88.8 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 3

8.8.3 Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

8.8.3 • Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Verkefni

Í spurningum 1-2 inniheldur hver röð í töflunni par af jafngildum stæðum.

Umbreyttu stæðunni á þáttuðu formi yfir á staðalform. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd.

Lausn

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)
(2x + 1)(2x − 1)
(4 − x)(4 + x)
(c + 2/5)(c − 2/5)
(x + 5)(x + 5)

Svör til samanburðar:

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)	x² − 100
(2x + 1)(2x − 1)	4x² − 1
(4 − x)(4 + x)	16 − x²
(c + 2/5)(c − 2/5)	c² − 4/25
(x + 5)(x + 5)	x² + 10x + 25

Umbreyttu stæðunni á staðalformi yfir á þáttað form. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd. Vísbending: ein stæðan er ekki þættanleg sem mismunur ferninga.

Lausn

Þáttað form	Staðalform
	x² − 81
	49 − y²
	9z² − 16
	25t² − 81
	49/16 − d²
	x² − 6
	x² + 100

Svör til samanburðar:

Þáttað form	Staðalform
(x − 9)(x + 9)	x² − 81
(7 − y)(7 + y)	49 − y²
(3z + 4)(3z − 4)	9z² − 16
(5t + 9)(5t − 9)	25t² − 81
(7/4 − d)(7/4 + d)	49/16 − d²
(x − √6)(x + √6)	x² − 6
óþáttanleg sem mismunur ferninga	x² + 100

Fyrir röðina með x² − 6 þarf rótina af 6:

x^{2} - 6 = (x - \sqrt{6}) (x + \sqrt{6})

Ítarefni

Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Við getum notað það sem við lærðum í síðustu kennslustund til að rita annars stigs stæður á sérstöku formi á þáttað form. Sérstaklega getum við umritað

x^{2} - c^{2} = (x + c) (x - c)

Lítum á dæmi.

Dæmi 1

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi.

v^{2} - 36

Formið sem við leitum að er

(v - □) (v + □)

Þar sem kvaðratrótin af v² er v og kvaðratrótin af 36 er 6, er þáttaða formið

(v - 6) (v + 6)

Við getum margfaldað til að yfirfara vinnuna:

(v - 6) (v + 6) = v^{2} + 6 v - 6 v - 36 = v^{2} - 36 ✓

Ferlið er svipað þegar stuðull er við annars stigs liðinn.

a^{2} x^{2} - c^{2} = (a x + c) (a x - c)

Dæmi 2

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi.

16 m^{2} - 81

Formið sem við leitum að er

(□ - □) (□ + □)

Kvaðratrótin af fyrsta liðnum er 4m. Kvaðratrótin af 81 er 9. Því er þáttaða formið

(4 m - 9) (4 m + 9)

Aftur getum við margfaldað til að yfirfara:

(4 m - 9) (4 m + 9) = 16 m^{2} + 36 m - 36 m - 81 = 16 m^{2} - 81 ✓

Dæmi 3

Eins og sést í verkefninu skiptir staðsetning breytunnar ekki máli svo lengi sem annars stigs tvíliðan er mismunur ferninga. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi.

64 - 9 b^{2}

Við notum sama hugtak til að finna þáttaða formið:

64 - 9 b^{2} = (8 - 3 b) (8 + 3 b)

Við getum margfaldað til að yfirfara:

(8 - 3 b) (8 + 3 b) = 64 + 24 b - 24 b - 9 b^{2} = 64 - 9 b^{2} ✓

Mundu að stæður af eftirfarandi gerðum hafa ekki þáttað form sem mismunur ferninga:

x^{2} + c

Hér er c ekki í öðru veldi og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum.

a x^{2} + c

Hér er hvorki a né c endilega ferningstala og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum.

88.8 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 3

8.8.3 Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

8.8.3 • Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Verkefni

Í spurningum 1-2 inniheldur hver röð í töflunni par af jafngildum stæðum.

Umbreyttu stæðunni á þáttuðu formi yfir á staðalform. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd.

Lausn

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)
(2x + 1)(2x − 1)
(4 − x)(4 + x)
(c + 2/5)(c − 2/5)
(x + 5)(x + 5)

Svör til samanburðar:

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)	x² − 100
(2x + 1)(2x − 1)	4x² − 1
(4 − x)(4 + x)	16 − x²
(c + 2/5)(c − 2/5)	c² − 4/25
(x + 5)(x + 5)	x² + 10x + 25

Umbreyttu stæðunni á staðalformi yfir á þáttað form. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd. Vísbending: ein stæðan er ekki þættanleg sem mismunur ferninga.

Lausn

Þáttað form	Staðalform
	x² − 81
	49 − y²
	9z² − 16
	25t² − 81
	49/16 − d²
	x² − 6
	x² + 100

Svör til samanburðar:

Þáttað form	Staðalform
(x − 9)(x + 9)	x² − 81
(7 − y)(7 + y)	49 − y²
(3z + 4)(3z − 4)	9z² − 16
(5t + 9)(5t − 9)	25t² − 81
(7/4 − d)(7/4 + d)	49/16 − d²
(x − √6)(x + √6)	x² − 6
óþáttanleg sem mismunur ferninga	x² + 100

Fyrir röðina með x² − 6 þarf rótina af 6:

x^{2} - 6 = (x - \sqrt{6}) (x + \sqrt{6})

Ítarefni

Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Við getum notað það sem við lærðum í síðustu kennslustund til að rita annars stigs stæður á sérstöku formi á þáttað form. Sérstaklega getum við umritað

x^{2} - c^{2} = (x + c) (x - c)

Lítum á dæmi.

Dæmi 1

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi.

v^{2} - 36

Formið sem við leitum að er

(v - □) (v + □)

Þar sem kvaðratrótin af v² er v og kvaðratrótin af 36 er 6, er þáttaða formið

(v - 6) (v + 6)

Við getum margfaldað til að yfirfara vinnuna:

(v - 6) (v + 6) = v^{2} + 6 v - 6 v - 36 = v^{2} - 36 ✓

Ferlið er svipað þegar stuðull er við annars stigs liðinn.

a^{2} x^{2} - c^{2} = (a x + c) (a x - c)

Dæmi 2

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi.

16 m^{2} - 81

Formið sem við leitum að er

(□ - □) (□ + □)

Kvaðratrótin af fyrsta liðnum er 4m. Kvaðratrótin af 81 er 9. Því er þáttaða formið

(4 m - 9) (4 m + 9)

Aftur getum við margfaldað til að yfirfara:

(4 m - 9) (4 m + 9) = 16 m^{2} + 36 m - 36 m - 81 = 16 m^{2} - 81 ✓

Dæmi 3

Eins og sést í verkefninu skiptir staðsetning breytunnar ekki máli svo lengi sem annars stigs tvíliðan er mismunur ferninga. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi.

64 - 9 b^{2}

Við notum sama hugtak til að finna þáttaða formið:

64 - 9 b^{2} = (8 - 3 b) (8 + 3 b)

Við getum margfaldað til að yfirfara:

(8 - 3 b) (8 + 3 b) = 64 + 24 b - 24 b - 9 b^{2} = 64 - 9 b^{2} ✓

Mundu að stæður af eftirfarandi gerðum hafa ekki þáttað form sem mismunur ferninga:

x^{2} + c

Hér er c ekki í öðru veldi og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum.

a x^{2} + c

Hér er hvorki a né c endilega ferningstala og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum.