csc A = 1.778, sec A = 1.209, cot A = 1.471$

133.

a. $c = 85$ b. $sin A = \frac{84}{85}, cos A = \frac{13}{85}, tan A = \frac{84}{13}, csc A = \frac{85}{84}, sec A = \frac{85}{13}, cot A = \frac{13}{84}$

135.

a. $y = \frac{24}{25}$ b. $sin θ = \frac{24}{25}, cos θ = \frac{7}{25}, tan θ = \frac{24}{7}, csc θ = \frac{25}{24}, sec θ = \frac{25}{7}, cot θ = \frac{7}{24}$

137.

a. $x = \frac{− \sqrt{2}}{3}$ b. $sin θ = \frac{\sqrt{7}}{3}, cos θ = \frac{− \sqrt{2}}{3}, tan θ = \frac{− \sqrt{14}}{2}, csc θ = \frac{3 \sqrt{7}}{7}, sec θ = \frac{−3 \sqrt{2}}{2}, cot θ = \frac{− \sqrt{14}}{7}$

139.

${sec}^{2} x$

141.

${sin}^{2} x$

143.

${sec}^{2} θ$

145.

$\frac{1}{sin t} (= csc t)$

155.

${\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}}$

157.

${\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}}$

159.

${\frac{2 π}{3}, \frac{5 π}{3}}$

161.

${0, π, \frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}}$

163.

$y = 4 sin (\frac{π}{4} x)$

165.

$y = cos (2 π x)$

167.

a. 1 b. $2 π$ c. $\frac{π}{4}$ einingar til hægri

169.

a. $\frac{1}{2}$ b. $8 π$ c. Engin fasahliðrun

171.

a. 3 b. $2$ c. $\frac{2}{π}$ einingar til vinstri

173.

Um það bil 42 tommur.

175.

a. 0.550 rad/s b. 0.236 rad/s c. 0.698 rad/mín d. 1.697 rad/mín

177.

$\approx 30.9 {tommur}^{2}$

179.

a. π/184; spennan endurtekur sig á π/184 sek. fresti b. Um það bil 59 lotur

181.

a. Útslag = $10; lota = 24$ b. $47.4 ° F$ c. 14 klukkustundum eftir miðnætti, eða kl. 14. d.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá 0 til 365 og er merktur „t, klukkustundir frá miðnætti“. y-ásinn nær frá 0 til 20 og er merktur „T, gráður á Fahrenheit-kvarða“. Grafið sýnir bogið bylgjufall sem hefst nálægt punktinum (0, 41.3) og fer lækkandi að punktinum (2, 40). Eftir þann punkt vex fallið að punktinum (14, 60). Eftir þann punkt fer fallið aftur lækkandi.

Æfingar úr undirkafla 1.4

183.

Ekki eintækt

185.

Ekki eintækt

187.

Eintækt

189.

a. $f^{−1} (x) = \sqrt{x + 4}$ b. Skilgreiningarmengi $: x \geq −4, myndmengi : y \geq 0$

191.

a. $f^{−1} (x) = \sqrt[3]{x - 1}$ b. Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: allar rauntölur

193.

a. $f^{−1} (x) = x^{2} + 1,$ b. Skilgreiningarmengi: $x \geq 0,$ myndmengi: $y \geq 1$

195.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -4 til 4 og y-ásinn nær frá -4 til 4. Grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er vaxandi línulegt fall merkt „f“. Skurðpunktur þess við x-ás er (-2, 0) og skurðpunktur þess við y-ás er (0, 1). Síðara fallið er vaxandi línulegt fall merkt „andhverfa f“. Skurðpunktur þess við x-ás er punkturinn (1, 0) og skurðpunktur þess við y-ás er punkturinn (0, -2).

197.

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá 0 til 8 og y-ásinn nær frá 0 til 8. Grafið sýnir tvö föll. Fyrra fallið er vaxandi línulegt fall merkt „f“. Fallið hefst í punktinum (0, 1) og vex eftir beinni línu að punktinum (4, 6). Eftir þann punkt heldur fallið áfram að vaxa, en hægar en áður, þegar það nálgast punktinn (8, 8). Fallið hefur engan skurðpunkt við x-ás og skurðpunktur þess við y-ás er (0, 1). Síðara fallið er vaxandi línulegt fall merkt „andhverfa f“. Fallið hefst í punktinum (1, 0) og vex eftir beinni línu að punktinum (6, 4). Eftir þann punkt heldur fallið áfram að vaxa, en hraðar en áður, þegar það nálgast punktinn (8, 8). Fallið hefur engan skurðpunkt við y-ás og skurðpunktur þess við x-ás er (1, 0).

199.

Þetta eru andhverf föll.

201.

Þetta eru ekki andhverf föll.

203.

Þetta eru andhverf föll.

205.

Þessi föll eru andhverf hvort annars.

207.

$\frac{π}{6}$

209.

$\frac{π}{4}$

211.

$\frac{π}{6}$

213.

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

215.

$- \frac{π}{6}$

217.

a. $x = f^{−1} (V) = \sqrt{0.04 - \frac{V}{500}}$ b. Andhverfa fallsins ákvarðar fjarlægðina frá miðju slagæðarinnar þar sem blóðið flæðir með hraðanum V. c. 0.1 cm; 0.14 cm; 0.17 cm

219.

a. $31,250, $66,667, $107,143 b. $(p = \frac{85 C}{C + 75})$ c. 34 milljarðshlutar

221.

a. $~ 92 °$ b. $~ 42 °$ c. $~ 27 °$

223.

$x \approx 6.69, 8.51;$ sem sagt, þetta hitastig mælist 21. júní og 15. ágúst

225.

$~ 1.5 sek.$

227.

${tan}^{−1} (tan (2.1)) \approx - 1.0416;$ stæðan er ekki jöfn 2.1 þar sem $2.1 > 1.57 = \frac{π}{2}$ —með öðrum orðum er það ekki í takmarkaða skilgreiningarmengi $tan x . {cos}^{−1} (cos (2.1)) = 2.1,$ þar sem 2.1 er í takmarkaða skilgreiningarmengi $cos x .$

Æfingar úr undirkafla 1.5

229.

a. 125 b. 2.24 c. 9.74

231.

a. 0.01 b. 10,000 c. 46.42

233.

235.

237.

239.

Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: $(2, \infty), y = 2$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi, sveigðan feril sem hefst rétt ofan við línuna „y = 2“ og tekur síðan að vaxa hratt. Grafið sker ekki x-ásinn en sker y-ásinn í punktinum (0, 3).

241.

Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: $(0, \infty), y = 0$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi, sveigðan feril sem hefst rétt ofan við x-ásinn og tekur síðan að vaxa hratt. Grafið sker ekki x-ásinn en sker y-ásinn í punktinum (0, 3). Annar punktur á grafinu er (-1, 1).

243.

Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: $(− \infty, 1), y = 1$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi, sveigðan feril sem vex þar til hann nálgast línuna „y = 1“ án þess að snerta hana. Grafið sker bæði x-ásinn og y-ásinn í upphafspunktinum. Annar punktur á grafinu er (-1, -1).

245.

Skilgreiningarmengi: allar rauntölur, myndmengi: $(−1, \infty), y = −1$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir minnkandi, sveigðan feril sem minnkar þar til hann nálgast línuna „y = -1“ án þess að snerta hana. Grafið sker bæði x-ásinn og y-ásinn í upphafspunktinum. Punktur á grafinu er um það bil (-1, 1.7).

247.

$8^{1 / 3} = 2$

249.

$5^{2} = 25$

251.

$e^{−3} = \frac{1}{e^{3}}$

253.

$e^{0} = 1$

255.

${log}_{4} (\frac{1}{16}) = −2$

257.

${log}_{9} 1 = 0$

259.

${log}_{64} 4 = \frac{1}{3}$

261.

${log}_{9} 150 = y$

263.

${log}_{4} 0.125 = - \frac{3}{2}$

265.

Skilgreiningarmengi: $(1, \infty),$ myndmengi: $(− \infty, \infty), x = 1$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi, sveigðan feril sem hefst rétt hægra megin við lóðréttu línuna „x = 1“. Grafið sker ekki y-ásinn en sker x-ásinn um það bil í punktinum (2, 0).

267.

Skilgreiningarmengi: $(0, \infty),$ myndmengi: $(− \infty, \infty), x = 0$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -1 til 9 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir minnkandi, sveigðan feril sem hefst rétt hægra megin við y-ásinn. Grafið sker ekki y-ásinn en sker x-ásinn í punktinum (e, 0).

269.

Skilgreiningarmengi: $(−1, \infty),$ myndmengi: $(− \infty, \infty), x = −1$

Mynd af grafi. x-ásinn nær frá -5 til 5 og y-ásinn nær frá -5 til 5. Grafið sýnir vaxandi, sveigt fall sem hefst örlítið hægra megin við lóðréttu línuna „x = -1“. Skurðpunktar við y-ás og x-ás eru báðir í upphafspunktinum.

271.

$2 + 3 {log}_{3} a - {log}_{3} b$

273.

$\frac{3}{2} + \frac{1}{2} {log}_{5} x + \frac{3}{2} {log}_{5} y$

275.

$- \frac{3}{2} + ln 6$

277.

$\frac{ln 15}{3}$

279.

$\frac{3}{2}$

281.

$log 7.21$

283.

$\frac{2}{3} + \frac{log 11}{3 log 7}$

285.

$x = \frac{1}{25}$

287.

$x = 4$

289.

$x = 3$

291.

$1 + \sqrt{5}$

293.

$(\frac{log 82}{log 7} \approx 2.2646)$

295.

$(\frac{log 211}{log 0.5} \approx - 7.7211)$

297.

$(\frac{log 0.452}{log 0.2} \approx 0.4934)$

299.

$~ 17, 491$

301.

Um það bil $131,653 safnast upp á 5 árum.

303.

i. a. pH = 8 b. Basi ii. a. pH = 3 b. Sýra iii. a. pH = 4 b. Sýra

305.

a. $~ 333$ milljónir b. 94 árum eftir 2013, eða árið 2107

307.

a. $k \approx 0.0578$ b. $\approx 92$ klukkustundir

309.

Jarðskjálftinn í San Francisco var $10^{3.4} eða \approx 2512$ sinnum öflugri en jarðskjálftinn í Japan.

Yfirlitsæfingar

311.

Ósatt

313.

Ósatt

315.

Skilgreiningarmengi: $x > 5,$ myndmengi: allar rauntölur

317.

Skilgreiningarmengi: $x > 2$ og $x < - 4,$ myndmengi: allar rauntölur

319.

Stig 3, $y$ -skurðpunktur: 0, núllstöðvar: 0, $\sqrt{3} - 1, −1 - \sqrt{3}$

321.

$\begin{array}{l} \cos^{2} x - \sin^{2} x = \cos 2 x \\ = 1 - 2 \sin^{2} x \\ = 2 \cos^{2} x - 1 \end{array}$

323.

$0, \pm 2 π$

325.

327.

Eintækt; já, fallið á sér andhverfu; andhverfa: $f^{−1} (x) = \frac{1}{y}$

329.

$x \geq - \frac{3}{2}, f^{−1} (x) = - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{4 y - 7}$

331.

a. $C (x) = 300 + 7 x$ b. 100 skyrtur

333.

Íbúafjöldinn er undir 20,000 frá 8. desember til 23. janúar og yfir 140,000 frá 29. maí til 2. ágúst

335.

78.51%