8.8.2 Að þekkja liðað margfeldi mismunar tveggja ferninga

1. 1. Clare heldur því fram að eftirfarandi tvö jafngildi séu rétt. Ertu sammála? Sýndu rökstuðning þinn.

   $(10+3)(10-3)={10}^2-3^2$

   $(20+1)(20-1)={20}^2-1^2$

   Lausn

   Svar til samanburðar: Já, ég er sammála.

   $$\begin{array}{rcl}(10+3)(10-3)& & \\ & =& (10+3)(10+(-3\left)\right)\\ & =& {10}^2+10(-3)+3\left(10\right)+3(-3)\\ & =& {10}^2-30+30-3^2\\ & =& {10}^2-3^2\end{array}$$

   $$\begin{array}{rcl}(20+1)(20-1)& & \\ & =& (20+1)(20+(-1\left)\right)\\ & =& {20}^2+20(-1)+1\left(20\right)+1(-1)\\ & =& {20}^2-20+20-1^2\\ & =& {20}^2-1^2\end{array}$$

2. 2. Þú getur notað athuganir þínar úr fyrstu spurningunni til að reikna stæðu eins og þessa í huganum: $105·95$

   1. Hugsaðu fyrst um dæmið á annan hátt. Reiknaðu stæðuna með dreifireglunni eða FOIL-aðferðinni. Sýndu rökstuðning þinn.

      $(100+5)(100-5)$

      Lausn

      Svar til samanburðar:

      $$\begin{array}{rcl}(100+5)(100-5)& =& {100}^2-5^2\\ & =& 10.000-25\\ & =& 9.975\end{array}$$

   2. Athugaðu svarið með því að reikna margfeldið. $105·95=9.975$

3. 3. Er eftirfarandi jafngildi rétt? $(x+4)(x-4)=x^2-4^2$

   1. Styddu fyrst hugsun þína með skýringarmynd.

      	x	4
      x
      −4

      Lausn

      Svar til samanburðar: Já.

      	x	4
      x	x2	4x
      −4	−4x	−4(4)

   2. Styddu nú hugsun þína með dreifireglunni eða FOIL-aðferðinni.

      $$\begin{array}{rcl}(x+4)(x-4)& =& x^2+4x-4x-4\left(4\right)\\ & =& x^2-4^2\end{array}$$

4. 4. Er eftirfarandi jafngildi rétt? Styddu svarið, með eða án skýringarmyndar. ${(x+4)}^2=x^2+4^2$

   Lausn

   Svar til samanburðar: Nei. Með skýringarmynd sést að miðliðurnir hverfa ekki:

   	x	4
   x	x2	4x
   4	4x	4(4)

   Með FOIL-aðferðinni fæst:

   $$\begin{array}{rcl}{(x+4)}^2& =& (x+4)(x+4)\\ & =& x^2+4x+4x+4\left(4\right)\\ & =& x^2+8x+16\end{array}$$

   $x^2+4^2=x^2+16$

   Þess vegna eru stæðurnar ekki jafngildar.

Viltu reyna meira?

Að víkka hugsunina

1. Útskýrðu hvernig vinnan í fyrri spurningum getur hjálpað þér að reikna eftirfarandi margfeldi í huganum. $22·18$

   Lausn

   Svar til samanburðar:

   $$\begin{array}{rcl}22·18& =& (20+2)(20-2)\\ & =& {20}^2-2^2\\ & =& 400-4\\ & =& 396\end{array}$$

2. Útskýrðu hvernig vinnan í fyrri spurningum getur hjálpað þér að reikna eftirfarandi margfeldi í huganum. $45·35$

   Lausn

   Svar til samanburðar:

   $$\begin{array}{rcl}45·35& =& (40+5)(40-5)\\ & =& {40}^2-5^2\\ & =& 1.600-25\\ & =& 1.575\end{array}$$

Hér er flýtileið sem hægt er að nota til að hefja hvaða tveggja stafa tölu sem er í annað veldi í huganum. Tökum þessa tölu sem dæmi: ${83}^2$

• • Ritaðu 83 sem 80 + 3.
• • Reiknaðu 80² og 3². Það gefur 6.400 og 9. Leggðu gildin saman og fáðu 6.409.
• • Reiknaðu 80 · 3, sem er 240. Tvöfaldaðu það og fáðu 480.
• • Leggðu saman 6.409 og 480 og fáðu 6.889.

Prófaðu að nota þessa aðferð til að finna ferninga nokkurra annarra tveggja stafa talna. Með æfingu er hægt að verða mjög fljótur að þessu.

Útskýrðu hvers vegna þessi aðferð virkar.

Lausn

Svar til samanburðar: Hverja tveggja stafa tölu sem er má rita sem $a+b$

þar sem a er tífalt gildi tugastafsins og b er einingastafurinn. Við viljum hefja þessa stæðu í annað veldi:

$$\begin{array}{rcl}{(a+b)}^2& =& (a+b)(a+b)\\ & =& a^2+ab+ab+b^2\\ & =& a^2+2ab+b^2\\ & =& a^2+b^2+2ab\end{array}$$

samkvæmt dreifireglunni.

með því að taka saman líka liði.

vegna þess að samlagning er víxlin. Við fáum a² + b² með því að hefja a og b í annað veldi og leggja niðurstöðurnar saman, og 2ab með því að margfalda gildin tvö og tvöfalda margfeldið.

Sjálfspróf

Hver af eftirfarandi stæðum er jafngild þessari stæðu? $9^2-6^2$

1. $(9+6)(9-6)$

2. $(9+6)(9+6)$

3. $(9-6)(9-6)$

4. ${(9-6)}^2$

Ítarefni

Að þekkja liðað margfeldi mismunar tveggja ferninga

Stærðfræðilega gerist nokkuð sérstakt þegar tveir samoka tvíliðir eru margfaldaðir. Margfeldi stæðu af forminu $(a-b)(a+b)$

leiðir til sérstakrar stæðu sem kallast mismunur ferninga. Hér eru nokkur dæmi um þessi sérstöku margfeldi.

Dæmi 1

Skoðum stæðuna hér fyrir neðan. Við viljum ákvarða hvort hún sé jafngild mismuni ferninga.

$(12+5)(12-5)$

${12}^2-5^2$

Við getum notað dreifiregluna eða FOIL-aðferðina til að margfalda:

Því er stæðan jafngild 12² − 5².

Dæmi 2

Skoðum annað dæmi þar sem breyta kemur fyrir. $(x+7)(x-7)$

Er þetta jafngilt eftirfarandi stæðu? $x^2-7^2$

Þetta má einnig sýna með skýringarmynd.

	x	−7
x	x2	−7x
7	7x	−7(7)

Þú hefur áður kynnt þér þetta ferli þegar þú lærðir um mismun ferninga. Í þessari kennslustund snúum við ferlinu við til að umrita annars stigs stæðu úr staðalformi yfir á þáttað form.

Mikilvægt er að muna að fyrsta stigs liðurinn, eða miðliður annars stigs þríliðu, verður aðeins núll í þessu mynstri þegar um mismun ferninga er að ræða. Þetta virkar ekki fyrir stæðu eins og $x^2+25$

Í raun er engin leið að margfalda tvo tvíliði þannig að útkoman verði sú stæða.

Dæmi 3

Er eftirfarandi jafngildi rétt? ${(x+5)}^2=x^2+25$

Finnum jafngilda stæðu fyrir vinstri hliðina:

Þar sem x² + 10x + 25 er ekki jafngilt x² + 25 eru stæðurnar ekki þær sömu.

Prófaðu

1. Er stæðan hér fyrir neðan jafngild mismuni ferninga? Sýndu rökstuðning með dreifireglunni eða FOIL-aðferðinni. $(8-7)(8+7)=8^2-7^2$

   Lausn

   Svar til samanburðar: Já. Hér má nota mismun ferninga til að sýna jafngildið:

   $$\begin{array}{rcl}(8-7)(8+7)& =& 8^2+56-56-7^2\\ & =& 8^2-7^2\end{array}$$

2. Er eftirfarandi jafngildi rétt? Styddu svarið með skýringarmynd. $(x+4)(x+4)=x^2+4^2$

   Lausn

   Svar til samanburðar: Nei. Stæðurnar eru ekki jafngildar.

   	x	4
   x	x2	4x
   4	4x	4(4)

   $$\begin{array}{rcl}(x+4)(x+4)& =& x^2+8x+4^2\\ & =& x^2+8x+16\end{array}$$

   Þetta er ekki jafngilt stæðunni $x^2+4^2=x^2+16$