88.8 Endurrita annars stigs stæður á þáttað form, hluti 3

8.8.3 Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

8.8.3 • Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Verkefni

Í spurningum 1-2 inniheldur hver röð í töflunni par af jafngildum stæðum.

1. Umbreyttu stæðunni á þáttuðu formi yfir á staðalform. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd.
Þáttað form Staðalform
(x − 10)(x + 10)
(2x + 1)(2x − 1)
(4 − x)(4 + x)
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ )
(x + 5)(x + 5)
Lausn
Svör til samanburðar:
Þáttað form Staðalform
(x − 10)(x + 10) x² − 100
(2x + 1)(2x − 1) 4x² − 1
(4 − x)(4 + x) 16 − x²
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ ) c² − $\frac{4}{25}$
(x + 5)(x + 5) x² + 10x + 25

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)
(2x + 1)(2x − 1)
(4 − x)(4 + x)
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ )
(x + 5)(x + 5)

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)	x² − 100
(2x + 1)(2x − 1)	4x² − 1
(4 − x)(4 + x)	16 − x²
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ )	c² − $\frac{4}{25}$
(x + 5)(x + 5)	x² + 10x + 25

2. Umbreyttu stæðunni á staðalformi yfir á þáttað form. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd. Vísbending: ein stæðan er ekki þættanleg sem mismunur ferninga.

Þáttað form	Staðalform
	x² − 81
	49 − y²
	9z² − 16
	25t² − 81
	$\frac{49}{16}$ − d²
	x² − 6
	x² + 100

Lausn

Svör til samanburðar:

Þáttað form	Staðalform
(x − 9)(x + 9)	x² − 81
(7 − y)(7 + y)	49 − y²
(3z + 4)(3z − 4)	9z² − 16
(5t + 9)(5t − 9)	25t² − 81
( $\frac{7}{4}$ − d)( $\frac{7}{4}$ + d)	$\frac{49}{16}$ − d²
(x − √6)(x + √6)	x² − 6
óþáttanleg sem mismunur ferninga	x² + 100

Fyrir röðina með x² − 6 þarf rótina af 6: $x^{2} - 6 = (x - \sqrt{6}) (x + \sqrt{6})$

Sjálfspróf

Finndu þáttað form stæðunnar. $16 p^{2} - 49$

$p (16 p - 49)$
$(4 p - 7) (4 p - 7)$
$(4 p + 7) (4 p + 7)$
$(4 p + 7) (4 p - 7)$

Ítarefni

Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Við getum notað það sem við lærðum í síðustu kennslustund til að rita annars stigs stæður á sérstöku formi á þáttað form. Sérstaklega getum við umritað $x^{2} - c^{2} = (x + c) (x - c)$

Lítum á dæmi.

Dæmi 1

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $v^{2} - 36$

Formið sem við leitum að er $(v - □) (v + □)$

Þar sem kvaðratrótin af v² er v og kvaðratrótin af 36 er 6, er þáttaða formið $(v - 6) (v + 6)$

Við getum margfaldað til að yfirfara vinnuna:

\begin{array}{rcl} (v - 6) (v + 6) & = & v^{2} + 6 v - 6 v - 36 \\ = & v^{2} - 36 ✓ \end{array}

Ferlið er svipað þegar stuðull er við annars stigs liðinn. $a^{2} x^{2} - c^{2} = (a x + c) (a x - c)$

Dæmi 2

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $16 m^{2} - 81$

Formið sem við leitum að er $(□ - □) (□ + □)$

Kvaðratrótin af fyrsta liðnum er 4m. Kvaðratrótin af 81 er 9. Því er þáttaða formið $(4 m - 9) (4 m + 9)$

Aftur getum við margfaldað til að yfirfara:

\begin{array}{rcl} (4 m - 9) (4 m + 9) & = & 16 m^{2} + 36 m - 36 m - 81 \\ = & 16 m^{2} - 81 ✓ \end{array}

Dæmi 3

Eins og sést í verkefninu skiptir staðsetning breytunnar ekki máli svo lengi sem annars stigs tvíliðan er mismunur ferninga. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $64 - 9 b^{2}$

Við notum sama hugtak til að finna þáttaða formið:

\begin{array}{rcl} 64 - 9 b^{2} & = & (8 - 3 b) (8 + 3 b) \end{array}

Við getum margfaldað til að yfirfara:

\begin{array}{rcl} (8 - 3 b) (8 + 3 b) & = & 64 + 24 b - 24 b - 9 b^{2} \\ = & 64 - 9 b^{2} ✓ \end{array}

Mundu að stæður af eftirfarandi gerðum hafa ekki þáttað form sem mismunur ferninga: $x^{2} + c$

Hér er c ekki í öðru veldi og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum. $a x^{2} + c$

Hér er hvorki a né c endilega ferningstala og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum.

Prófaðu

1. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $x^{2} - 4$
Lausn
Svar til samanburðar:
$(x - 2) (x + 2)$
2. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $100 x^{2} - 121$
Lausn
Svar til samanburðar:
$(10 x - 11) (10 x + 11)$

Verkefni

Í spurningum 1-2 inniheldur hver röð í töflunni par af jafngildum stæðum.

1. Umbreyttu stæðunni á þáttuðu formi yfir á staðalform. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd.
Þáttað form Staðalform
(x − 10)(x + 10)
(2x + 1)(2x − 1)
(4 − x)(4 + x)
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ )
(x + 5)(x + 5)
Lausn
Svör til samanburðar:
Þáttað form Staðalform
(x − 10)(x + 10) x² − 100
(2x + 1)(2x − 1) 4x² − 1
(4 − x)(4 + x) 16 − x²
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ ) c² − $\frac{4}{25}$
(x + 5)(x + 5) x² + 10x + 25

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)
(2x + 1)(2x − 1)
(4 − x)(4 + x)
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ )
(x + 5)(x + 5)

Þáttað form	Staðalform
(x − 10)(x + 10)	x² − 100
(2x + 1)(2x − 1)	4x² − 1
(4 − x)(4 + x)	16 − x²
(c + $\frac{2}{5}$ )(c − $\frac{2}{5}$ )	c² − $\frac{4}{25}$
(x + 5)(x + 5)	x² + 10x + 25

2. Umbreyttu stæðunni á staðalformi yfir á þáttað form. Ef þú festist skaltu íhuga að teikna skýringarmynd. Vísbending: ein stæðan er ekki þættanleg sem mismunur ferninga.

Þáttað form	Staðalform
	x² − 81
	49 − y²
	9z² − 16
	25t² − 81
	$\frac{49}{16}$ − d²
	x² − 6
	x² + 100

Lausn

Svör til samanburðar:

Þáttað form	Staðalform
(x − 9)(x + 9)	x² − 81
(7 − y)(7 + y)	49 − y²
(3z + 4)(3z − 4)	9z² − 16
(5t + 9)(5t − 9)	25t² − 81
( $\frac{7}{4}$ − d)( $\frac{7}{4}$ + d)	$\frac{49}{16}$ − d²
(x − √6)(x + √6)	x² − 6
óþáttanleg sem mismunur ferninga	x² + 100

Fyrir röðina með x² − 6 þarf rótina af 6: $x^{2} - 6 = (x - \sqrt{6}) (x + \sqrt{6})$

Sjálfspróf

Finndu þáttað form stæðunnar. $16 p^{2} - 49$

$p (16 p - 49)$
$(4 p - 7) (4 p - 7)$
$(4 p + 7) (4 p + 7)$
$(4 p + 7) (4 p - 7)$

Ítarefni

Þáttun annars stigs jafna án fyrsta stigs liðar

Lítum á dæmi.

Dæmi 1

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $v^{2} - 36$

Formið sem við leitum að er $(v - □) (v + □)$

Þar sem kvaðratrótin af v² er v og kvaðratrótin af 36 er 6, er þáttaða formið $(v - 6) (v + 6)$

Við getum margfaldað til að yfirfara vinnuna:

\begin{array}{rcl} (v - 6) (v + 6) & = & v^{2} + 6 v - 6 v - 36 \\ = & v^{2} - 36 ✓ \end{array}

Ferlið er svipað þegar stuðull er við annars stigs liðinn. $a^{2} x^{2} - c^{2} = (a x + c) (a x - c)$

Dæmi 2

Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $16 m^{2} - 81$

Formið sem við leitum að er $(□ - □) (□ + □)$

Kvaðratrótin af fyrsta liðnum er 4m. Kvaðratrótin af 81 er 9. Því er þáttaða formið $(4 m - 9) (4 m + 9)$

Aftur getum við margfaldað til að yfirfara:

\begin{array}{rcl} (4 m - 9) (4 m + 9) & = & 16 m^{2} + 36 m - 36 m - 81 \\ = & 16 m^{2} - 81 ✓ \end{array}

Dæmi 3

Eins og sést í verkefninu skiptir staðsetning breytunnar ekki máli svo lengi sem annars stigs tvíliðan er mismunur ferninga. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $64 - 9 b^{2}$

Við notum sama hugtak til að finna þáttaða formið:

\begin{array}{rcl} 64 - 9 b^{2} & = & (8 - 3 b) (8 + 3 b) \end{array}

Við getum margfaldað til að yfirfara:

\begin{array}{rcl} (8 - 3 b) (8 + 3 b) & = & 64 + 24 b - 24 b - 9 b^{2} \\ = & 64 - 9 b^{2} ✓ \end{array}

Mundu að stæður af eftirfarandi gerðum hafa ekki þáttað form sem mismunur ferninga: $x^{2} + c$

Hér er c ekki í öðru veldi og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum. $a x^{2} + c$

Hér er hvorki a né c endilega ferningstala og liðirnir eru ekki dregnir hvor frá öðrum.

Prófaðu

1. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $x^{2} - 4$
Lausn
Svar til samanburðar:
$(x - 2) (x + 2)$
2. Ritaðu stæðuna á þáttuðu formi. $100 x^{2} - 121$
Lausn
Svar til samanburðar:
$(10 x - 11) (10 x + 11)$