Kafli 4

$\frac{1}{72\pi }\text{cm/sek.},$ eða um það bil 0.0044 cm/sek.

$500\text{fet/sek.}$

$\frac{1}{10}\text{rad/sek}$

$\mathrm{-0.61}\text{fet/sek.}$

$L\left(x\right)=2+\frac{1}{12}\left(x-8\right);$ 2.00833

$L(x)=\text{−}x+\frac{\pi }{2}$

$L(x)=1+4x$

$dy=2x{e}^{x^2}dx$

$dy=1.6,$ $\text{Δ}y=1.64$

Skekkja rúmmálsmælingarinnar er innan $21.6{\text{cm}}^3.$

$x=-\frac{2}{3},$ $x=1$

Algilda hágildið er $3$ og það er tekið í $x=4.$ Algilda lággildið er $\mathrm{-1}$ og það er tekið í $x=2.$

$c=2$

$\frac{5}{2\sqrt{2}}$ sek.

$f$ hefur staðbundið lággildi í $\mathrm{-2}$ og staðbundið hágildi í $3.$

$f$ hefur engin staðbundin útgildi vegna þess að $f^{\prime }$ skiptir ekki um formerki í $x=1.$

$f$ er kúpt á bilinu $\left(\text{−}\infty ,\frac{1}{2}\right)$ og hvelft á bilinu $\left(\frac{1}{2},\infty \right)$

$f$ hefur staðbundið hágildi í $\mathrm{-2}$ og staðbundið lággildi í $3.$

Bæði markgildin eru $3.$ Línan $y=3$ er lárétt aðfella.

Látum $\epsilon >0.$ Látum $N=\frac{1}{\sqrt{\epsilon }}.$ Því gildir fyrir öll $x>N,$ að

$\left|3-\frac{1}{x^2}-3\right|=\frac{1}{x^2}<\frac{1}{N^2}=\epsilon$

Þess vegna $\underset{x\to \infty }{\text{lim}}\left(3-1\text{/}{x}^2\right)=3.$

Látum $M>0.$ Látum $N=\sqrt{\frac{M}{3}}.$ Þá gildir fyrir öll $x>N,$ að

$3x^2>3N^2=3{\left(\sqrt{\frac{M}{3}}\right)}^2{}^2=\frac{3M}{3}=M$

$\text{−}\infty$

$\frac{3}{5}$

$\text{±}\sqrt{3}$

$\underset{x\to \infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\frac{3}{5},$ $\underset{x\to \text{−}\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\mathrm{-2}$

$y=\frac{3}{2}x$

Fallið $f$ hefur broddpunkt við $\left(0,5\right)$ $\underset{x\to 0^{-}}{\text{lim}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\infty ,$ $\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}{f}^{\prime }\left(x\right)=\text{−}\infty .$ Fyrir endhegðun, $\underset{x\to \text{±}\infty }{\text{lim}}f\left(x\right)=\text{−}\infty .$

Hámarksflatarmálið er $5000{\text{fet}}^2.$

$V\left(x\right)=x\left(20-2x\right)\left(30-2x\right).$ Formengið er $\left[0,10\right].$

$T\left(x\right)=\frac{x}{6}+\frac{\sqrt{{\left(15-x\right)}^2+1}}{2.5}$

Fyrirtækið ætti að innheimta $\text{\$}75$ á hvern bíl á dag.

$A\left(x\right)=4x\sqrt{1-x^2}.$ Skilgreiningarmengið sem er til skoðunar er $\left[0,1\right].$

$c\left(x\right)=\frac{259.2}{x}+0.2x^2$ dollarar

$1$

$0$

$\underset{x\to 0^{+}}{\text{lim}}\text{cos}x=1.$ Því getum við ekki beitt reglu L’Hôpitals. Markgildi kvótans er $\infty$

$1$

$0$

$e$

$1$

Fallið $2^x$ vex hraðar en $x^{100}.$

$x_1\approx 0.33333333,x_2\approx 0.347222222$

$x_1=2,x_2=1.75$

$x_1\approx -1.842105263,x_2\approx -1.772826920$

$x_1=6,x_2=8,x_3=\frac{26}{3},x_4=\frac{80}{9},x_5=\frac{242}{27};x*=9$

$\text{−}\text{cos}x+C$

$\frac{d}{dx}\left(x\text{sin}x+\text{cos}x+C\right)=\text{sin}x+x\text{cos}x-\text{sin}x=x\text{cos}x$

$x^4-\frac{5}{3}{x}^3+\frac{1}{2}{x}^2-7x+C$

$y=-\frac{3}{x}+5$

$2.93\text{sek.},64.5\text{fet}$

$8$

$\pm \frac{13}{\sqrt{10}}$

$2\sqrt{3}$ fet/sek.

Fjarlægðin minnkar um $390\text{mílur/klst}.$

Fjarlægðin á milli þeirra minnkar með hraðanum $\frac{1320}{13}\approx 101.5\text{mílur/klst}.$

$\frac{9}{2}$ fet/sek.

Það vex með hraðanum $\frac{4}{9}$ fet/sek.

Vegalengdin eykst um $\frac{\left(135\sqrt{26}\right)}{26}$ fet/sek.

$-\frac{5}{6}$ m/sek.

$240\pi$ m²/sek.

$\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm

Flatarmálið eykst með hraðanum $\frac{\left(3\sqrt{3}\right)}{8}{\text{fet}}^2\text{/sek.}$

Dýpi vatnsins minnkar um $\frac{128}{125\pi }$ fet/mín.

Rúmmálið minnkar með hraðanum $\frac{\left(25\pi \right)}{16}{\text{fet}}^3\text{/mín.}.$

Vatnið flæðir út með hraðanum $\frac{\left(2\pi \right)}{5}{\text{m}}^3\text{/min.}$

$\frac{3}{2}$ m/sek.

$\frac{25}{19\pi }$ fet/mín.

$\frac{2}{45\pi }$ fet/mín.

Hornið minnkar með hraðanum $\frac{400}{1681}\text{rad/sek}.$

$100\pi \text{mílur/mín.}$

Hornið breytist með hraðanum $\frac{11}{25}\text{rad/sek}.$

Fjarlægðin eykst með hraðanum $62.50$ fet/sek.

Fjarlægðin minnkar um $11.99$ fet/sek.

$f^{\prime }\left(a\right)=0$

Línulega nálgunin er nákvæm þegar $y=f(x)$ er línuleg eða föst.

$L(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}(x-2)$

$L(x)=1$

$L(x)=0$

$1.9996875$

$0.001593$

$1;$ skekkja, $\mathrm{~0.00005}$

$0.97;$ skekkja, $\mathrm{~0.0006}$

$3-\frac{1}{600};$ skekkja, $\mathrm{~4.632}\times {10}^{\mathrm{-7}}$

$dy=\left(\text{cos}x-x\text{sin}x\right)dx$

$dy=\left(\frac{x^2-2x-2}{{(x-1)}^2}\right)dx$

$dy=-\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}dx,$ $-\frac{1}{16}$

$dy=\frac{9x^2+12x-2}{2{\left(x+1\right)}^{3\text{/}2}}dx,$ $\mathrm{-0.1}$

$dy=\left(3x^2+2-\frac{1}{x^2}\right)dx,$ $0.2$

$12xdx$

$4\pi r^{2}dr$

$\mathrm{-1.2}\pi {\text{cm}}^3$

$\mathrm{-100}$ fet³

Þar sem algilda hágildið er fallgildið (úttaksgildið) en ekki x-gildið er svarið nei; svör geta verið mismunandi

Þegar $a=0$

$x=1$

$x=0\text{;}x=\pm 2$

$x=\mathrm{-1},1$

Algilt hágildi: $x=4,$ $y=\frac{33}{2};$ algilt lággildi: $x=1,$ $y=3$

Algilt lággildi: $x=\frac{1}{2},$ $y=4$

Algilt hágildi: $x=2\pi ,$ $y=2\pi ;$ algilt lággildi: $x=0,$ $y=0$

Algilt hágildi: $x=\mathrm{-3}$ og $y=6;;$ algilt lággildi: $\mathrm{-1}\le x\le 1,$ $y=2$

Algilt hágildi: $x=\frac{\pi }{4},$ $y=\sqrt{2};$ algilt lággildi: $x=\frac{5\pi }{4},$ $y=\text{−}\sqrt{2}$

Algilt lággildi: $x=\mathrm{-2},$ $y=1$

Algilt lággildi: $x=\mathrm{-3},$ $y=\mathrm{-135};$ staðbundið hágildi: $x=0,$ $y=0;$ staðbundið lággildi: $x=1,$ $y=\mathrm{-7}$

Staðbundið hágildi: $x=1-2\sqrt{2},$ $y=3-4\sqrt{2};$ staðbundið lággildi: $x=1+2\sqrt{2},$ $y=3+4\sqrt{2}$

Algilt hágildi: $x=\frac{\sqrt{2}}{2},$ $y=\frac{3}{2};$ algilt lággildi: $x=-\frac{\sqrt{2}}{2},$ $y=-\frac{3}{2}$

Staðbundið hágildi: $x=\mathrm{-2},$ $y=59;$ staðbundið lággildi: $x=1,$ $y=\mathrm{-130}$

Algilt hágildi: $x=0,$ $y=1;$ algilt lággildi: $x=\mathrm{-2},2,$ $y=0$

$h=\frac{9245}{49}\text{m,}$ $t=\frac{300}{49}\text{s}$

Algild lágmörk: $x=0,$ $x=2,$ $y=1;$ staðbundið hágildi í $x=1,$ $y=2$

Engin hágildi/lággildi ef $a$ er oddatala, lággildi við $x=1$ ef $a$ er slétt tala

Eitt dæmi er $f(x)=\left|x\right|+3,\mathrm{-2}\le x\le 2$

Sérhvert lokað bil í $\left(\text{−}\infty ,0\right) \text{eða} \left(0,\infty \right)$

Sérhvert lokað bil í $\left(\text{−}\infty ,\mathrm{-2}\right) \text{eða} \left(2,\infty \right)$

$c=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$c=\frac{1}{2},1,\frac{3}{2}$

$c=1$

Meðalgildissetningin á ekki við þar sem fallið er ósamfellt í $x=\frac{1}{4},\frac{3}{4},\frac{5}{4},\frac{7}{4}.$

Meðalgildissetningin á ekki við; ósamfellt við $x=0.$

Meðalgildissetningin á ekki við; ekki diffranlegt í $x=0.$

$b=\text{±}2\sqrt{c}$

$c=\text{±}\frac{1}{\pi }{\text{cos}}^{\mathrm{-1}}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}\right),$ $c=\text{±}0.1533$

$\frac{1}{2\sqrt{c+1}}-\frac{2}{c^3}=\frac{521}{2880};$ $c=3.133,5.867$

Látum $s_1\left(t\right)$ tákna fjarlægð bíls 1 frá umferðarljósum 1 á tíma $t$. Látum $s_2\left(t\right)$ tákna fjarlægð bíls 2 frá umferðarljósum 1 á tíma $t$. Þá gildir $s_1\left(0\right)=0=s_2\left(0\right)$. Látum $t=m$ tákna tímann þegar bílarnir koma að umferðarljósum 2. Þá gildir $s_1\left(m\right)=d=s_2\left(m\right)$ þar sem $d$ er fjarlægðin milli umferðarljósanna.

Skilgreinum nýtt fall $f\left(t\right)=s_1\left(t\right)-s_2\left(t\right)$. Þá gildir $f\left(0\right)=0=f\left(m\right)$. Samkvæmt meðalgildissetningunni er til tímapunktur $0<c<m$ þannig að

Það er ekki staðbundið hágildi/lággildi vegna þess að $f^{\prime }$ skiptir ekki um formerki

Ósatt; til dæmis $y=\sqrt{x}.$

Vaxandi fyrir $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1}$ og $x>2;$ minnkandi fyrir $x<\mathrm{-2}$ og $\mathrm{-1}<x<2$

Minnkandi fyrir $x<1,$ vaxandi fyrir $x>1$

Minnkandi fyrir $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1}$ og $1<x<2;$ vaxandi fyrir $\mathrm{-1}<x<1$ og $x<\mathrm{-2}$ og $x>2$

a. Vaxandi á $\mathrm{-2}<x<\mathrm{-1},0<x<1,x>2,$ minnkandi á $x<\mathrm{-2},$ $\mathrm{-1}<x<0,1<x<2;$ b. hágildi í $x=\mathrm{-1}$ og $x=1,$ lággildi í $x=\mathrm{-2}$ og $x=0$ og $x=2$

a. Vaxandi á $x>0,$ minnkandi á $x<0;$ b. Lággildi í $x=0$

Kúpt fyrir öll $x,$ engir beygjuskilapunktar

Kúpt fyrir öll $x,$ engir beygjuskilapunktar

Kúpt á bilinu $x<0$ og $x>1,$ hvelft á bilinu $0<x<1,$ beygjuskilapunktar við $x=0$ og $x=1$

a. Vaxandi á $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ minnkandi á $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ b. Staðbundið hágildi við $x=\frac{\pi }{2};$ staðbundið lággildi við $x=-\frac{\pi }{2}$

a. Kúpt fyrir $x>\frac{4}{3},$ hvelft fyrir $x<\frac{4}{3}$ b. Beygjuskilapunktur við $x=\frac{4}{3}$

a. Vaxandi á $x<0$ og $x>4,$ minnkandi á $0<x<4$ b. Hágildi í $x=0,$ lággildi í $x=4$ c. Kúpt fyrir $x>2,$ hvelft fyrir $x<2$ d. Beygjuskilapunktur í $x=2$

a. Vaxandi á $x<0$ og $x>\frac{60}{11},$ minnkandi á $0<x<\frac{60}{11}$ b. Lággildi við $x=\frac{60}{11}$, staðbundið hágildi við x = 0 c. Hvelft á $x<\frac{54}{11},$ kúpt á $x>\frac{54}{11}$ d. Beygjuskilapunktur við $x=\frac{54}{11}$

a. Vaxandi á $x>-\frac{1}{2},$ minnkandi á $x<-\frac{1}{2}$ b. Lággildi við $x=-\frac{1}{2}$ c. Kúpt fyrir öll $x$ d. Engir beygjuskilapunktar

a. Vex á $-\frac{1}{4}<x<\frac{3}{4},$ minnkar á $x>\frac{3}{4}$ og $x<-\frac{1}{4}$ b. Lággildi við $x=-\frac{1}{4},$ hágildi við $x=\frac{3}{4}$ c. Kúpt á $-\frac{3}{4}<x<\frac{1}{4},$ hvelft á $x<-\frac{3}{4}$ og $x>\frac{1}{4}$ d. Beygjuskilapunktur við $x=-\frac{3}{4},x=\frac{1}{4}$

a. Vaxandi fyrir öll $x$ b. Ekkert staðbundið lággildi eða hágildi c. Kúpt fyrir $x>0,$ hvelft fyrir $x<0$ d. Beygjuskilapunktur við $x=0$

a. Vaxandi fyrir öll $x$ þar sem fallið er skilgreint b. Engin staðbundin lágmörk eða hámörk c. Kúpt fyrir $x<1;$ hvelft fyrir $x>1$ d. Engir beygjuskilapunktar á skilgreiningarmenginu

a. Vaxandi á $-\frac{\pi }{4}<x<\frac{3\pi }{4},$ minnkandi á $x>\frac{3\pi }{4},x<-\frac{\pi }{4}$ b. Lággildi við $x=-\frac{\pi }{4},$ hágildi við $x=\frac{3\pi }{4}$ c. Kúpt á $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2},$ hvelft á $x<-\frac{\pi }{2},x>\frac{\pi }{2}$ d. Beygjuskilapunktur við $x=\text{±}\frac{\pi }{2}$

a. Vaxandi á $x>4,$ minnkandi á $0<x<4$ b. Lággildi í $x=4$ c. Kúpt á $0<x<8\sqrt[3]{2},$ hvelft á $x>8\sqrt[3]{2}$ d. Beygjuskilapunktur í $x=8\sqrt[3]{2}$

$f>0,f^{\prime }>0,f^{″}<0$

$f>0,f^{\prime }<0,f^{″}>0$

$f>0,f^{\prime }>0,f^{″}>0$

$x=1$

$x=\mathrm{-1},x=2$

$x=0$

$0$

$\infty$

$-\frac{1}{7}$

$\mathrm{-2}$

$\mathrm{-4}$

Láréttar aðfellur: engar, lóðfellur: $x=0$

Láréttar aðfellur: engar, lóðfellur: $x=\text{±}2$

Lárétt aðfella: $y=0,$ lóðfellur: $x=\text{±}1$

Lárétt aðfella: $y=0,$ lóðfellur: $x=0$ og $x=\mathrm{-1}$

Lárétt aðfella: $y=1,$ lóðfellur: $x=1$

Svör geta verið mismunandi, til dæmis: $y=\frac{2x}{x-1}$

Svör geta verið mismunandi, til dæmis: $y=\frac{4x}{x+1}$

$y=0$

$\infty$

$y=3$

$P\left(0\right)\ne 0 \mathrm{og} Q\left(0\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}f\left(x\right)=\mathrm{-\infty }\text{og}\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}g\left(x\right)=\infty$

Ósatt; $y=x^2$ hefur aðeins lággildi

$h=\frac{62}{3}$ tom.

$1$

$100\text{fet ×}100\text{fet}$

$40\text{fet ×}40\text{fet}$

$19.73\text{fet}.$

$84\text{slög/mín.}$

$T\left(\theta \right)=\frac{40\theta }{3v}+\frac{40\text{cos}\theta }{v}$

$v=\sqrt{\frac{b}{a}}$

um það bil $34\text{mílur/klst}$

$4$

$0$

Hágildi: $x=5,y=5;$ lággildi: $x=0,y=10$ og $y=0,x=10$

Hágildi: $x=1,y=9;$ lággildi: ekkert

$\frac{4\pi }{3\sqrt{3}}$

$6$

$r=2,h=4$

$\left(2,1\right)$

$\left(0.8351,0.6974\right)$

$\begin{array}{rcl}A& =& 20\left(\frac{20}{\mathrm{\pi }+4}\right)-2{\left(\frac{20}{\mathrm{\pi }+4}\right)}^2-\frac{1}{2}\mathrm{\pi }{\left(\frac{20}{\mathrm{\pi }+4}\right)}^2\end{array}$

$C\left(x\right)=5x^2+\frac{32}{x}$

$P\left(x\right)=\left(50-x\right)\left(800+25x-50\right)$

$\infty$

$\frac{1}{2a}$

$\frac{1}{n{a}^{n-1}}$

Ekki er hægt að beita þessu beint; umritið sem $\underset{x\to 0}{\text{lim}}{x}^3$

$6$

$\mathrm{-2}$

$\mathrm{-1}$

$n$

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

$1$

$\frac{1}{6}$

$1$

$0$

$0$

$\mathrm{-1}$

$\infty$

$0$

$\frac{1}{e}$

$0$

$1$

$0$

$\text{tan}\left(1\right)$

$2$

$F\left(x_n\right)=x_n-\frac{x_n{}^3+2x_n+1}{3x_n{}^2+2}$

$F\left(x_n\right)=x_n-\frac{e^{x_n}}{e^{x_n}}$

$\left|c\right|>0.5$ bregst, $\left|c\right|\le 0.5$ virkar

$c=\frac{1}{f^{\prime }\left(x_n\right)}$

a. $x_1=\frac{12}{25},x_2=\frac{312}{625};$ b. $x_1=\mathrm{-4},x_2=\mathrm{-40}$

a. $x_1=1.291,x_2=0.8801;$ b. $x_1=0.7071,x_2=1.189$

a. $x_1=-\frac{26}{25},x_2=-\frac{1224}{625};$ b. $x_1=4,x_2=18$

a. $x_1=\frac{6}{10},x_2=\frac{6}{10};$ b. $x_1=2,x_2=2$

$3.1623\text{eða}-3.1623$

$0,\mathrm{-1}\text{eða}1$

$0$

$0.5188\text{eða}-1.2906$

$0$

$4.493$

$0.159,3.146$

Við þurfum að $f$ sé tvisvar samfellt deildanlegt.

$x=0$

$x=\mathrm{-1}$

$x=5.619$

$x=\mathrm{-1.326}$

$0$

$\mathrm{-0.3513}$

Aðferð Newtons: $11$ ítranir, sniðilsaðferð: $16$ ítranir

$E=4.071$

$4.394\text{\%}$

$F^{\prime }\left(x\right)=15x^2+4x+3$

$F^{\prime }\left(x\right)=2x{e}^x+x^2{e}^x$

$F^{\prime }\left(x\right)=e^x$

$F\left(x\right)=e^x-x^3-\text{cos}\left(x\right)+C$

$F\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-x-2\text{cos}\left(2x\right)+C$

$F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+4x^3+C$

$F\left(x\right)=\frac{2}{5}{\left(\sqrt{x}\right)}^5+C$

$F\left(x\right)=\frac{3}{2}{x}^{2\text{/}3}+C$

$F\left(x\right)=x+\text{tan}\left(x\right)+C$

$F\left(x\right)=\frac{1}{3}{\text{sin}}^3\left(x\right)+C$

$F\left(x\right)=-\frac{1}{2}\text{cot}\left(x\right)-\frac{1}{x}+C$

$F\left(x\right)=\text{−}\text{sec}x-4\text{csc}x+C$

$F\left(x\right)=-\frac{1}{8}{e}^{\mathrm{-4}x}-\text{cos}x+C$

$\text{−}\text{cos}x+C$

$3x-\frac{2}{x}+C$

$\frac{8}{3}{x}^{3\text{/}2}+\frac{4}{5}{x}^{5\text{/}4}+C$

$14x-\frac{2}{x}-\frac{1}{2x^2}+C$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{2x^2}+\frac{3}{2}$

$f\left(x\right)=\text{sin}x+\text{tan}x+1$

$f\left(x\right)=-\frac{1}{6}{x}^3-\frac{2}{x}+\frac{13}{6}$

Svör geta verið mismunandi; eitt mögulegt svar er $f\left(x\right)=e^{\text{−}x}$

Svör geta verið mismunandi; eitt mögulegt svar er $f\left(x\right)=\text{−}\text{sin}x$

$5.867$ sek.

$7.333$ sek.

$13.75$ fet/sek.²

$F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+2x$

$F\left(x\right)=x^2-\text{cos}x+1$

$F\left(x\right)=-\frac{1}{\left(x+1\right)}+1$

Vaxandi: $\left(\mathrm{-2},0\right)\cup \left(4,\infty \right),$ minnkandi: $\left(\text{−}\infty ,\mathrm{-2}\right)\cup \left(0,4\right)$

$L\left(x\right)=\frac{17}{16}+\frac{1}{2}\left(1+4\pi \right)\left(x-\frac{1}{4}\right)$

Stöðupunktur: $x=\frac{3\pi }{4},$ algilt lággildi: $x=0,$ algilt hágildi: $x=\pi$

Vaxandi: $\left(\mathrm{-1},0\right)\cup \left(3,\infty \right),$ minnkandi: $\left(\text{−}\infty ,\mathrm{-1}\right)\cup \left(0,3\right),$ kúpt: $\left(\text{−}\infty ,\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right)\right)\cup \left(\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right),\infty \right),$ hvelft: $\left(\frac{1}{3}\left(2-\sqrt{13}\right),\frac{1}{3}\left(2+\sqrt{13}\right)\right)$

Vaxandi: $\left(\frac{1}{4},\infty \right),$ minnkandi: $\left(0,\frac{1}{4}\right),$ kúpt: $\left(0,\infty \right),$ hvelft: hvergi

$3$